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1. 如图,已知直线$ l $有两条可以左右移动的线段:$ AB=m $,$ CD=n $,且$ m,n $满足$ |m-4|+(n-8)^2=0 $.
(1)求线段$ AB,CD $的长;
(2)线段$ AB $的中点为$ M $,线段$ CD $的中点为$ N $,线段$ AB $以每秒4个单位长度的速度向右运动,线段$ CD $以每秒1个单位长度的速度也向右运动,若运动6秒后,$ MN=4 $,求移动前线段$ BC $的长;
(3)将线段$ CD $固定不动,线段$ AB $以每秒4个单位长度的速度向右运动,$ M,N $分别为$ AB,CD $中点,$ BC=24 $,在线段$ AB $向右运动的某一个时间段$ t $内,始终有$ MN+AD $为定值.求出这个定值,并直接写出$ t $在哪一个时间段内.
(1)求线段$ AB,CD $的长;
(2)线段$ AB $的中点为$ M $,线段$ CD $的中点为$ N $,线段$ AB $以每秒4个单位长度的速度向右运动,线段$ CD $以每秒1个单位长度的速度也向右运动,若运动6秒后,$ MN=4 $,求移动前线段$ BC $的长;
(3)将线段$ CD $固定不动,线段$ AB $以每秒4个单位长度的速度向右运动,$ M,N $分别为$ AB,CD $中点,$ BC=24 $,在线段$ AB $向右运动的某一个时间段$ t $内,始终有$ MN+AD $为定值.求出这个定值,并直接写出$ t $在哪一个时间段内.
答案
解：
1. 列表：
将各x值代入函数解析式$y=3x$，计算得到对应y值，填写表格如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-6$ | $-3$ | $0$ | $3$ | $6$ | $\dots$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，依次描出点$(-2,-6)$、$(-1,-3)$、$(0,0)$、$(1,3)$、$(2,6)$。
3. 连线：过原点$(0,0)$和点$(1,3)$画直线，这条直线就是正比例函数$y=3x$的图象。
1. 列表：
将各x值代入函数解析式$y=3x$，计算得到对应y值，填写表格如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $-6$ | $-3$ | $0$ | $3$ | $6$ | $\dots$ |
2. 描点：在给定的平面直角坐标系中，依次描出点$(-2,-6)$、$(-1,-3)$、$(0,0)$、$(1,3)$、$(2,6)$。
3. 连线：过原点$(0,0)$和点$(1,3)$画直线，这条直线就是正比例函数$y=3x$的图象。
解析
【分析】
(1) 根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负的，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程可求出m、n的值，即得到AB、CD的长度。
(2) 先根据线段中点的定义求出两个中点到对应线段端点的长度，再结合两条线段的运动速度和运动时间，算出中点移动的距离。由于运动后MN=4存在两种位置情况：M的对应点在N的对应点左侧、M的对应点在N的对应点右侧，分两种情况根据线段和差关系列方程，即可求出BC的长度。
(3) CD固定不动，AB向右运动，先用含t的绝对值式表示出运动t秒后MN和AD的长度，再分不同区间去绝对值化简，找到化简后不含t的区间，即可得到定值和对应的t的范围。
【解析】
(1) 解：
∵$|m-4|≥0$，$(n-8)^2≥0$，且$|m-4|+(n-8)^2=0$
∴ $m-4=0$，$n-8=0$，解得$m=4$，$n=8$
∴ $AB=4$，$CD=8$。
(2) 解：
∵M是AB中点，N是CD中点
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=2$，$CN=\frac{1}{2}CD=4$
运动6秒时，M移动的距离为$4×6=24$，N移动的距离为$1×6=6$。
① 若6秒后$M'$在$N'$左侧，$M'N'=4$：
由线段和差得：$MB+BC+CN+NN'=MM'+M'N'$
代入得：$2+BC+4+6=24+4$，解得$BC=16$。
② 若6秒后$M'$在$N'$右侧，$M'N'=4$：
由线段和差得：$MM'=MB+BC+CN+NN'+M'N'$
代入得：$24=2+BC+4+6+4$，解得$BC=8$。
综上，BC的长为16或8。
(3) 解：设AB运动时间为t秒，初始时$MN=2+24+4=30$，$AD=4+24+8=36$，运动t秒后：
$MN=|30-4t|$，$AD=|36-4t|$
当$0≤ t＜7.5$时，$MN+AD=30-4t+36-4t=66-8t$，值随t变化；
当$7.5≤ t≤9$时，$MN+AD=4t-30+36-4t=6$，值为定值；
当$t＞9$时，$MN+AD=4t-30+4t-36=8t-66$，值随t变化。
故$7.5≤ t≤9$时，$MN+AD$为定值6。
【答案】
(1)因为$|m-4|+(n-8)^2=0$,所以$m-4=0,n-8=0$,所以$m=4,n=8$,所以$AB=4,CD=8$.
