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8.如图,已知AD,CE分别是$△ ABC$的中线和角平分线,AD交CE于点H.若$AB=AC$,$∠ BAC=40°$,则$∠ CHD$的度数是 (
A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
D
)A.$25°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先从已知AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合∠BAC的度数先计算出底角∠ACB的度数；再利用等腰三角形三线合一的性质，由AD是底边中线推出AD垂直BC，得到∠ADC为直角；接着根据CE是角平分线求出∠HCD的度数；最后在直角三角形HDC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CHD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADC=90°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠HCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
在Rt△HDC中，∠CHD + ∠HCD = 90°，
∴∠CHD=90°-35°=55°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质得到直角，再结合角平分线的性质推导相关角度，解题时注意梳理条件之间的关联，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知AB=AC判断△ABC为等腰三角形，结合∠BAC的度数先计算出底角∠ACB的度数；再利用等腰三角形三线合一的性质，由AD是底边中线推出AD垂直BC，得到∠ADC为直角；接着根据CE是角平分线求出∠HCD的度数；最后在直角三角形HDC中，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CHD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠ADC=90°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠HCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
在Rt△HDC中，∠CHD + ∠HCD = 90°，
∴∠CHD=90°-35°=55°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；角平分线的定义；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质得到直角，再结合角平分线的性质推导相关角度，解题时注意梳理条件之间的关联，避免角度计算错误。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,$AC=8$,点$D$,$E$分别在$BC$, $AC$上,$F$是$BD$的中点.若$AB=AD$,$EF= EC$,则$EF$的长是 (
A.3
B.4
C.5
D.6
B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.B
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB=AD说明△ABD是等腰三角形，F是BD中点，可优先考虑等腰三角形三线合一的性质，连接AF得到AF⊥BC，构造出直角三角形AFC；再结合EF=EC的条件，通过角的等量代换推导边的关系，最终得到EF和AC的数量关系即可求解。
【解析】
连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得AF⊥BC，即∠AFC=90°，
∴在Rt△AFC中，∠FAE + ∠C = 90°，∠AFE + ∠EFC = 90°，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C（等边对等角），
∴∠FAE=∠AFE（等角的余角相等），
∴AE=EF（等角对等边），
又
∵EF=EC，
∴EF=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=8，
∴EF=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，等角对等边，直角三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，结合等腰三角形和直角三角形的性质，通过角的等量转化得到线段的数量关系，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，AB=AD说明△ABD是等腰三角形，F是BD中点，可优先考虑等腰三角形三线合一的性质，连接AF得到AF⊥BC，构造出直角三角形AFC；再结合EF=EC的条件，通过角的等量代换推导边的关系，最终得到EF和AC的数量关系即可求解。
【解析】
连接AF，
∵AB=AD，F为BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得AF⊥BC，即∠AFC=90°，
∴在Rt△AFC中，∠FAE + ∠C = 90°，∠AFE + ∠EFC = 90°，
∵EF=EC，
∴∠EFC=∠C（等边对等角），
∴∠FAE=∠AFE（等角的余角相等），
∴AE=EF（等角对等边），
又
∵EF=EC，
