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【例1】如图，点A和点B在直线l同一侧.在直线l上求作一点P，使PA+PB的值最小.
答案
解：
作法：
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P，点P即为所求作的点。
证明：
在直线l上另取任意异于点P的点P'，连接AP'、A'P'、BP'。
∵ 点A、A'关于直线l对称，
∴ PA = PA'，P'A = P'A'，
∴ PA + PB = PA' + PB = A'B。
在△A'P'B中，由两点之间线段最短，可得A'B ＜ A'P' + P'B，
∴ PA + PB ＜ P'A + P'B，即PA + PB的值最小。
作法：
1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P，点P即为所求作的点。
证明：
在直线l上另取任意异于点P的点P'，连接AP'、A'P'、BP'。
∵ 点A、A'关于直线l对称，
∴ PA = PA'，P'A = P'A'，
∴ PA + PB = PA' + PB = A'B。
在△A'P'B中，由两点之间线段最短，可得A'B ＜ A'P' + P'B，
∴ PA + PB ＜ P'A + P'B，即PA + PB的值最小。
解析
【分析】
要在直线l上找一点P使PA+PB最小，首先我们学过“两点之间线段最短”，但A、B在直线l的同侧，直接连接AB无法与直线l相交得到符合要求的点P。因此我们可以利用轴对称的性质，将其中一个点转换到直线l的另一侧：作点A关于直线l的对称点A'，此时直线l上任意一点到A和A'的距离都相等，即PA=PA'，那么求PA+PB的最小值就转化为求PA'+PB的最小值。当A'、P、B三点共线时，PA'+PB=A'B，为两点之间的线段长度，是最小值。最后可通过任取直线上另一异于P的点，借助三角形三边关系验证P点即为所求。
【解析】
作法：
1. 作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $；
2. 连接$ A'B $，交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求作的点。
证明：
在直线$ l $上另取任意异于点$ P $的点$ P' $，连接$ AP' $、$ A'P' $、$ BP' $。
∵ 点A、$ A' $关于直线$ l $对称，
∴ $ PA = PA' $，$ P'A = P'A' $，
∴ $ PA + PB = PA' + PB = A'B $。
在$ △ A'P'B $中，由两点之间线段最短，可得$ A'B ＜ A'P' + P'B $，
∴ $ PA + PB ＜ P'A + P'B $，即$ PA + PB $的值最小。
【答案】
1. 作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $；2. 连接$ A'B $，交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题中的经典“将军饮马”模型，解题核心是通过轴对称变换将同侧两点转化为异侧两点，结合两点之间线段最短的原理求解，该模型是很多变形最短路径问题的基础，需熟练掌握其作图思路和证明方法。
【难度系数】
0.8
要在直线l上找一点P使PA+PB最小，首先我们学过“两点之间线段最短”，但A、B在直线l的同侧，直接连接AB无法与直线l相交得到符合要求的点P。因此我们可以利用轴对称的性质，将其中一个点转换到直线l的另一侧：作点A关于直线l的对称点A'，此时直线l上任意一点到A和A'的距离都相等，即PA=PA'，那么求PA+PB的最小值就转化为求PA'+PB的最小值。当A'、P、B三点共线时，PA'+PB=A'B，为两点之间的线段长度，是最小值。最后可通过任取直线上另一异于P的点，借助三角形三边关系验证P点即为所求。
【解析】
作法：
1. 作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $；
2. 连接$ A'B $，交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求作的点。
证明：
在直线$ l $上另取任意异于点$ P $的点$ P' $，连接$ AP' $、$ A'P' $、$ BP' $。
∵ 点A、$ A' $关于直线$ l $对称，
∴ $ PA = PA' $，$ P'A = P'A' $，
∴ $ PA + PB = PA' + PB = A'B $。
在$ △ A'P'B $中，由两点之间线段最短，可得$ A'B ＜ A'P' + P'B $，
∴ $ PA + PB ＜ P'A + P'B $，即$ PA + PB $的值最小。
【答案】
1. 作点A关于直线$ l $的对称点$ A' $；2. 连接$ A'B $，交直线$ l $于点$ P $，点$ P $即为所求。
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题中的经典“将军饮马”模型，解题核心是通过轴对称变换将同侧两点转化为异侧两点，结合两点之间线段最短的原理求解，该模型是很多变形最短路径问题的基础，需熟练掌握其作图思路和证明方法。
【难度系数】
0.8
