1. (2026·苏州月考)如图,二次函数$y=-x^2+(m-1)x+m$($m$是常数,且$m＞0$)的图象与$x$轴交于$A,B$两点(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C$.
(1)求$A,B,C$三点的坐标(用数字或含$m$的式子表示),并求$∠ ABC$的度数;
(2)若$m=4$,点$P$在抛物线上,且$∠ PAB=∠ ABC$,求点$P$的坐标.

1. (1)当y=0时,0=-x²+(m-1)x+m,(x-m)(x+1)=0,解方程,得x₁=-1,x₂=m.
∵ 点A在点B的左侧,且m＞0,
∴ A(-1,0),B(m,0),当x=0时,y=m,
∴ C(0,m),
∴ OB=OC=m.
∵ ∠BOC=90°,
∴ ∠ABC=45°.
(2)当m=4时,y=-x²+3x+4,A(-1,0),B(4,0),C(0,4),当点P在x轴上方时,如图①,过点P作AB的垂线交AB于点E,
∵ ∠PAB=∠ABC=45°,∠PEA=90°,
∴ AE=PE.设P(a,-a²+3a+4),
∴ a+1=-a²+3a+4,解得a₁=3,a₂=-1(舍去),
∴ P(3,4);
当点P在x轴下方时,如图②,过点P作AB的垂线交AB于点D,同理可得AD=PD,设P(a,-a²+3a+4),
∴ a+1=|-a²+3a+4|,即a+1=a²-3a-4,解得a₁=5,a₂=-1(舍去),
∴ P(5,-6).综上所述,点P的坐标为(3,4)或(5,-6).

2. (2025·德阳中考)如图①,在平面直角坐标系中,已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象与x轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)如图②,连接BC,过点C作$CD⊥BC$与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标;
②如图③,点E,F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧),且$EF=\sqrt{2}$,连接OF,DE.求$OF+DE$的最小值.

2. (1)
∵ A(-1,0),B(3,0)在二次函数y=-x²+bx+c的图象上,设该二次函数为y=-(x-x₁)(x-x₂),
∴ y=-(x+1)(x-3),
∴ y=-x²+2x+3.
(2)①把x=0代入y=-x²+2x+3,得y=3,
∴ C(0,3).如图①,延长DC与x轴相交于点G.
∵ B(3,0),C(0,3),
∴ OB=OC=3.
∵ ∠COB=90°,
∴ ∠CBO=45°.
∵ ∠DCB=90°=∠BCG,
∴ ∠CGB=90°-∠CBO=90°-45°=45°,
∴ ∠GCO=180°-∠COG-∠CGB=180°-90°-45°=45°,
∴ OG=OC=3,
∴ G(-3,0).设直线CG的解析式为y=kx+m(k≠0),把C(0,3),G(-3,0)代入,得$\begin{cases}3=m,\\0=-3k+m,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\m=3,\end{cases}$
∴ 直线CG的解析式为y=x+3.
∵ 点D是直线CG与二次函数图象的交点,
∴ 联立$\begin{cases}y=x+3,\\y=-x²+2x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=4,\end{cases}$
∴ D(1,4).
②如图②,过点O作OH//EF,且OH=EF=$\sqrt{2}$,连接HE,DH.
∵ OH//EF,且OH=EF,
∴ 四边形OFEH是平行四边形,
∴ OF=EH.
∵ ∠CBO=45°,
∴ ∠BOH=45°.
∵ OH=EF=$\sqrt{2}$,
∴ H(1,-1).
∵ DE+EH≥DH,
∴ 当DE+EH=DH时,DE+EH最小.此时D,E,H三点共线且DH⊥x轴,
∴ 点F的坐标为(0,3)与点C重合,满足EF在线段BC上.
∴ OF+DE的最小值为5.