11.[2025·六安裕安区期末]如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点。若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=$（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{\sqrt{2}}$

11.C

12. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=10$，$AD=15$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$，$BG⊥ AE$于点$G$.
(1)$△ ABE$与$△ FCE$的周长比为________；
(2)若$BG=8$，则$△ FCE$的周长为________.

12.(1)$2:1$ (2)$16$

13. 如图，AC//BD，AB 和 CD 相交于点 E，AC＝6，BD＝4，F 是 BC 边上一点，$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$。
(1)求 EF 的长；
(2)如果$△ BEF$的面积为 4，求$△ ABC$的面积。

13. 解:(1)$\because AC//BD,\therefore △ACE∽ △BDE$,
$\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BD}{AC}=\frac{2}{3}.$
$\because △BEF$ 和 $△EFC$ 同高,$S_{△ BEF}:S_{△ EFC}=2:3$,
$\therefore \frac{BF}{CF}=\frac{2}{3},\therefore \frac{BE}{AE}=\frac{BF}{CF}=\frac{2}{3},即\frac{BE}{AB}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{5}.$
$\because ∠ EBF=∠ ABC,\therefore △BEF∽ △BAC$,
$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{2}{5},\therefore EF=\frac{2}{5}×6=\frac{12}{5}.$
(2)由(1)知$△BEF∽ △BAC$,
$\therefore \frac{S_{△ BEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{BF}{BC})^2=\frac{4}{25},\therefore S_{△ ABC}=25.$

14. [2025·安庆怀宁期中]在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=5$，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上.若$△ ADE$与$△ ABC$相似，且$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=4:21$，求$AD$的长.

14. 解:$\because S_{△ ABC}=S_{△ ADE}+S_{\mathrm{四边形}BCED},S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=4:21$,
$\therefore \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{4}{25}.$
如图1,当$DE// AB$时,$△ADE∽ △ABC$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{25},\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$,
$\therefore AD=\frac{2}{5}AB=\frac{12}{5};$
如图2,当$DE$与$AB$不平行时,$△ADE∽ △ACB$,则$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AC})^2=\frac{4}{25},\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{2}{5}$,
$\therefore AD=\frac{2}{5}AC=2.$
综上所述,$AD$的值为$\frac{12}{5}$或2.