1.(2025·大连中山区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(4,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上的一个动点,连接PO,PA.当PO+PA的值最小时,∠OAP的度数是
45°
.答案
1.45°
解析
【分析】
本题属于最短路径问题，解题思路如下：1. 首先明确动点P的运动轨迹是直线l：y=2，要使PO+PA最小，需利用“轴对称转化线段”的思路，将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，根据两点之间线段最短求解；2. 找到点O关于直线l的对称点，连接对称点与A点，交点即为所求的P点；3. 结合点的坐标判断三角形的形状，即可求出∠OAP的度数。
【解析】
解：由题意可知，直线l过点B(0,2)且垂直于y轴，因此直线l的解析式为$y=2$。
作点O关于直线l的对称点$O'$，根据对称性质可得$O'$的坐标为$(0,4)$，且$PO=PO'$。
根据两点之间线段最短，当$O'$、P、A三点共线时，$PO+PA=PO'+PA=O'A$，此时值最小。
已知$A(4,0)$，$O'(0,4)$，因此$OA=4$，$OO'=4$，且$∠ AOO'=90°$，即$△ O'AO$为等腰直角三角形。
因此$∠ O'AO=45°$，也就是$∠ OAP=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
最短路径问题；坐标与图形性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，核心是通过作对称点将同侧线段和转化为异侧线段和，结合平面直角坐标系中点的坐标特征和等腰直角三角形的角度性质即可求解，掌握对称点的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径问题，解题思路如下：1. 首先明确动点P的运动轨迹是直线l：y=2，要使PO+PA最小，需利用“轴对称转化线段”的思路，将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，根据两点之间线段最短求解；2. 找到点O关于直线l的对称点，连接对称点与A点，交点即为所求的P点；3. 结合点的坐标判断三角形的形状，即可求出∠OAP的度数。
【解析】
解：由题意可知，直线l过点B(0,2)且垂直于y轴，因此直线l的解析式为$y=2$。
作点O关于直线l的对称点$O'$，根据对称性质可得$O'$的坐标为$(0,4)$，且$PO=PO'$。
根据两点之间线段最短，当$O'$、P、A三点共线时，$PO+PA=PO'+PA=O'A$，此时值最小。
已知$A(4,0)$，$O'(0,4)$，因此$OA=4$，$OO'=4$，且$∠ AOO'=90°$，即$△ O'AO$为等腰直角三角形。
因此$∠ O'AO=45°$，也就是$∠ OAP=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
最短路径问题；坐标与图形性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是最短路径的基础应用题型，核心是通过作对称点将同侧线段和转化为异侧线段和，结合平面直角坐标系中点的坐标特征和等腰直角三角形的角度性质即可求解，掌握对称点的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2.(2025·大连沙河口区期末)如图，$△ ABC$是等边三角形，D，E分别是AB，BC的中点，P是线段AE上的任意一点.若$AE=5$，则$BP+DP$的最小值是
5
.答案
2.5
3.(2025·大连金普新区期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C,BC=4,S_{△ ABC}=10,AD⊥ BC$于点$D,EF$垂直平分$AB$,垂足为$E,EF$交$AC$于点$F,P$是$EF$上的一个动点,则$△ PBD$周长的最小值为
7
.答案
3.7
解析
【分析】
要计算△PBD周长的最小值，首先拆分周长：△PBD周长=PB+PD+BD，其中BD为固定值，因此只需找到PB+PD的最小值即可。首先根据等腰三角形性质求出BD的长度，再结合三角形面积求出AD的长度；利用线段垂直平分线的性质可知，EF上的点P满足PB=PA，因此可将PB+PD转化为PA+PD；根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为线段AD的长度，最后代入计算即可得到最小周长。
【解析】
1. 求BD的长度：
∵∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形，AB=AC，
又
∵AD⊥BC，BC=4，
∴D是BC的中点，$ BD=\frac{1}{2}BC=2 $。
2. 求AD的长度：
已知$ S_{△ ABC}=10 $，由三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，
得$ \frac{1}{2}× BC× AD=10 $，代入BC=4，解得$ AD=5 $。
3. 转化线段求最小值：
∵EF垂直平分AB，点P在EF上，
∴根据垂直平分线的性质，PB=PA，
∴△PBD的周长$ =PB+PD+BD=PA+PD+BD $。