(2)如图①,若6秒后,点$ M' $在点$ N' $左边,$ M'N'=4 $,$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$,$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$.
则$MN+NN'=MM'+M'N'$,即$2+4+BC+6×1=6×4+4$,解得$BC=16$.
如图②,若6秒后,点$ M' $在点$ N' $右边,$ M'N'=4 $.
则$MM'=MN+NN'+M'N'$,即$6×4=2+BC+4+6×1+4$,解得$BC=8$.
综上所述,$BC=16$或$8$.
(3)运动$ t $秒后,$MN=|30-4t|$,$AD=|36-4t|$.当$0≤t＜7.5$时,$MN+AD=66-8t$,当$7.5≤t≤9$时,$MN+AD=6$,当$t＞9$时,$MN+AD=8t-66$,所以当$7.5≤t≤9$时,$MN+AD$为定值6.
【知识点】
非负数的性质，线段中点的定义，动态线段计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、线段和差与中点的应用，解题时需要运用分类讨论思想分析动线段的多种位置情况，避免漏解，同时通过绝对值的分段化简找到定值区间，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负的，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程可求出m、n的值，即得到AB、CD的长度。
(2) 先根据线段中点的定义求出两个中点到对应线段端点的长度，再结合两条线段的运动速度和运动时间，算出中点移动的距离。由于运动后MN=4存在两种位置情况：M的对应点在N的对应点左侧、M的对应点在N的对应点右侧，分两种情况根据线段和差关系列方程，即可求出BC的长度。
(3) CD固定不动，AB向右运动，先用含t的绝对值式表示出运动t秒后MN和AD的长度，再分不同区间去绝对值化简，找到化简后不含t的区间，即可得到定值和对应的t的范围。
【解析】
(1) 解：
∵$|m-4|≥0$，$(n-8)^2≥0$，且$|m-4|+(n-8)^2=0$
∴ $m-4=0$，$n-8=0$，解得$m=4$，$n=8$
∴ $AB=4$，$CD=8$。
(2) 解：
∵M是AB中点，N是CD中点
∴ $MB=\frac{1}{2}AB=2$，$CN=\frac{1}{2}CD=4$
运动6秒时，M移动的距离为$4×6=24$，N移动的距离为$1×6=6$。
① 若6秒后$M'$在$N'$左侧，$M'N'=4$：
由线段和差得：$MB+BC+CN+NN'=MM'+M'N'$
代入得：$2+BC+4+6=24+4$，解得$BC=16$。
② 若6秒后$M'$在$N'$右侧，$M'N'=4$：
由线段和差得：$MM'=MB+BC+CN+NN'+M'N'$
代入得：$24=2+BC+4+6+4$，解得$BC=8$。
综上，BC的长为16或8。
(3) 解：设AB运动时间为t秒，初始时$MN=2+24+4=30$，$AD=4+24+8=36$，运动t秒后：
$MN=|30-4t|$，$AD=|36-4t|$
当$0≤ t＜7.5$时，$MN+AD=30-4t+36-4t=66-8t$，值随t变化；
当$7.5≤ t≤9$时，$MN+AD=4t-30+36-4t=6$，值为定值；
当$t＞9$时，$MN+AD=4t-30+4t-36=8t-66$，值随t变化。
故$7.5≤ t≤9$时，$MN+AD$为定值6。
【答案】
(1)因为$|m-4|+(n-8)^2=0$,所以$m-4=0,n-8=0$,所以$m=4,n=8$,所以$AB=4,CD=8$.
(2)如图①,若6秒后,点$ M' $在点$ N' $左边,$ M'N'=4 $,$MB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$,$CN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$.
