23.如图,直线$ l_1: y = x + 4 $与过点$ A(4,0) $的直线$ l_2 $交于点$ C(2,m) $,与$ x $轴交于点$ B $。
(1)求直线$ l_2 $的表达式;
(2)点$ D $在直线$ l_1 $上,$ DE // y $轴,交直线$ l_2 $于点$ E $,若$ AB = 2DE $,求点$ D $的坐标。

(1)求直线$ l_2 $的表达式;
(2)点$ D $在直线$ l_1 $上,$ DE // y $轴,交直线$ l_2 $于点$ E $,若$ AB = 2DE $,求点$ D $的坐标。
答案
23.解:(1)把$x=2$代入$y=x+4$,得$y=6$,
$\therefore C(2,6)$.
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,
将$A(4,0),C(2,6)$代入,得$\begin{cases}2k+b=6,\\4k+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3,\\b=12,\end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的表达式为$y=-3x+12$.
(2)在$y=x+4$中,令$y=0$,得$x=-4$,
$\therefore B(-4,0)$,
$\therefore AB=4-(-4)=8$.
设$D(a,a+4)$,$\therefore E(a,-3a+12)$,
$\because AB=2DE$,
$\therefore AB=2DE=2|a+4-(-3a+12)|=8$,
解得$a=3$或$a=1$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(3,7)$或$(1,5)$.
$\therefore C(2,6)$.
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,
将$A(4,0),C(2,6)$代入,得$\begin{cases}2k+b=6,\\4k+b=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3,\\b=12,\end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的表达式为$y=-3x+12$.
(2)在$y=x+4$中,令$y=0$,得$x=-4$,
$\therefore B(-4,0)$,
$\therefore AB=4-(-4)=8$.
设$D(a,a+4)$,$\therefore E(a,-3a+12)$,
$\because AB=2DE$,
$\therefore AB=2DE=2|a+4-(-3a+12)|=8$,
解得$a=3$或$a=1$,
$\therefore$点$D$的坐标为$(3,7)$或$(1,5)$.
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