BD为定值2，要使周长最小，需PA+PD最小，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，PA+PD取最小值，最小值为AD的长度5。
4. 计算最小周长：
最小周长为$ 5+2=7 $。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成动态线段的等量转化，将未知的线段和最小值转化为已知的定长线段，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求解定值部分，综合性较强，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
要计算△PBD周长的最小值，首先拆分周长：△PBD周长=PB+PD+BD，其中BD为固定值，因此只需找到PB+PD的最小值即可。首先根据等腰三角形性质求出BD的长度，再结合三角形面积求出AD的长度；利用线段垂直平分线的性质可知，EF上的点P满足PB=PA，因此可将PB+PD转化为PA+PD；根据两点之间线段最短，PA+PD的最小值为线段AD的长度，最后代入计算即可得到最小周长。
【解析】
1. 求BD的长度：
∵∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形，AB=AC，
又
∵AD⊥BC，BC=4，
∴D是BC的中点，$ BD=\frac{1}{2}BC=2 $。
2. 求AD的长度：
已知$ S_{△ ABC}=10 $，由三角形面积公式$ S=\frac{1}{2}×底×高 $，
得$ \frac{1}{2}× BC× AD=10 $，代入BC=4，解得$ AD=5 $。
3. 转化线段求最小值：
∵EF垂直平分AB，点P在EF上，
∴根据垂直平分线的性质，PB=PA，
∴△PBD的周长$ =PB+PD+BD=PA+PD+BD $。
BD为定值2，要使周长最小，需PA+PD最小，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，PA+PD取最小值，最小值为AD的长度5。
4. 计算最小周长：
最小周长为$ 5+2=7 $。
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是最短路径类的典型题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成动态线段的等量转化，将未知的线段和最小值转化为已知的定长线段，同时结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求解定值部分，综合性较强，侧重对转化思想的考查。
【难度系数】
0.7
4.(2025·大连瓦房店期末)如图,在等边三角形ABC中,D为AC的中点,P,Q分别为AB,AD上的点,BP=AQ=3,QD=2,在BD上有一个动点E,则PE + QE的最小值为
7
.答案
4.7
解析
【分析】
本题属于将军饮马型最短路径问题，解题思路如下：首先利用等边三角形三线合一的性质，可知BD是AC的垂直平分线，因此可以作点Q关于BD的对称点Q'，将QE转化为Q'E，这样PE+QE就转化为PE+Q'E；再根据两点之间线段最短，可知PE+Q'E的最小值就是线段PQ'的长度；最后结合已知线段长度和等边三角形的性质求出PQ'的长度即可。
【解析】
解：已知AQ=3，QD=2，因此AD=AQ+QD=3+2=5。
∵D是AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2AD=10，且BD垂直平分AC（等边三角形三线合一）。
作点Q关于BD的对称点Q'，则Q'落在DC上，且DQ'=DQ=2，QE=Q'E，
∴PE+QE=PE+Q'E，根据两点之间线段最短，PE+Q'E的最小值为线段PQ'的长度，当且仅当P、E、Q'三点共线时取到最小值。
计算可得：CQ'=DC - DQ'=5 - 2=3，因此AQ'=AC - CQ'=10 - 3=7，
又
∵BP=3，
∴AP=AB - BP=10 - 3=7，
∴AP=AQ'=7，又∠A=60°，
∴△APQ'是等边三角形，
∴PQ'=AP=7，即PE+QE的最小值为7。
【答案】
7
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考题，解题核心是通过轴对称将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算线段长度，掌握将军饮马模型的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
本题属于将军饮马型最短路径问题，解题思路如下：首先利用等边三角形三线合一的性质，可知BD是AC的垂直平分线，因此可以作点Q关于BD的对称点Q'，将QE转化为Q'E，这样PE+QE就转化为PE+Q'E；再根据两点之间线段最短，可知PE+Q'E的最小值就是线段PQ'的长度；最后结合已知线段长度和等边三角形的性质求出PQ'的长度即可。
【解析】
解：已知AQ=3，QD=2，因此AD=AQ+QD=3+2=5。
∵D是AC的中点，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2AD=10，且BD垂直平分AC（等边三角形三线合一）。
作点Q关于BD的对称点Q'，则Q'落在DC上，且DQ'=DQ=2，QE=Q'E，
