1. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=6$,$AC=8$,作$□ DEFG$,使$GF$在边$BC$上,点$D$,$E$分别在$AB$,$AC$上,且$DE=5$,则$□ DEFG$的面积为（）

A.24
B.12
C.9
D.6

1.B

2. 如图，点E在矩形ABCD的边AB上，将$△ ADE$沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处。若$CD=3BF$，$BE=4$，则AD的长为（）

A.9
B.12
C.15
D.18

2.C

3. [2025·合肥四十二中二模]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,点$D$在$AB$上,且$AD=AC$,$E$为$△ ABC$外一点,连接$DE$,$AE$.若$△ ADE ∽ △ CDB$,则$∠ CDE$的度数是（）

A.$45°$
B.$36°$
C.$30°$
D.$22.5°$

3.A

4. 如图,在$△ ACD$中,$AD=6$,$BC=5$,$AC^2=AB(AB+BC)$,且$△ DAB ∽ △ DCA$.若$AD=3AP$,$Q$是线段$AB$上的动点,则$PQ$的最小值是（）

A.$\frac{\sqrt{7}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
D.$\frac{8}{5}$

4.A

5. 如图,在菱形ABCD中,点M,N在对角线AC上,ME⊥AD于点E,NF⊥AB于点F.若NF=NM=2,ME=3,则AN的值为.

5.4

6. 如图,在等腰$△ ABC$中,$AB=AC=a$,$BC=b$,点$P$在$△ ABC$内,且$∠ PBC=∠ PAB=∠ PCA$,则$\frac{S_{△ PAB}}{S_{△ PBC}}=$.(用含$a,b$的式子表示)

6.$\frac{a^2}{b^2}$

7. [2024·合肥长丰二模]已知E是△ABC外一点，D是△ABC所在平面内一点，且满足∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE.


(1)如图1，点D在△ABC外，求证：△ABC∽△ADE；
(2)如图2，点D在边BC上，AC与DE交于点F，若∠BAC=90°，∠ABC=30°，BD=1，AD=$\sqrt{3}$，求$\frac{DF}{CF}$的值.

7.解:(1)$\because ∠ABD=∠ACE,∠BAD=∠CAE$,
$\therefore △BAD∽△CAE,\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE},\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}.$
$\because ∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD$,
$\therefore ∠CAB=∠EAD,\therefore △ABC∽△ADE.$
(2)由(1)得$△BAD∽△CAE,△ABC∽△ADE$,
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE},∠ADE=∠ABC=∠ACE=30°,$
$∠DAE=∠BAC=90°,$
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},易得\frac{AE}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3},$
$\therefore AE=\sqrt{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{3}AD,\therefore AD=3CE.$
$\because ∠ADF=∠ECF=30°,∠AFD=∠EFC,$
$\therefore △AFD∽△EFC,\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{AD}{CE}=3.$