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1 [2025 山东青岛中考]将二次函数$y=x^2 - 2x - 3$的图象在$x$轴下方的部分以$x$轴为对称轴翻折到$x$轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（
A.图象与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与$x$轴两个交点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
C
）A.图象与$y$轴的交点坐标是$(0,-3)$
B.当$x=1$时，函数取得最大值
C.图象与$x$轴两个交点之间的距离为4
D.当$x＞1$时，$y$的值随$x$值的增大而增大
答案
1. C 【解析】
∵ 二次函数$y=x^2 - 2x - 3$,
∴ 当$x=0$时,$y=-3$,
∴ 其图象与$y$轴交于$(0,-3)$. 又
∵ 图象在$x$轴下方的部分以$x$轴为对称轴翻折到$x$轴上方,
∴ 新函数图象与$y$轴的交点为$(0,3)$,故 A 错误. 结合函数图象可以发现,函数没有最大值,故 B 错误. 令 $y=x^2 - 2x - 3 = 0$,则 $x=3$ 或 $x=-1$,
∴ 函数图象与 $x$ 轴交点为 $(-1,0)$,$(3,0)$,
∴ 图象与 $x$ 轴两个交点之间的距离为 $3-(-1)=4$,故 C 正确. 易知图象的对称轴是直线 $x=1$,
∴ 结合函数图象可得,当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $x＞3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故 D 错误. 故选 C.
∵ 二次函数$y=x^2 - 2x - 3$,
∴ 当$x=0$时,$y=-3$,
∴ 其图象与$y$轴交于$(0,-3)$. 又
∵ 图象在$x$轴下方的部分以$x$轴为对称轴翻折到$x$轴上方,
∴ 新函数图象与$y$轴的交点为$(0,3)$,故 A 错误. 结合函数图象可以发现,函数没有最大值,故 B 错误. 令 $y=x^2 - 2x - 3 = 0$,则 $x=3$ 或 $x=-1$,
∴ 函数图象与 $x$ 轴交点为 $(-1,0)$,$(3,0)$,
∴ 图象与 $x$ 轴两个交点之间的距离为 $3-(-1)=4$,故 C 正确. 易知图象的对称轴是直线 $x=1$,
∴ 结合函数图象可得,当 $1＜x＜3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $x＞3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,故 D 错误. 故选 C.
2[2025广东广州中考]在平面直角坐标系中，两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在抛物线$y=ax^2 - 2ax(a＞0)$上，则下列结论中正确的是（
A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，则$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，则$0＜x_2＜2$
C.当$x_1＜x_2＜1$时，则$y_1＜y_2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，则$y_1＜y_2$
A
）A.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＜0$时，则$0＜x_2＜2$
B.当$x_1＜0$且$y_1 · y_2 ＞0$时，则$0＜x_2＜2$
C.当$x_1＜x_2＜1$时，则$y_1＜y_2$
D.当$x_1＞x_2＞1$时，则$y_1＜y_2$
答案
2. A 【解析】
∵ $y=ax^2-2ax(a＞0)$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=-\frac{-2a}{2a}=1$,与 $x$ 轴的交点为$(0,0)$,$(2,0)$. 把 $x=1$ 代入 $y=ax^2-2ax$ 得 $y=a-2a=-a$,
∴ 顶点为 $(1,-a)$.
∵ 两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在抛物线 $y=ax^2-2ax(a＞0)$ 上,
∴ 当 $x_1＜0$ 且 $y_1 · y_2 ＜0$ 时,$y_1＞0$,则 $y_2＜0$,此时 $0＜x_2＜2$,故 A 选项的结论正确. 当 $x_1＜0$ 且 $y_1 · y_2＞0$ 时,$y_1＞0$,则 $y_2＞0$,此时 $x_2$ 应满足 $x_2＜0$ 或 $x_2＞2$,故 B 选项的结论错误. 当 $x_1＜x_2＜1$ 时,抛物线在 $x＜1$ 时呈下降趋势,故 $x$ 越大,$y$ 越小,则 $y_1＞y_2$,故 C 选项的结论错误. 当 $x_1＞x_2＞1$ 时,抛物线在 $x＞1$ 时呈上升趋势,故 $x$ 越大,$y$ 越大,则 $y_1＞y_2$,故 D 选项的结论错误. 故选 A.