∴PE+QE=PE+Q'E，根据两点之间线段最短，PE+Q'E的最小值为线段PQ'的长度，当且仅当P、E、Q'三点共线时取到最小值。
计算可得：CQ'=DC - DQ'=5 - 2=3，因此AQ'=AC - CQ'=10 - 3=7，
又
∵BP=3，
∴AP=AB - BP=10 - 3=7，
∴AP=AQ'=7，又∠A=60°，
∴△APQ'是等边三角形，
∴PQ'=AP=7，即PE+QE的最小值为7。
【答案】
7
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径的典型考题，解题核心是通过轴对称将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算线段长度，掌握将军饮马模型的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，A是$∠ MON$内的一个定点，分别在边OM和ON上各找一点E，F，使得$△ AEF$的周长最小。
答案
解：
作法：
1. 作点A关于直线OM的对称点$A_1$；
2. 作点A关于直线ON的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，分别交OM于点E，交ON于点F。
则点E、F即为所求，此时$△ AEF$的周长最小。
---
证明：
由轴对称的性质可得：$AE = A_1E$，$AF = A_2F$，
因此$△ AEF$的周长$= AE + EF + AF = A_1E + EF + A_2F = A_1A_2$。
若在OM上任取异于E的点$E'$，在ON上任取异于F的点$F'$，连接$AE'$、$E'F'$、$AF'$，同理可得$AE' = A_1E'$，$AF' = A_2F'$，
此时$△ AE'F'$的周长$= AE' + E'F' + AF' = A_1E' + E'F' + A_2F'$。
根据两点之间线段最短，可得$A_1E' + E'F' + A_2F' ＞ A_1A_2$，
因此$A_1A_2$的长度是$△ AEF$周长的最小值，上述作法得到的E、F满足要求。
作法：
1. 作点A关于直线OM的对称点$A_1$；
2. 作点A关于直线ON的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，分别交OM于点E，交ON于点F。
则点E、F即为所求，此时$△ AEF$的周长最小。
---
证明：
由轴对称的性质可得：$AE = A_1E$，$AF = A_2F$，
因此$△ AEF$的周长$= AE + EF + AF = A_1E + EF + A_2F = A_1A_2$。
若在OM上任取异于E的点$E'$，在ON上任取异于F的点$F'$，连接$AE'$、$E'F'$、$AF'$，同理可得$AE' = A_1E'$，$AF' = A_2F'$，
此时$△ AE'F'$的周长$= AE' + E'F' + AF' = A_1E' + E'F' + A_2F'$。
根据两点之间线段最短，可得$A_1E' + E'F' + A_2F' ＞ A_1A_2$，
因此$A_1A_2$的长度是$△ AEF$周长的最小值，上述作法得到的E、F满足要求。
解析
【分析】
要使△AEF的周长最小，周长AE+EF+AF中的A是定点，E、F为OM、ON上的动点，直接求折线和的最小值较难。我们可以利用轴对称的性质转移线段：作A关于OM的对称点A₁，则AE=A₁E；作A关于ON的对称点A₂，则AF=A₂F，此时周长可转化为A₁E+EF+A₂F，即连接A₁、A₂的折线长度。根据两点之间线段最短，当E、F在A₁A₂连线上时，折线长度最小，等于A₁A₂的长度，据此即可确定E、F的位置。
【解析】
作法：
1. 作点A关于直线OM的对称点$A_1$；
2. 作点A关于直线ON的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，分别交OM于点E，交ON于点F。
则点E、F即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$AE = A_1E$，$AF = A_2F$，
因此$△ AEF$的周长$= AE + EF + AF = A_1E + EF + A_2F = A_1A_2$。
若在OM上任取异于E的点$E'$，在ON上任取异于F的点$F'$，连接$AE'$、$E'F'$、$AF'$，同理可得$AE' = A_1E'$，$AF' = A_2F'$，
此时$△ AE'F'$的周长$= AE' + E'F' + AF' = A_1E' + E'F' + A_2F'$。
根据两点之间线段最短，可得$A_1E' + E'F' + A_2F' ＞ A_1A_2$，
因此$A_1A_2$的长度是$△ AEF$周长的最小值，上述作法得到的E、F满足要求。
【答案】
1.作点A关于直线OM的对称点$A_1$；2.作点A关于直线ON的对称点$A_2$；3.连接$A_1A_2$，分别交OM于点E、交ON于点F，点E、F即为所求，此时$△ AEF$周长最小。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，解题核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握这种对称转化的思路可快速解决同类最值问题。
【难度系数】
0.6
