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12.如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,连接AD,DE⊥AC于点E,EF⊥AB于点F.已知BC=16,则BF的长为 （
A.4
B.6
C.8
D.10
D
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
12.D
解析
【分析】
解题思路可从所求BF倒推：BF=AB-AF，AB是等边三角形边长为16，因此只需求出AF的长度即可。①首先利用等边三角形性质，得三边相等、各内角为60°，结合D是BC中点求出DC的长度；②在Rt△DEC中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出EC，进而得到AE的长度；③再在Rt△AFE中，再次用30°角直角三角形的性质求出AF，最后计算AB与AF的差即可得到BF。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=16，
∴AB=AC=BC=16，∠BAC=∠C=60°，
∵D是BC的中点，
∴DC = $\frac{1}{2}$BC = 8，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠C=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}×8$=4，
∴AE = AC - EC = 16 - 4 = 12，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠FAE=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}×12$=6，
∴BF = AB - AF = 16 - 6 = 10。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用等边三角形的角度特征结合含30°角直角三角形的边的关系推导线段长度，解题时可通过所求线段倒推需要的条件，能更快理清解题路径。
【难度系数】
0.7
解题思路可从所求BF倒推：BF=AB-AF，AB是等边三角形边长为16，因此只需求出AF的长度即可。①首先利用等边三角形性质，得三边相等、各内角为60°，结合D是BC中点求出DC的长度；②在Rt△DEC中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出EC，进而得到AE的长度；③再在Rt△AFE中，再次用30°角直角三角形的性质求出AF，最后计算AB与AF的差即可得到BF。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，BC=16，
∴AB=AC=BC=16，∠BAC=∠C=60°，
∵D是BC的中点，
∴DC = $\frac{1}{2}$BC = 8，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
在Rt△DEC中，∠C=60°，
∴∠EDC=30°，
∴EC = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}×8$=4，
∴AE = AC - EC = 16 - 4 = 12，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠FAE=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{2}×12$=6，
∴BF = AB - AF = 16 - 6 = 10。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用等边三角形的角度特征结合含30°角直角三角形的边的关系推导线段长度，解题时可通过所求线段倒推需要的条件，能更快理清解题路径。
【难度系数】
0.7
13.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=120°$，D是BC上任意一点，过点D分别作$DE⊥ AB$于点E，$DF⊥ AC$于点F。如果$BC=12$，那么$DE+DF=$
6
。答案
13.6
解析
【分析】
首先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知顶角∠A=120°，可算出底角∠B和∠C均为30°。再观察DE、DF分别是两个直角三角形的直角边，且所对的角刚好是30°的底角，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可将DE、DF分别用BD、CD表示，最后将两者相加，结合BD+CD=BC的线段和关系，整体代入BC的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∵DE⊥AB，即△BED是直角三角形，∠B=30°
∴DE=½BD（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
同理，DF⊥AC，即△CFD是直角三角形，∠C=30°
∴DF=½CD
∴DE+DF=½BD + ½CD = ½(BD+CD)
又
∵BD+CD=BC=12
∴DE+DF=½×12=6
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题是几何定值计算的典型题，解题时无需分别求解DE、DF的长度，通过性质将两条线段转化为与BC相关的表达式，利用整体思想代入计算即可，能很好地考查学生对等腰三角形、直角三角形性质的掌握情况和整体运算的思维能力。
【难度系数】
0.7
首先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知顶角∠A=120°，可算出底角∠B和∠C均为30°。再观察DE、DF分别是两个直角三角形的直角边，且所对的角刚好是30°的底角，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可将DE、DF分别用BD、CD表示，最后将两者相加，结合BD+CD=BC的线段和关系，整体代入BC的长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°
∵DE⊥AB，即△BED是直角三角形，∠B=30°
∴DE=½BD（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
同理，DF⊥AC，即△CFD是直角三角形，∠C=30°
∴DF=½CD
∴DE+DF=½BD + ½CD = ½(BD+CD)
又
∵BD+CD=BC=12
∴DE+DF=½×12=6
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形性质，含30°角的直角三角形性质，线段和差计算
【点评】
本题是几何定值计算的典型题，解题时无需分别求解DE、DF的长度，通过性质将两条线段转化为与BC相关的表达式，利用整体思想代入计算即可，能很好地考查学生对等腰三角形、直角三角形性质的掌握情况和整体运算的思维能力。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,CD⊥ AB$于点$D,∠ DCB$的平分线$CE$交$AB$于点$E$.