∴EF=AE=EC=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=8，
∴EF=$\frac{1}{2}$×8=4。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质，等角对等边，直角三角形性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是合理添加辅助线，结合等腰三角形和直角三角形的性质，通过角的等量转化得到线段的数量关系，考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 3∠ C$，$∠ 1 = ∠ 2$，$BE ⊥ AE$，$AB = 5$，$BE = 3$，则$AC =$
11
。答案
10.11
解析
【分析】
遇到角平分线+角平分线上的垂线的结构，可通过延长垂线构造全等三角形，利用等腰三角形三线合一转化边和角的关系。第一步先延长BE交AC于点F，证明△ABE和△AFE全等，得到AB、BF的长度以及对应角相等的关系；第二步结合三角形外角性质和已知∠ABC=3∠C的条件，推导出△FBC为等腰三角形，得到FC的长度，最后计算AC的总长即可。
【解析】
解：延长BE交AC于点F。
∵ $BE⊥AE$，
∴ $∠ AEB=∠ AEF=90°$
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2 \\AE=AE \\∠ AEB=∠ AEF\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA})$
∴ $AB=AF=5$，$BE=EF=3$，$∠ ABF=∠ AFB$
∴ $BF=BE+EF=3+3=6$
∵ $∠ AFB$是$△ BFC$的外角，
∴ $∠ AFB=∠ C+∠ FBC$
又
∵ $∠ ABC=∠ ABF+∠ FBC=3∠ C$，将$∠ ABF=∠ AFB=∠ C+∠ FBC$代入得：
$∠ C+∠ FBC+∠ FBC=3∠ C$
整理得$2∠ FBC=2∠ C$，即$∠ FBC=∠ C$
∴ $FB=FC=6$
∴ $AC=AF+FC=5+6=11$
【答案】
$11$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题的核心突破口是根据角平分线加垂线的特征构造全等三角形，再结合角的倍数关系推导等腰三角形，实现线段的等量转化，是三角形综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线+角平分线上的垂线的结构，可通过延长垂线构造全等三角形，利用等腰三角形三线合一转化边和角的关系。第一步先延长BE交AC于点F，证明△ABE和△AFE全等，得到AB、BF的长度以及对应角相等的关系；第二步结合三角形外角性质和已知∠ABC=3∠C的条件，推导出△FBC为等腰三角形，得到FC的长度，最后计算AC的总长即可。
【解析】
解：延长BE交AC于点F。
∵ $BE⊥AE$，
∴ $∠ AEB=∠ AEF=90°$
在$△ ABE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}∠ 1=∠ 2 \\AE=AE \\∠ AEB=∠ AEF\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ AFE(\mathrm{ASA})$
∴ $AB=AF=5$，$BE=EF=3$，$∠ ABF=∠ AFB$
∴ $BF=BE+EF=3+3=6$
∵ $∠ AFB$是$△ BFC$的外角，
∴ $∠ AFB=∠ C+∠ FBC$
又
∵ $∠ ABC=∠ ABF+∠ FBC=3∠ C$，将$∠ ABF=∠ AFB=∠ C+∠ FBC$代入得：
$∠ C+∠ FBC+∠ FBC=3∠ C$
整理得$2∠ FBC=2∠ C$，即$∠ FBC=∠ C$
∴ $FB=FC=6$
∴ $AC=AF+FC=5+6=11$
【答案】
$11$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题的核心突破口是根据角平分线加垂线的特征构造全等三角形，再结合角的倍数关系推导等腰三角形，实现线段的等量转化，是三角形综合题的常见考法。
【难度系数】
0.6
11.【新考法·阅读理解】阅读下面的材料并回答问题.
小明遇到这样一个问题:如图 1,在$△ ABC$中,$∠ B = 2∠ C$,$AD ⊥ BC$于点 D,求证:$BC=AB+2BD$.小明利用条件$AD ⊥ BC$,在$CD$上截取$DH=BD$,如图2,连接$AH$既构造了等腰三角形$ABH$,又得到$BH=2BD$,从而使命题得证.
(1)根据材料证明$BC=AB+2BD$.
(2)参考小明的方法解决下面的问题:如图 3,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$∠ ABD = ∠ BCE$,$∠ ABC=∠ DCE$,请探究$AD$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.
小明遇到这样一个问题:如图 1,在$△ ABC$中,$∠ B = 2∠ C$,$AD ⊥ BC$于点 D,求证:$BC=AB+2BD$.小明利用条件$AD ⊥ BC$,在$CD$上截取$DH=BD$,如图2,连接$AH$既构造了等腰三角形$ABH$,又得到$BH=2BD$,从而使命题得证.
(1)根据材料证明$BC=AB+2BD$.
(2)参考小明的方法解决下面的问题:如图 3,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$∠ ABD = ∠ BCE$,$∠ ABC=∠ DCE$,请探究$AD$与$BE$之间的数量关系,并说明理由.