∵ $y=ax^2-2ax(a＞0)$,
∴ 抛物线的开口向上,对称轴为直线 $x=-\frac{-2a}{2a}=1$,与 $x$ 轴的交点为$(0,0)$,$(2,0)$. 把 $x=1$ 代入 $y=ax^2-2ax$ 得 $y=a-2a=-a$,
∴ 顶点为 $(1,-a)$.
∵ 两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在抛物线 $y=ax^2-2ax(a＞0)$ 上,
∴ 当 $x_1＜0$ 且 $y_1 · y_2 ＜0$ 时,$y_1＞0$,则 $y_2＜0$,此时 $0＜x_2＜2$,故 A 选项的结论正确. 当 $x_1＜0$ 且 $y_1 · y_2＞0$ 时,$y_1＞0$,则 $y_2＞0$,此时 $x_2$ 应满足 $x_2＜0$ 或 $x_2＞2$,故 B 选项的结论错误. 当 $x_1＜x_2＜1$ 时,抛物线在 $x＜1$ 时呈下降趋势,故 $x$ 越大,$y$ 越小,则 $y_1＞y_2$,故 C 选项的结论错误. 当 $x_1＞x_2＞1$ 时,抛物线在 $x＞1$ 时呈上升趋势,故 $x$ 越大,$y$ 越大,则 $y_1＞y_2$,故 D 选项的结论错误. 故选 A.
3[2025江苏南通中考]在平面直角坐标系$xOy$中，五个点的坐标分别为$A(-1,5),B(1,2),C(2,1),D(3,-1),E(5,5)$。若抛物线$y=a(x-2)^2+k(a＞0)$经过上述五个点中的三个点，则满足题意的$a$的值不可能为（
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
）A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3. C 【解析】
∵ 抛物线 $y=a(x-2)^2+k(a＞0)$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=2$.
∵ $A(-1,5)$,$E(5,5)$,且 $\frac{-1+5}{2}=2$,
∴ 点 $A,E$ 同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 当抛物线过 $A,E,B$ 时,把 $B(1,2)$,$A(-1,5)$ 代入得 $\begin{cases}a(1-2)^2+k=2,\\a(-1-2)^2+k=5,\end{cases}$
∴ $a=\frac{3}{8}$. 当抛物线过 $A,E,C$ 时,把 $A(-1,5)$,$C(2,1)$ 代入得 $\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(2-2)^2+k=1,\end{cases}$
∴ $a=\frac{4}{9}$. 当抛物线过 $A,E,D$ 时,把 $A(-1,5)$,$D(3,-1)$ 代入得 $\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(3-2)^2+k=-1,\end{cases}$
∴ $a=\frac{3}{4}$. 当抛物线过 $B,C,D$ 时,把 $C(2,1)$ 代入解析式,得 $k=1$,
∴ $y=a(x-2)^2+1$,把 $B(1,2)$ 代入得 $a+1=2$,解得 $a=1$; 把 $D(3,-1)$ 代入得 $a+1=-1$,解得 $a=-2$,
∴ $B,C,D$ 三点不能同时在抛物线上. 综上,$a$ 的值可能为 $\frac{3}{8}$,$\frac{4}{9}$,$\frac{3}{4}$,不可能为 $\frac{2}{3}$,故选 C.
思路分析：先得到点 A,E 同时在抛物线上或同时不在抛物线上,然后再分情况逐一求解.
∵ 抛物线 $y=a(x-2)^2+k(a＞0)$,
∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=2$.
∵ $A(-1,5)$,$E(5,5)$,且 $\frac{-1+5}{2}=2$,
∴ 点 $A,E$ 同时在抛物线上或同时不在抛物线上. 当抛物线过 $A,E,B$ 时,把 $B(1,2)$,$A(-1,5)$ 代入得 $\begin{cases}a(1-2)^2+k=2,\\a(-1-2)^2+k=5,\end{cases}$
∴ $a=\frac{3}{8}$. 当抛物线过 $A,E,C$ 时,把 $A(-1,5)$,$C(2,1)$ 代入得 $\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(2-2)^2+k=1,\end{cases}$
∴ $a=\frac{4}{9}$. 当抛物线过 $A,E,D$ 时,把 $A(-1,5)$,$D(3,-1)$ 代入得 $\begin{cases}a(-1-2)^2+k=5,\\a(3-2)^2+k=-1,\end{cases}$
∴ $a=\frac{3}{4}$. 当抛物线过 $B,C,D$ 时,把 $C(2,1)$ 代入解析式,得 $k=1$,
∴ $y=a(x-2)^2+1$,把 $B(1,2)$ 代入得 $a+1=2$,解得 $a=1$; 把 $D(3,-1)$ 代入得 $a+1=-1$,解得 $a=-2$,
∴ $B,C,D$ 三点不能同时在抛物线上. 综上,$a$ 的值可能为 $\frac{3}{8}$,$\frac{4}{9}$,$\frac{3}{4}$,不可能为 $\frac{2}{3}$,故选 C.