要使△AEF的周长最小，周长AE+EF+AF中的A是定点，E、F为OM、ON上的动点，直接求折线和的最小值较难。我们可以利用轴对称的性质转移线段：作A关于OM的对称点A₁，则AE=A₁E；作A关于ON的对称点A₂，则AF=A₂F，此时周长可转化为A₁E+EF+A₂F，即连接A₁、A₂的折线长度。根据两点之间线段最短，当E、F在A₁A₂连线上时，折线长度最小，等于A₁A₂的长度，据此即可确定E、F的位置。
【解析】
作法：
1. 作点A关于直线OM的对称点$A_1$；
2. 作点A关于直线ON的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，分别交OM于点E，交ON于点F。
则点E、F即为所求。
证明：
由轴对称的性质可得：$AE = A_1E$，$AF = A_2F$，
因此$△ AEF$的周长$= AE + EF + AF = A_1E + EF + A_2F = A_1A_2$。
若在OM上任取异于E的点$E'$，在ON上任取异于F的点$F'$，连接$AE'$、$E'F'$、$AF'$，同理可得$AE' = A_1E'$，$AF' = A_2F'$，
此时$△ AE'F'$的周长$= AE' + E'F' + AF' = A_1E' + E'F' + A_2F'$。
根据两点之间线段最短，可得$A_1E' + E'F' + A_2F' ＞ A_1A_2$，
因此$A_1A_2$的长度是$△ AEF$周长的最小值，上述作法得到的E、F满足要求。
【答案】
1.作点A关于直线OM的对称点$A_1$；2.作点A关于直线ON的对称点$A_2$；3.连接$A_1A_2$，分别交OM于点E、交ON于点F，点E、F即为所求，此时$△ AEF$周长最小。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典题型，解题核心是通过轴对称实现线段的等量转化，将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握这种对称转化的思路可快速解决同类最值问题。
【难度系数】
0.6
【例3】如图，A，B是∠MON内的两个定点，分别在边OM和ON上找一点E，F，使得AE＋EF＋FB的值最小。
答案
【例3】解:如图,作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',A'B'分别交OM,ON于点E,F,则点E,F即为所求.
解析
【分析】
要解决折线段AE+EF+FB的最小值问题，核心思路是利用已学的两点之间线段最短公理和轴对称性质进行转化：首先，轴对称可以保证对称轴上任意一点到原点点和对称点的距离相等，我们可以把AE转化为A关于OM对称点A'到E的距离，把FB转化为B关于ON对称点B'到F的距离，此时三条折线段的和就变为A'E+EF+B'的和，要让这个和最小，只需让三个线段共线，即连接A'B'，它与OM、ON的交点就是所求的E、F。
【解析】
1. 作点A关于直线OM的对称点A'，根据轴对称的性质，OM上任意一点E都满足AE=A'E；
2. 作点B关于直线ON的对称点B'，同理，ON上任意一点F都满足FB=FB'；
3. 此时AE+EF+FB=A'E+EF+FB'，根据两点之间线段最短的公理，当E、F恰好在线段A'B'上时，A'E+EF+FB'的长度等于线段A'B'的长度，此时和为最小值；
4. 因此线段A'B'与OM的交点就是所求的E，与ON的交点就是所求的F。
【答案】
如图,作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',A'B'分别交OM,ON于点E,F,则点E,F即为所求.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是典型的最短路径应用题型，解题核心是通过轴对称将折线段转化为可直接判断最短长度的直线段，体现了数学中的转化思想，掌握这种对称转化的思路是解决同类最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决折线段AE+EF+FB的最小值问题，核心思路是利用已学的两点之间线段最短公理和轴对称性质进行转化：首先，轴对称可以保证对称轴上任意一点到原点点和对称点的距离相等，我们可以把AE转化为A关于OM对称点A'到E的距离，把FB转化为B关于ON对称点B'到F的距离，此时三条折线段的和就变为A'E+EF+B'的和，要让这个和最小，只需让三个线段共线，即连接A'B'，它与OM、ON的交点就是所求的E、F。
【解析】
1. 作点A关于直线OM的对称点A'，根据轴对称的性质，OM上任意一点E都满足AE=A'E；
2. 作点B关于直线ON的对称点B'，同理，ON上任意一点F都满足FB=FB'；
3. 此时AE+EF+FB=A'E+EF+FB'，根据两点之间线段最短的公理，当E、F恰好在线段A'B'上时，A'E+EF+FB'的长度等于线段A'B'的长度，此时和为最小值；
4. 因此线段A'B'与OM的交点就是所求的E，与ON的交点就是所求的F。
【答案】
如图,作点A关于OM的对称点A',作点B关于ON的对称点B',A'B'分别交OM,ON于点E,F,则点E,F即为所求.
【知识点】
轴对称的性质；两点之间线段最短；最短路径作图
【点评】
本题是典型的最短路径应用题型，解题核心是通过轴对称将折线段转化为可直接判断最短长度的直线段，体现了数学中的转化思想，掌握这种对称转化的思路是解决同类最短路径问题的关键。
【难度系数】
0.7