答案
11.(1)略
(2)$BE=2AD$.理由略
(2)$BE=2AD$.理由略
解析
【分析】
(1) 要证明$BC=AB+2BD$，结合题目给出的辅助线思路，在$CD$上截取$DH=BD$，先利用$AD⊥ BC$得到$AD$是$BH$的垂直平分线，推出$AB=AH$，再结合$∠ B=2∠ C$，利用三角形外角性质推导得$∠ HAC=∠ C$，得到$AH=HC$，最后通过线段和的关系等量代换即可证明。
(2) 探究$AD$与$BE$的数量关系时，参考(1)中构造等腰三角形转化线段的方法，先根据已知角的等量关系推导角度关系，再通过构造全等或利用直角三角形性质，将$BE$转化为与$2AD$相等的线段，最终得到$BE=2AD$的结论。
【解析】
(1) 证明：如图2，在$CD$上截取$DH=BD$，连接$AH$。
$\because AD⊥ BC$，$BD=DH$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BH$，
$\therefore AB=AH$，
$\therefore ∠ B=∠ AHB$。
$\because ∠ B=2∠ C$，
$\therefore ∠ AHB=2∠ C$。
又$\because ∠ AHB$是$△ AHC$的外角，
$\therefore ∠ AHB=∠ C+∠ HAC$，
$\therefore 2∠ C=∠ C+∠ HAC$，即$∠ HAC=∠ C$，
$\therefore AH=HC$，
$\therefore AB=HC$。
$\because BC=BH+HC$，且$BH=BD+DH=2BD$，
$\therefore BC=AB+2BD$，得证。
(2) $BE=2AD$，理由如下：
取$BE$的中点$M$，连接$AM$，
$\because ∠ BAC=90°$，$M$为$BE$中点，
$\therefore AM=BM=ME=\frac{1}{2}BE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ MAB=∠ ABM$。
设$∠ ABD=∠ BCE=α$，$∠ ABC=∠ DCE=β$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=β+(α+β)=α+2β=90°$。
结合角度关系可证$∠ AMD=∠ ADM$，得$AM=AD$，
$\therefore \frac{1}{2}BE=AD$，即$BE=2AD$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $BE=2AD$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于阅读理解类新考法题型，需要先理解题目给出的构造辅助线的方法，再类比迁移解决新的问题，核心考查截长补短构造等腰或全等三角形转化线段关系的能力，解题时要注意结合角的等量关系推导等腰、全等的判定条件。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$BC=AB+2BD$，结合题目给出的辅助线思路，在$CD$上截取$DH=BD$，先利用$AD⊥ BC$得到$AD$是$BH$的垂直平分线，推出$AB=AH$，再结合$∠ B=2∠ C$，利用三角形外角性质推导得$∠ HAC=∠ C$，得到$AH=HC$，最后通过线段和的关系等量代换即可证明。
(2) 探究$AD$与$BE$的数量关系时，参考(1)中构造等腰三角形转化线段的方法，先根据已知角的等量关系推导角度关系，再通过构造全等或利用直角三角形性质，将$BE$转化为与$2AD$相等的线段，最终得到$BE=2AD$的结论。
【解析】
(1) 证明：如图2，在$CD$上截取$DH=BD$，连接$AH$。
$\because AD⊥ BC$，$BD=DH$，
$\therefore AD$垂直平分线段$BH$，
$\therefore AB=AH$，
$\therefore ∠ B=∠ AHB$。
$\because ∠ B=2∠ C$，
$\therefore ∠ AHB=2∠ C$。
又$\because ∠ AHB$是$△ AHC$的外角，
$\therefore ∠ AHB=∠ C+∠ HAC$，
$\therefore 2∠ C=∠ C+∠ HAC$，即$∠ HAC=∠ C$，
$\therefore AH=HC$，
$\therefore AB=HC$。
$\because BC=BH+HC$，且$BH=BD+DH=2BD$，
$\therefore BC=AB+2BD$，得证。
(2) $BE=2AD$，理由如下：
取$BE$的中点$M$，连接$AM$，
$\because ∠ BAC=90°$，$M$为$BE$中点，
$\therefore AM=BM=ME=\frac{1}{2}BE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
$\therefore ∠ MAB=∠ ABM$。
设$∠ ABD=∠ BCE=α$，$∠ ABC=∠ DCE=β$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=β+(α+β)=α+2β=90°$。
结合角度关系可证$∠ AMD=∠ ADM$，得$AM=AD$，
$\therefore \frac{1}{2}BE=AD$，即$BE=2AD$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $BE=2AD$
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于阅读理解类新考法题型，需要先理解题目给出的构造辅助线的方法，再类比迁移解决新的问题，核心考查截长补短构造等腰或全等三角形转化线段关系的能力，解题时要注意结合角的等量关系推导等腰、全等的判定条件。
【难度系数】
0.6
