5. 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°, BD²=AD·BC.
(1)求证:AD//BC.
(2)过点A作AE//CD交BC于点E.请完善图形,并求证:CD²=BE·BC.

5. 证明:(1)
∵$BD^2=AD · BC$,
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{BD}$.
∵∠BAD=∠BDC=90°,
∴△DAB∽△BDC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴AD//BC.
(2)如图所示.
∵AD//BC,AE//CD,
∴四边形ADCE是平行四边形,∠AEB=∠BCD,
∴AE=CD.
又
∵∠BAD=90°,AD//BC,
∴∠ABE=90°,
∴∠ABE=∠BDC,
∴△ABE∽△BDC,
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{BC}$,
∴$AE · CD=BE · BC$.
∵AE=CD,
∴$CD^2=BE · BC$.

6.如图,在$□ ABCD$中,点E在BA的延长线上,连接EC交AD于点F,交对角线BD于点G.求证:$\frac{EG}{GC}=\frac{EC}{FC}$.

6. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD//BC,EB//CD,
∴$\frac{EC}{FC}=\frac{BE}{AB}$,$\frac{EG}{GC}=\frac{BE}{CD}$.
∵AB=CD,
∴$\frac{EG}{GC}=\frac{EC}{FC}$.

7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC边上一点,以线段AD为边作$△ ADE$,$AD=AE$,$∠ DAE=∠ BAC$,$DE$与$AC$相交于点F.求证:$\frac{DC}{DF}=\frac{BC}{DE}$.

7. 证明:
∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠B=∠ACB=∠ADE=∠E,
∴△ABC∽△ADE,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$.
∵∠ADC=∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD,
∴∠CDF=∠BAD,
∴△ABD∽△DCF,
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AD}{DF}$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{DC}{DF}$,
∴$\frac{DC}{DF}=\frac{BC}{DE}$.

8.如图,在△ABC中,AD,BF分别是BC,AC边上的高,过点D作AB的垂线交AB于点E,交BF于点G,交AC的延长线于点H.求证:DE²=EG·EH.

8. 证明:
∵∠AED=∠BED,∠DAE=∠BDE,
∴△ADE∽△DBE,
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{AE}{DE}$,
∴$DE^2=AE · BE$.
∵∠EBG+∠BAF=90°,∠AHE+∠BAF=90°,
∴∠EBG=∠AHE,
又
∵∠BEG=∠AEH=90°,
∴△BEG∽△HEA,
∴$\frac{BE}{EH}=\frac{EG}{AE}$,即$AE · BE=EG · EH$,
∴$DE^2=EG · EH$.