思路分析：先得到点 A,E 同时在抛物线上或同时不在抛物线上,然后再分情况逐一求解.
4[2025山东济南中考]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）图象的顶点坐标是$(-1,n)$，且经过$(1,0),(0,m)$两点，$3＜m＜4$。有下列结论：
①关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+1=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根；
②当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
③$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$；
④$4a-2b+c＞0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$。
以上结论正确的有（
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
①关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c-n+1=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根；
②当$x＞-1$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；
③$-\dfrac{4}{3}＜a＜-1$；
④$4a-2b+c＞0$；
⑤对于任意实数$t$，总有$(t+1)(at-a+b)≤0$。
以上结论正确的有（
A
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
4. A 【解析】
∵ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$($a,b,c$ 为常数,$a≠0$) 图象的顶点坐标是 $(-1,n)$,且经过 $(1,0)$,$(0,m)$ 两点,$3＜m＜4$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=-1$,
∴ $a＜0$,抛物线与 $x$ 轴的交点为 $(1,0)$ 和 $(-3,0)$,图象如图
所示. 令 $y=n-1$,结合函数图象易知直线 $y=n-1$ 与抛物线有两个交点,则 $ax^2+bx+c=n-1(a≠0)$ 有两个不相等的实数根,故 $ax^2+bx+c-n+1=0(a≠0)$ 有两个不相等的实数根,①正确,符合题意.∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=-1$,
∴ 当 $x＞-1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小,故②正确,符合题意.
∵ 抛物线与 $x$ 轴的交点为 $(1,0)$ 和 $(-3,0)$,
∴ 二次函数为 $y=a(x-1)(x+3)=a(x^2+2x-3)=ax^2+2ax-3a$,
∴ $m=-3a$.
∵ $3＜m＜4$,
∴ $3＜-3a＜4$,解得 $-\frac{4}{3}＜a＜-1$,故③正确,符合题意. 结合函数图象可知,当 $x=-2$ 时,$y=4a-2b+c＞0$,故④正确,符合题意.
∵ $x=-\frac{b}{2a}=-1$,
∴ $b=2a$,
∴ $(t+1)(at-a+b)=(t+1)(at-a+2a)=a(t+1)(t+1)=a(t+1)^2$.
∵ $a＜0$,$(t+1)^2≥0$,
∴ $a(t+1)^2≤0$,故⑤正确,符合题意. 综上,①②③④⑤正确,故选 A.
5 新考向 开放性试题 [2025广东中考]已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的解析式可以是
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
5. $y=-x^2+x+2$(答案不唯一) 【解析】
∵ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点 $(c,0)$,
∴ $0=-c^2+bc+c$.
∵ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象不经过原点,
∴ $c≠0$,则 $c-b=1$. 若取 $b=1$,则 $c=2$,
∴ 该二次函数的解析式可以是 $y=-x^2+x+2$,故答案为 $y=-x^2+x+2$(答案不唯一).
思路分析：先把点的坐标代入,得出关于 $b,c$ 的等式,然后取符合条件的 $b,c$ 的值即可.
∵ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象经过点 $(c,0)$,
∴ $0=-c^2+bc+c$.
∵ 二次函数 $y=-x^2+bx+c$ 的图象不经过原点,
∴ $c≠0$,则 $c-b=1$. 若取 $b=1$,则 $c=2$,
∴ 该二次函数的解析式可以是 $y=-x^2+x+2$,故答案为 $y=-x^2+x+2$(答案不唯一).
思路分析：先把点的坐标代入,得出关于 $b,c$ 的等式,然后取符合条件的 $b,c$ 的值即可.
6[2025安徽中考]已知抛物线$y=ax^2+bx(a≠0)$经过点$(4,0)$.