(1)求证:$AC=AE$;
(2)若$∠ A=60°,AD=3$,求$BD$的长.
(1)求证:$AC=AE$;
(2)若$∠ A=60°,AD=3$,求$BD$的长.
答案
14.解:(1)证明:$\because ∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$,
$\therefore ∠ACD+∠A=90^{\circ },∠B+∠A=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ACD=∠B$.
$\because CE$平分$∠BCD,\therefore ∠BCE=∠DCE$,
$\therefore ∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE$,
即$∠AEC=∠ACE,\therefore AC=AE$.
(2)9
$\therefore ∠ACD+∠A=90^{\circ },∠B+∠A=90^{\circ }$,
$\therefore ∠ACD=∠B$.
$\because CE$平分$∠BCD,\therefore ∠BCE=∠DCE$,
$\therefore ∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE$,
即$∠AEC=∠ACE,\therefore AC=AE$.
(2)9
解析
【分析】
(1) 要证$AC=AE$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠ ACE=∠ AEC$即可。首先利用直角三角形两锐角互余，可推导得$∠ ACD=∠ B$；再结合$CE$是$∠ DCB$的平分线，得到$∠ BCE=∠ DCE$；最后根据三角形外角的性质，通过等量代换即可证明两个角相等，进而得到边相等。
(2) 求$BD$的长，可先在$Rt△ ACD$中，利用$∠ A=60°$得到$∠ ACD=30°$，根据含$30°$角的直角三角形的边的关系求出$AC$的长度；再在$Rt△ ABC$中，由$∠ B=30°$求出$AB$的长度，最后用$AB$减去$AD$即可得到$BD$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACD+∠ A=90°,∠ B+∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because CE$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCE=∠ DCE$，
$\therefore ∠ B+∠ BCE=∠ ACD+∠ DCE$。
由三角形外角的性质得$∠ AEC=∠ B+∠ BCE$，
又$∠ ACE=∠ ACD+∠ DCE$，
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，
$\therefore AC=AE$。
(2) 解：
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°,∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ACD=30°$，
$\because 30°$角所对直角边$AD=3$，
$\therefore AC=2AD=6$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°,∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=30°$，
$\therefore AB=2AC=12$，
$\therefore BD=AB-AD=12-3=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是通过角的等量转化推导等腰三角形的判定条件，第二问多次运用含30°角的直角三角形的边的关系求解，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AC=AE$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明$∠ ACE=∠ AEC$即可。首先利用直角三角形两锐角互余，可推导得$∠ ACD=∠ B$；再结合$CE$是$∠ DCB$的平分线，得到$∠ BCE=∠ DCE$；最后根据三角形外角的性质，通过等量代换即可证明两个角相等，进而得到边相等。
(2) 求$BD$的长，可先在$Rt△ ACD$中，利用$∠ A=60°$得到$∠ ACD=30°$，根据含$30°$角的直角三角形的边的关系求出$AC$的长度；再在$Rt△ ABC$中，由$∠ B=30°$求出$AB$的长度，最后用$AB$减去$AD$即可得到$BD$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ ACB=90°,CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ACD+∠ A=90°,∠ B+∠ A=90°$，
$\therefore ∠ ACD=∠ B$。
$\because CE$平分$∠ BCD$，
$\therefore ∠ BCE=∠ DCE$，
$\therefore ∠ B+∠ BCE=∠ ACD+∠ DCE$。
由三角形外角的性质得$∠ AEC=∠ B+∠ BCE$，
又$∠ ACE=∠ ACD+∠ DCE$，
$\therefore ∠ AEC=∠ ACE$，
$\therefore AC=AE$。
(2) 解：
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°,∠ A=60°$，
$\therefore ∠ ACD=30°$，
$\because 30°$角所对直角边$AD=3$，
$\therefore AC=2AD=6$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°,∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B=30°$，
$\therefore AB=2AC=12$，
$\therefore BD=AB-AD=12-3=9$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boxed{9}$
【知识点】
等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题核心是通过角的等量转化推导等腰三角形的判定条件，第二问多次运用含30°角的直角三角形的边的关系求解，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
15.如图1，$△ ABC$为等边三角形，$D$为$BC$的中点，连接$AD$，$AE$平分$∠ DAC$，交$BC$于点$E$，点$F$在$△ ABC$外，连接$FE$，$BF$，$AF$，满足$BF// AC$，$∠ AFB=∠ AEC$.