则$MN+NN'=MM'+M'N'$,即$2+4+BC+6×1=6×4+4$,解得$BC=16$.
如图②,若6秒后,点$ M' $在点$ N' $右边,$ M'N'=4 $.
则$MM'=MN+NN'+M'N'$,即$6×4=2+BC+4+6×1+4$,解得$BC=8$.
综上所述,$BC=16$或$8$.
(3)运动$ t $秒后,$MN=|30-4t|$,$AD=|36-4t|$.当$0≤t＜7.5$时,$MN+AD=66-8t$,当$7.5≤t≤9$时,$MN+AD=6$,当$t＞9$时,$MN+AD=8t-66$,所以当$7.5≤t≤9$时,$MN+AD$为定值6.
【知识点】
非负数的性质，线段中点的定义，动态线段计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、线段和差与中点的应用，解题时需要运用分类讨论思想分析动线段的多种位置情况，避免漏解，同时通过绝对值的分段化简找到定值区间，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
2. (2026·武汉期末)如图,数轴上有A,B,C三个点对应的数分别为a,b,c.已知$(b+4)^2 + |a+16| + (c-4)^2 = 0.$
(1)直接写出$a,b,c$的值:$a=$
(2)若数轴上有两个动点$M,N$分别从$A,B$两点同时出发沿数轴向右匀速运动,点$M$速度为4个单位长度/秒,点$N$速度为1个单位长度/秒,若运动时间为$t$秒.运动过程中,是否存在线段$AM$的中点$E$到线段$CN$的中点$F$距离为6?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,另外两个动点$P,Q$分别随着$M,N$一起运动,且始终保持线段$PM=2$,线段$QN=4$(点$P$在$M$的左边,点$Q$在$N$的右边).当点$M$运动到点$C$时,线段$PM$立即以原速度的2倍返回,当点$M$再次运动到点$A$时,线段$PM$和$QN$立即同时停止运动.在整个运动过程中,是否存在使两条线段重叠部分为$PM$的一半?若存在,请直接写出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(1)直接写出$a,b,c$的值:$a=$
-16
, $b=$-4
, $c=$4
.(2)若数轴上有两个动点$M,N$分别从$A,B$两点同时出发沿数轴向右匀速运动,点$M$速度为4个单位长度/秒,点$N$速度为1个单位长度/秒,若运动时间为$t$秒.运动过程中,是否存在线段$AM$的中点$E$到线段$CN$的中点$F$距离为6?若存在,请求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,另外两个动点$P,Q$分别随着$M,N$一起运动,且始终保持线段$PM=2$,线段$QN=4$(点$P$在$M$的左边,点$Q$在$N$的右边).当点$M$运动到点$C$时,线段$PM$立即以原速度的2倍返回,当点$M$再次运动到点$A$时,线段$PM$和$QN$立即同时停止运动.在整个运动过程中,是否存在使两条线段重叠部分为$PM$的一半?若存在,请直接写出$t$的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1)$-16\quad -4\quad 4$ 解析:因为$(b+4)^2+|a+16|+(c-4)^2=0$,所以$a+16=0,b+4=0,c-4=0$,所以$a=-16,b=-4,c=4$.
(2)存在,由题意得,点$ M $对应的数为$-16+4t$,点$ N $对应的数为$-4 + t$,则线段$ AM $的中点$ E $对应的数为$\frac{-16+(-16+4t)}{2}=-16+2t$,线段$ CN $的中点$ F $对应的数为$\frac{4+(-4+t)}{2}=\frac{1}{2}t$,所以点$ E $与点$ F $之间的距离为$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|$,因为线段$ AM $的中点$ E $到线段$ CN $的中点$ F $距离为6,所以$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|=6$,解得$t=\frac{20}{3}$或$t=\frac{44}{3}$,故存在这样的$ t $,$t=\frac{20}{3}$或$t=\frac{44}{3}$.
(3)存在,$t=\frac{13}{3}$或$\frac{47}{9}$ 解析:令点$ P,Q,M,N $对应的数分别为$ p,q,m,n $,由题意得,$p=m-2,q=n+4$.分段讨论:当$0≤t≤5$时,$m=-16+4t$,$n=-4+t$,$p=-18+4t$,$q=t$.重叠部分左端点为$ p,n $中的最大值,右端点为$ m,q $中的最小值,重叠长度为$ m-n=-12+3t $,令其为1得$t=\frac{13}{3}$.当$5＜t≤7.5$时,$m=44-8t$,$n=-4+t$,$p=42-8t$,$q=t$.重叠长度为$ m-n=48-9t $,令其为1得$t=\frac{47}{9}$.综上,存在$ t=\frac{13}{3}$或$t=\frac{47}{9}$.