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合).
(i)若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小；
(ii)当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时,若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,求$a$与$b$的值.
还得是你鸭
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$分别在抛物线$y=ax^2+bx$和$y=x^2-2x$上(A,B与原点都不重合).
(i)若$a=\frac{1}{2}$,且$x_1=x_2$,比较$y_1$与$y_2$的大小；
(ii)当$\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$时,若$\frac{x_2}{x_1}$是一个与$x_1$无关的定值,求$a$与$b$的值.
还得是你鸭
答案
6. 【解】(1)由题意得,$16a+4b=0$,即 $b=-4a$,所以 $-\frac{b}{2a}=2$,故该抛物线的对称轴是直线 $x=2$.
(2)(i)由题意知,抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$. 因为 $x_1=x_2$,所以 $y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$. 因为抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点,且点 $A$ 与原点不重合,所以 $x_1≠0$,所以 $\frac{1}{2}x_1^2＞0$,故 $y_2＞y_1$.
(ii)由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$. 因为 $\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,所以 $\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.
因为两条抛物线均过原点,且 $A,B$ 与原点都不重合,所以 $x_1≠0$,$x_2≠0$,故 $\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即 $x_2=a(x_1-4)+2$,所以 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$. 依题意知,$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值. 不妨将 $x_1=1$ 和 $x_1=2$ 分别代入 $a+\frac{2-4a}{x_1}$,可得 $2-3a=1-a$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
经检验,当 $a=\frac{1}{2}$ 时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值,符合题意,所以 $a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$.
(2)(i)由题意知,抛物线的解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$. 因为 $x_1=x_2$,所以 $y_2-y_1=(x_2^2-2x_2)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=(x_1^2-2x_1)-(\frac{1}{2}x_1^2-2x_1)=\frac{1}{2}x_1^2$. 因为抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2-2x$ 过原点,且点 $A$ 与原点不重合,所以 $x_1≠0$,所以 $\frac{1}{2}x_1^2＞0$,故 $y_2＞y_1$.
(ii)由题意知,$y_1=ax_1^2-4ax_1$,$y_2=x_2^2-2x_2$. 因为 $\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}$,所以 $\frac{x_2^2-2x_2}{a(x_1^2-4x_1)}=\frac{x_2}{x_1}$.
因为两条抛物线均过原点,且 $A,B$ 与原点都不重合,所以 $x_1≠0$,$x_2≠0$,故 $\frac{x_2-2}{a(x_1-4)}=1$,即 $x_2=a(x_1-4)+2$,所以 $\frac{x_2}{x_1}=\frac{a(x_1-4)+2}{x_1}=a+\frac{2-4a}{x_1}$. 依题意知,$a+\frac{2-4a}{x_1}$ 是与 $x_1$ 无关的定值. 不妨将 $x_1=1$ 和 $x_1=2$ 分别代入 $a+\frac{2-4a}{x_1}$,可得 $2-3a=1-a$,解得 $a=\frac{1}{2}$.
经检验,当 $a=\frac{1}{2}$ 时,$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{2}$ 是一个与 $x_1$ 无关的定值,符合题意,所以 $a=\frac{1}{2}$,$b=-4a=-2$.
7[2024江苏南通中考]将抛物线$y=x^2+2x-1$向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（
A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$
D
）A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$
答案
7. D 【解析】因为 $y=x^2+2x-1=(x+1)^2-2$,所以抛物线 $y=x^2+2x-1$ 的顶点坐标为 $(-1,-2)$,所以将此抛物线向右平移 3 个单位后,所得新抛物线的顶点坐标为 $(2,-2)$. 故选 D.
8[2024 黑龙江牡丹江中考]将抛物线$y=ax^2+bx+3$向下平移5个单位长度后，经过点$(-2,4)$，则$6a-3b-7=$
2
.答案
8. 2 【解析】抛物线 $y=ax^2+bx+3$ 向下平移 5 个单位长度后得到 $y=ax^2+bx+3-5=ax^2+bx-2$,把点 $(-2,4)$ 代入得 $4=a×(-2)^2-2b-2$,
∴ $2a-b=3$,
∴ $6a-3b-7=3(2a-b)-7=3×3-7=2$,故答案为 2.
∴ $2a-b=3$,
∴ $6a-3b-7=3(2a-b)-7=3×3-7=2$,故答案为 2.
