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已知:如图,在$△ ABC$中,D为AB的中点,E为AC上的一点,DE延长线交BC延长线于点F.求证:$\frac{BF}{CF}=\frac{AE}{EC}.$
答案
证明：过C作CG//AB，交DF于点G.
∵CG//AB，
∴△CGE∽△ADE，△CFG∽△BFD，
∴$\frac{CG}{AD}$=$\frac{CE}{AE}$，$\frac{CG}{BD}$=$\frac{CF}{BF}$.
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{CF}{BF}$，即$\frac{BF}{CF}$=$\frac{AE}{EC}$.
1.如图,已知∠1=∠2=∠3,求证:AC·DE=AE·BC.
答案
1. 证明:
∵∠1=∠2=∠3,
∴∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,
∴△ABC∽△ADE,
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,
∴$AC · DE=AE · BC$.
∵∠1=∠2=∠3,
∴∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,
∴△ABC∽△ADE,
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{DE}$,
∴$AC · DE=AE · BC$.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F,E是BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.求证:$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$
答案
2. 证明:
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAE=∠CAD.
又
∵∠AEB=∠DAE+∠ADE,∠ADC=∠BDC+∠ADE,∠DAE=∠BDC,
∴∠AEB=∠ADC,
∴△ABE∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAE=∠CAD.
又
∵∠AEB=∠DAE+∠ADE,∠ADC=∠BDC+∠ADE,∠DAE=∠BDC,
∴∠AEB=∠ADC,
∴△ABE∽△ACD,
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$.
3. 如图,在正方形ABCD中,M为BC上一点,F是AM的中点,EF⊥AM,垂足为点F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.求证:AD·AE=AM·EF.
答案
3. 证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD//BC,AD=AB,∠B=90°,
∴∠AMB=∠MAD.
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴△ABM∽△EFA,
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{AM}{AE}$,即$\frac{AD}{EF}=\frac{AM}{AE}$,
∴$AD · AE=AM · EF$.
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD//BC,AD=AB,∠B=90°,
∴∠AMB=∠MAD.
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°,
∴△ABM∽△EFA,
∴$\frac{AB}{EF}=\frac{AM}{AE}$,即$\frac{AD}{EF}=\frac{AM}{AE}$,
∴$AD · AE=AM · EF$.
4.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$BC$边上的高,$P$为$AD$上一点,过点$C$作$CG// AB$,延长$BP$交$AC$于点$E$,交$CG$于点$F$.求证:$BP^2=PE· PF$.
答案
4. 证明:连接PC.
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴AD所在的直线是△ABC的对称轴,
∴PC=PB,∠PCE=∠ABP.
∵CF//AB,
∴∠PFC=∠ABP,
∴∠PFC=∠PCE.
又
∵∠FPC=∠CPE,
∴△CPF∽△EPC,
∴$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$,
∴$PC^2=PE · PF$.
∵PC=BP,
∴$BP^2=PE · PF$.
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴AD所在的直线是△ABC的对称轴,
∴PC=PB,∠PCE=∠ABP.
∵CF//AB,
∴∠PFC=∠ABP,
∴∠PFC=∠PCE.
又
∵∠FPC=∠CPE,
∴△CPF∽△EPC,
∴$\frac{PC}{PE}=\frac{PF}{PC}$,
∴$PC^2=PE · PF$.
∵PC=BP,
∴$BP^2=PE · PF$.