(2)存在,由题意得,点$ M $对应的数为$-16+4t$,点$ N $对应的数为$-4 + t$,则线段$ AM $的中点$ E $对应的数为$\frac{-16+(-16+4t)}{2}=-16+2t$,线段$ CN $的中点$ F $对应的数为$\frac{4+(-4+t)}{2}=\frac{1}{2}t$,所以点$ E $与点$ F $之间的距离为$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|$,因为线段$ AM $的中点$ E $到线段$ CN $的中点$ F $距离为6,所以$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|=6$,解得$t=\frac{20}{3}$或$t=\frac{44}{3}$,故存在这样的$ t $,$t=\frac{20}{3}$或$t=\frac{44}{3}$.
(3)存在,$t=\frac{13}{3}$或$\frac{47}{9}$ 解析:令点$ P,Q,M,N $对应的数分别为$ p,q,m,n $,由题意得,$p=m-2,q=n+4$.分段讨论:当$0≤t≤5$时,$m=-16+4t$,$n=-4+t$,$p=-18+4t$,$q=t$.重叠部分左端点为$ p,n $中的最大值,右端点为$ m,q $中的最小值,重叠长度为$ m-n=-12+3t $,令其为1得$t=\frac{13}{3}$.当$5＜t≤7.5$时,$m=44-8t$,$n=-4+t$,$p=42-8t$,$q=t$.重叠长度为$ m-n=48-9t $,令其为1得$t=\frac{47}{9}$.综上,存在$ t=\frac{13}{3}$或$t=\frac{47}{9}$.
解析
【分析】
(1) 平方数和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此分别列方程即可求出a、b、c的值；
(2) 先根据"路程=速度×时间"结合起点位置，写出运动t秒后M、N两点对应的数，再根据中点坐标公式（两点对应数的平均数为中点对应数）求出E、F对应的数，两点距离为对应数差的绝对值，令绝对值等于6，解绝对值方程即可得到t的值；
(3) 先划分运动阶段：第一阶段为M从A到C，第二阶段为M从C返回A到停止。再根据P、Q和M、N的位置关系写出P、Q对应的数，重叠部分长度为PM的一半即1，分两个阶段分别列出重叠长度的表达式，令其等于1解方程，检验解是否在对应时间范围内即可。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：$(b+4)^2≥0$，$|a+16|≥0$，$(c-4)^2≥0$，且三者和为0，因此每一项均为0：
$a+16=0$，解得$a=-16$；
$b+4=0$，解得$b=-4$；
$c-4=0$，解得$c=4$。
(2) 存在，理由如下：
运动t秒时，点M对应的数为$-16+4t$，点N对应的数为$-4+t$。
E为AM中点，对应数为$\frac{-16+(-16+4t)}{2}=-16+2t$；
F为CN中点，对应数为$\frac{4+(-4+t)}{2}=\frac{1}{2}t$。
根据题意E、F距离为6，列方程：
$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|=6$，即$\left|\frac{3}{2}t-16\right|=6$
分两种情况：
① $\frac{3}{2}t-16=6$，解得$t=\frac{44}{3}$；
② $\frac{3}{2}t-16=-6$，解得$t=\frac{20}{3}$。
两个解均符合运动实际，故存在符合条件的t。
(3) 存在，理由如下：
由题意得P对应数为M对应数减2，Q对应数为N对应数加4，重叠部分为PM的一半即重叠长度为1。
分段讨论：
① 当$0≤ t≤5$时（M从A到C的时间为$\frac{4-(-16)}{4}=5$秒）：
M对应数为$-16+4t$，P对应数为$-18+4t$；N对应数为$-4+t$，Q对应数为$t$。
重叠长度为$(-16+4t)-(-4+t)=3t-12$，令其等于1：
$3t-12=1$，解得$t=\frac{13}{3}$，符合$0≤ t≤5$的范围。
② 当$5＜ t≤7.5$时（M从C返回A的时间为$\frac{20}{4×2}=2.5$秒）：
M对应数为$4-8(t-5)=44-8t$，P对应数为$42-8t$；N对应数为$-4+t$，Q对应数为$t$。
重叠长度为$(44-8t)-(-4+t)=48-9t$，令其等于1：
$48-9t=1$，解得$t=\frac{47}{9}$，符合$5＜ t≤7.5$的范围。