(1)求$∠ FAE$的度数.
(2)如图2，$G$是$AC$上的一点，连接$EG$，$GF$，$GF$与$AE$交于点$K$.若$AK=EK$，求证：$CG=2CE$.
(1)求$∠ FAE$的度数.
(2)如图2，$G$是$AC$上的一点，连接$EG$，$GF$，$GF$与$AE$交于点$K$.若$AK=EK$，求证：$CG=2CE$.
答案
15.解:(1)$60^{\circ }$
(2)证明:由(1)可知$AF=AE,∠FAE=60^{\circ }$,
$\therefore △AFE$为等边三角形,
$\therefore ∠AFE=60^{\circ },AF=EF$.
$\because AK=EK,\therefore ∠AFG=∠EFG=30^{\circ },FK⊥AE$.
在$△AFG$和$△EFG$中,$\begin{cases} AF=EF, \\ ∠AFG=∠EFG, \\ FG=FG, \end{cases}$
$\therefore △AFG≌△EFG(\mathrm{SAS}),\therefore ∠AGF=∠EGF$.
$\because △ABC$为等边三角形,$D$为$BC$的中点,
$\therefore ∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=30^{\circ }$.
$\because AE$平分$∠DAC$,
$\therefore ∠CAE=\frac{1}{2}∠DAC=15^{\circ }$.
$\because FK⊥AE,\therefore ∠GKA=90^{\circ },\therefore ∠AGF=180^{\circ }-∠GKA-∠CAE=180^{\circ }-90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$,
$\therefore ∠EGF=∠AGF=75^{\circ }$,
$\therefore ∠CGE=180^{\circ }-(∠AGF+∠EGF)=30^{\circ }$.
$\because ∠C=60^{\circ }$,
$\therefore ∠CEG=180^{\circ }-∠C-∠CGE=90^{\circ }$.
在$\mathrm{Rt}△CEG$中,$\because ∠CGE=30^{\circ },\therefore CG=2CE$.
(2)证明:由(1)可知$AF=AE,∠FAE=60^{\circ }$,
$\therefore △AFE$为等边三角形,
$\therefore ∠AFE=60^{\circ },AF=EF$.
$\because AK=EK,\therefore ∠AFG=∠EFG=30^{\circ },FK⊥AE$.
在$△AFG$和$△EFG$中,$\begin{cases} AF=EF, \\ ∠AFG=∠EFG, \\ FG=FG, \end{cases}$
$\therefore △AFG≌△EFG(\mathrm{SAS}),\therefore ∠AGF=∠EGF$.
$\because △ABC$为等边三角形,$D$为$BC$的中点,
$\therefore ∠DAC=\frac{1}{2}∠BAC=30^{\circ }$.
$\because AE$平分$∠DAC$,
$\therefore ∠CAE=\frac{1}{2}∠DAC=15^{\circ }$.
$\because FK⊥AE,\therefore ∠GKA=90^{\circ },\therefore ∠AGF=180^{\circ }-∠GKA-∠CAE=180^{\circ }-90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$,
$\therefore ∠EGF=∠AGF=75^{\circ }$,
$\therefore ∠CGE=180^{\circ }-(∠AGF+∠EGF)=30^{\circ }$.
$\because ∠C=60^{\circ }$,
$\therefore ∠CEG=180^{\circ }-∠C-∠CGE=90^{\circ }$.
在$\mathrm{Rt}△CEG$中,$\because ∠CGE=30^{\circ },\therefore CG=2CE$.
