24.综合探究实践课上，智慧星小组三位同学对含$60°$角的菱形进行了探究.

【背景】在菱形$ABCD$中，$∠ B=60°$，作$∠ PAQ=∠ B$，$AP$，$AQ$分别交边$BC$，$CD$于点$P$，$Q$.
(1)【感知】如图1，若点$P$是边$BC$的中点，小智经过探索发现了线段$AP$与$AQ$之间的数量关系，请你直接写出这个关系为；
(2)【探究】如图2，当点$P$为$BC$上任意一点时，请说明(1)中的结论是否仍然成立，并写出理由；
(3)【应用】如图3，在菱形纸片$ABCD$中，$∠ ABC=60°$，$AB=8$，在$BC$边上取一点$P$，连接$AP$，在菱形内部作$∠ PAQ=60°$，$AQ$交$CD$于点$Q$，当$AP=3\sqrt{6}$时，求线段$DQ$的长.
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24.解:(1)$AP=AQ$
(2)连接$AC$,如图1.

在菱形$ABCD$中,$∠ B=60°$,$\therefore △ BAC$与$△ DAC$为等边三角形,
$\therefore AC=AD$,$∠ PCA=∠ D$,
$\because ∠ PAQ=∠ CAD=60°$,
$\therefore ∠ PAC+∠ CAQ=∠ CAQ+∠ QAD=60°$,
$\therefore ∠ PAC=∠ QAD$.
又$\because AC=AD$,$∠ PCA=∠ D$,
$\therefore △ PAC≌△ QAD(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AP=AQ$.
(3)过点$A$作$AE⊥ BC$交$BC$于点$E$,按题意补充线段,连接$AC$,当点$P$在点$E$左侧时,如图2.

由(2)得$PC=DQ$,$E$为$BC$的中点,
$\therefore BE=4$,
由勾股定理得$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=4\sqrt{3}$,
$\because AP=3\sqrt{6}$,
$\therefore PE=\sqrt{AP^2-AE^2}=\sqrt{6}$,
$\therefore PC=CE+PE=4+\sqrt{6}$,
$\therefore QD=4+\sqrt{6}$;
当点$P$在点$E$右侧时,如图3.

同理可得$PE=\sqrt{6}$,
$\therefore PC=CE-PE=4-\sqrt{6}$,
$\therefore QD=4-\sqrt{6}$.
综上,$QD$的长度为$4+\sqrt{6}$或$4-\sqrt{6}$.