综上符合条件的t存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-16}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{4}$
(2) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{20}{3}}$或$\boldsymbol{t=\frac{44}{3}}$
(3) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{13}{3}}$或$\boldsymbol{t=\frac{47}{9}}$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴综合题型，既考查了非负性、数轴中点、距离等基础知识点，也融合了行程问题、分类讨论思想的应用，对逻辑思维能力要求较高，是数轴动点类的典型培优题。
【难度系数】
0.3
(1) 平方数和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此分别列方程即可求出a、b、c的值；
(2) 先根据"路程=速度×时间"结合起点位置，写出运动t秒后M、N两点对应的数，再根据中点坐标公式（两点对应数的平均数为中点对应数）求出E、F对应的数，两点距离为对应数差的绝对值，令绝对值等于6，解绝对值方程即可得到t的值；
(3) 先划分运动阶段：第一阶段为M从A到C，第二阶段为M从C返回A到停止。再根据P、Q和M、N的位置关系写出P、Q对应的数，重叠部分长度为PM的一半即1，分两个阶段分别列出重叠长度的表达式，令其等于1解方程，检验解是否在对应时间范围内即可。
【解析】
(1) 由非负数的性质得：$(b+4)^2≥0$，$|a+16|≥0$，$(c-4)^2≥0$，且三者和为0，因此每一项均为0：
$a+16=0$，解得$a=-16$；
$b+4=0$，解得$b=-4$；
$c-4=0$，解得$c=4$。
(2) 存在，理由如下：
运动t秒时，点M对应的数为$-16+4t$，点N对应的数为$-4+t$。
E为AM中点，对应数为$\frac{-16+(-16+4t)}{2}=-16+2t$；
F为CN中点，对应数为$\frac{4+(-4+t)}{2}=\frac{1}{2}t$。
根据题意E、F距离为6，列方程：
$\left|-16+2t-\frac{1}{2}t\right|=6$，即$\left|\frac{3}{2}t-16\right|=6$
分两种情况：
① $\frac{3}{2}t-16=6$，解得$t=\frac{44}{3}$；
② $\frac{3}{2}t-16=-6$，解得$t=\frac{20}{3}$。
两个解均符合运动实际，故存在符合条件的t。
(3) 存在，理由如下：
由题意得P对应数为M对应数减2，Q对应数为N对应数加4，重叠部分为PM的一半即重叠长度为1。
分段讨论：
① 当$0≤ t≤5$时（M从A到C的时间为$\frac{4-(-16)}{4}=5$秒）：
M对应数为$-16+4t$，P对应数为$-18+4t$；N对应数为$-4+t$，Q对应数为$t$。
重叠长度为$(-16+4t)-(-4+t)=3t-12$，令其等于1：
$3t-12=1$，解得$t=\frac{13}{3}$，符合$0≤ t≤5$的范围。
② 当$5＜ t≤7.5$时（M从C返回A的时间为$\frac{20}{4×2}=2.5$秒）：
M对应数为$4-8(t-5)=44-8t$，P对应数为$42-8t$；N对应数为$-4+t$，Q对应数为$t$。
重叠长度为$(44-8t)-(-4+t)=48-9t$，令其等于1：
$48-9t=1$，解得$t=\frac{47}{9}$，符合$5＜ t≤7.5$的范围。
综上符合条件的t存在。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-16}$，$\boldsymbol{-4}$，$\boldsymbol{4}$
(2) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{20}{3}}$或$\boldsymbol{t=\frac{44}{3}}$
(3) 存在，$\boldsymbol{t=\frac{13}{3}}$或$\boldsymbol{t=\frac{47}{9}}$
【知识点】
非负数的性质；数轴动点问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题是数轴综合题型，既考查了非负性、数轴中点、距离等基础知识点，也融合了行程问题、分类讨论思想的应用，对逻辑思维能力要求较高，是数轴动点类的典型培优题。
【难度系数】
0.3