解析
【分析】
(1) 解题时先利用等边三角形三线合一的性质，得到AD平分∠BAC，求出∠DAC的度数，再结合角平分线定义得到∠CAE的度数；然后通过平行线的性质得到相等的角，证明△ABF和△ACE全等，推出∠BAF=∠CAE，最后结合∠BAC的度数即可计算出∠FAE的度数。
(2) 由(1)的结论可先判定△AFE为等边三角形，结合AK=EK利用等边三角形三线合一的性质，得到FG是AE的垂直平分线且平分∠AFE；再通过SAS证明△AFG和△EFG全等，得到对应角相等，逐步计算出△CEG内的角度，最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可证明结论。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∵AE平分∠DAC，
∴$∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAC=15°$，
∵$BF// AC$，
∴∠ABF=∠BAC=60°，即∠ABF=∠C，
在△ABF和△ACE中：
$\begin{cases} ∠ AFB=∠ AEC \\ ∠ ABF=∠ C \\ AB=AC \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(AAS)，
∴∠BAF=∠CAE=15°，
∴$∠ FAE=∠ BAF+∠ BAE=15°+(60°-15°)=60°$。
(2) 证明：由(1)可知$AF=AE,∠ FAE=60°$，
∴$△ AFE$为等边三角形，
∴$∠ AFE=60°,AF=EF$。
∵$AK=EK$，
∴$∠ AFG=∠ EFG=30°,FK⊥ AE$。
在$△ AFG$和$△ EFG$中，$\begin{cases} AF=EF, \\ ∠ AFG=∠ EFG, \\ FG=FG, \end{cases}$
∴$△ AFG≌△ EFG(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AGF=∠ EGF$。
∵$△ ABC$为等边三角形，$D$为$BC$的中点，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵$AE$平分$∠ DAC$，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ DAC=15°$。
∵$FK⊥ AE$，
∴$∠ GKA=90°$，
∴$∠ AGF=180°-∠ GKA-∠ CAE=180°-90°-15°=75°$，
∴$∠ EGF=∠ AGF=75°$，
∴$∠ CGE=180°-(∠ AGF+∠ EGF)=30°$。
∵$∠ C=60°$，
∴$∠ CEG=180°-∠ C-∠ CGE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
∵$∠ CGE=30°$，
∴$CG=2CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，融合了等边三角形、全等三角形、直角三角形的核心性质，解题的关键是逐步转化边角关系，挖掘题干隐含的条件，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先利用等边三角形三线合一的性质，得到AD平分∠BAC，求出∠DAC的度数，再结合角平分线定义得到∠CAE的度数；然后通过平行线的性质得到相等的角，证明△ABF和△ACE全等，推出∠BAF=∠CAE，最后结合∠BAC的度数即可计算出∠FAE的度数。
(2) 由(1)的结论可先判定△AFE为等边三角形，结合AK=EK利用等边三角形三线合一的性质，得到FG是AE的垂直平分线且平分∠AFE；再通过SAS证明△AFG和△EFG全等，得到对应角相等，逐步计算出△CEG内的角度，最后利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可证明结论。
【解析】
(1) 解：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
∵AE平分∠DAC，
∴$∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ DAC=15°$，
∵$BF// AC$，
∴∠ABF=∠BAC=60°，即∠ABF=∠C，
在△ABF和△ACE中：
$\begin{cases} ∠ AFB=∠ AEC \\ ∠ ABF=∠ C \\ AB=AC \end{cases}$
∴△ABF≌△ACE(AAS)，
∴∠BAF=∠CAE=15°，
∴$∠ FAE=∠ BAF+∠ BAE=15°+(60°-15°)=60°$。
(2) 证明：由(1)可知$AF=AE,∠ FAE=60°$，
∴$△ AFE$为等边三角形，
∴$∠ AFE=60°,AF=EF$。
∵$AK=EK$，
∴$∠ AFG=∠ EFG=30°,FK⊥ AE$。
在$△ AFG$和$△ EFG$中，$\begin{cases} AF=EF, \\ ∠ AFG=∠ EFG, \\ FG=FG, \end{cases}$
∴$△ AFG≌△ EFG(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ AGF=∠ EGF$。
∵$△ ABC$为等边三角形，$D$为$BC$的中点，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$。
∵$AE$平分$∠ DAC$，
∴$∠ CAE=\frac{1}{2}∠ DAC=15°$。
∵$FK⊥ AE$，
∴$∠ GKA=90°$，
∴$∠ AGF=180°-∠ GKA-∠ CAE=180°-90°-15°=75°$，
∴$∠ EGF=∠ AGF=75°$，
∴$∠ CGE=180°-(∠ AGF+∠ EGF)=30°$。
∵$∠ C=60°$，
∴$∠ CEG=180°-∠ C-∠ CGE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，
∵$∠ CGE=30°$，
∴$CG=2CE$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) 证明如上。
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于三角形综合题，融合了等边三角形、全等三角形、直角三角形的核心性质，解题的关键是逐步转化边角关系，挖掘题干隐含的条件，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
