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1[2026湖北荆州期中]随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统.该系统中的喷灌器从喷水口喷出的水柱成抛物线形.如图是喷灌器OA喷水时的截面示意图，喷水口A点离地高度为0.25 m，喷出的水柱在离喷水口水平距离为2 m处达到最高点，最高点离地高度为0.45 m，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点B处，则喷灌器OA与围墙的水平距离OB为（
A.4 m
B.4.5 m
C.5 m
D.5.5 m
（第1题图）
（第3题图）
C
）A.4 m
B.4.5 m
C.5 m
D.5.5 m
（第1题图）
（第3题图）
答案
1. C 【解析】以O为原点,直线OB为x轴,直线OA为y轴建立平面直角坐标系,如图所示
,设该抛物线的解析式为 y = a(x-2)²+0.45.∵ 点(0, 0.25)在该抛物线上,
∴ 0.25=a(0-2)²+0.45, 解得 a = -1/20,
∴ y = -1/20(x-2)²+0.45. 当 y = 0 时,0 = -1/20(x-2)²+0.45,解得x₁=5,x₂=-1(不符合题意,舍去),
∴ OB=5 m,故选 C.
2[2026福建莆田期中]某学校举行的田径运动会上,一名男生在一次实心球投掷时,实心球行进高度$y$(单位:米)与水平距离$x$(单位:米)之间的关系式是$y=-\frac{1}{12}x^2+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$.那么该男生此次投掷实心球的成绩是
10
米.答案
2. 10 【解析】
∵ y = -1/12 x² + 2/3 x + 5/3, 令 y = 0, 得0 = -1/12 x² + 2/3 x + 5/3, 整理得 x²-8x-20=0,
∴ (x-10)(x+2)=0,
∴ x₁=10,x₂=-2(舍去),
∴ 该男生此次投掷实心球的成绩是10米. 故答案为10.
∵ y = -1/12 x² + 2/3 x + 5/3, 令 y = 0, 得0 = -1/12 x² + 2/3 x + 5/3, 整理得 x²-8x-20=0,
∴ (x-10)(x+2)=0,
∴ x₁=10,x₂=-2(舍去),
∴ 该男生此次投掷实心球的成绩是10米. 故答案为10.
3[2026 辽宁沈阳期中]如图(示意图),某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练,水面边缘点E的坐标为$(-\dfrac{3}{2}, -10)$.运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.运动员在空中最高处点A的坐标为$(1, \dfrac{5}{4})$.运动员入水后,运动路线为另一条抛物线,在该运动员入水点的正前方有M,N两点,且$EM=\dfrac{21}{2}\ \mathrm{m}$,$EN=\dfrac{27}{2}\ \mathrm{m}$,该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2 +k$,且顶点C距水面5 m,若该运动员出水点D在M,N之间(包括M,N两点),则a的取值范围是
$\frac{5}{16}≤ a≤ \frac{4}{5}$
.答案
3. $\frac{5}{16}≤ a≤ \frac{4}{5}$ 【解析】
∵ $EM=\frac{21}{2}$ m,$EN=\frac{27}{2}$ m,点E的坐标为$(-\frac{3}{2},-10)$,
∴ 点M,N的坐标分别为$(9,-10)$,$(12,-10)$. $\because A(1,\frac{5}{4})$,
∴ 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为$y=m(x-1)^2+\frac{5}{4}$. 又
∵ 此时抛物线过$(0,0)$,
$\therefore m+\frac{5}{4}=0$,$\therefore m=-\frac{5}{4}$,
∴ 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为$y=-\frac{5}{4}(x-1)^2+\frac{5}{4}$.
令$y=-10$,$\therefore -10=-\frac{5}{4}(x-1)^2+\frac{5}{4}$,$\therefore x=4$或$-2$(舍去),$\therefore B(4,-10)$.
∵ 该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$,
∴ 当抛物线过点$M(9,-10)$时,顶点为$(6.5,-15)$,
∴ 此时$y=a(x-6.5)^2-15$,把$M(9,-10)$代入,得$a=\frac{4}{5}$. 同理,当抛物线过点$N(12,-10)$时,$a=\frac{5}{16}$. 由点D在M,N之间(包括M,N两点)得a的取值范围为$\frac{5}{16}≤ a≤ \frac{4}{5}$.
∵ $EM=\frac{21}{2}$ m,$EN=\frac{27}{2}$ m,点E的坐标为$(-\frac{3}{2},-10)$,
∴ 点M,N的坐标分别为$(9,-10)$,$(12,-10)$. $\because A(1,\frac{5}{4})$,
∴ 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为$y=m(x-1)^2+\frac{5}{4}$. 又
∵ 此时抛物线过$(0,0)$,
$\therefore m+\frac{5}{4}=0$,$\therefore m=-\frac{5}{4}$,
∴ 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为$y=-\frac{5}{4}(x-1)^2+\frac{5}{4}$.
令$y=-10$,$\therefore -10=-\frac{5}{4}(x-1)^2+\frac{5}{4}$,$\therefore x=4$或$-2$(舍去),$\therefore B(4,-10)$.
∵ 该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为$y=a(x-h)^2+k$,
∴ 当抛物线过点$M(9,-10)$时,顶点为$(6.5,-15)$,
∴ 此时$y=a(x-6.5)^2-15$,把$M(9,-10)$代入,得$a=\frac{4}{5}$. 同理,当抛物线过点$N(12,-10)$时,$a=\frac{5}{16}$. 由点D在M,N之间(包括M,N两点)得a的取值范围为$\frac{5}{16}≤ a≤ \frac{4}{5}$.
4 新素材[2026内蒙古乌兰察布期中]内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至31日在赤峰市举办.在运动场入口安装了一个充气拱门,拱门呈抛物线形(
).数学小组想了解此拱门的高度,先测量拱门底端距离AB=10 m,再将两根长度为3 m的标杆CE,DF垂直于地面放置且让标杆端点C,D落在拱门上,再测量出两标杆间的距离EF=8 m,则此拱门(不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为 (
A.25 m
B.20 m
C.$\frac{25}{3}$ m
D.5 m
).数学小组想了解此拱门的高度,先测量拱门底端距离AB=10 m,再将两根长度为3 m的标杆CE,DF垂直于地面放置且让标杆端点C,D落在拱门上,再测量出两标杆间的距离EF=8 m,则此拱门(不考虑拱门自身的粗细大小)的高度为 (C
)A.25 m
B.20 m
C.$\frac{25}{3}$ m
D.5 m
答案
4. C 【解析】如图所示
,以AB的中点O为原点,以直线AB为x轴,以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系. 由题意得$A(-5,0)$,$B(5,0)$,$D(4,3)$,设经过A,B,D三点的抛物线的解析式为$y=a(x+5)(x-5)(a≠0)$,$\therefore 3=a(4+5)(4-5)$,$\therefore a=-\frac{1}{3}$,
∴ 经过A,B,D三点的抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{3}(x+5)(x-5)$,
∴ 当$x=0$时,$y=-\frac{1}{3}×(0+5)×(0-5)=\frac{25}{3}$,
∴ 此拱门的高度为$\frac{25}{3}$ m. 故选 C.
关键点拨
以AB的中点O为原点,以直线AB为x轴,以过点O且与直线AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,求出经过A,B,D三点的抛物线解析式,再求出$x=0$时,y的值即可得到答案.
5[2025河北石家庄校级期中]某拱桥的主桥拱可近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度OA约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为$y=a(x-10)^2+10$，则$a=$
$-\frac{1}{10}$
，主桥拱最高点P与其在水中倒影点P'之间的距离为20
米。答案
5. $-\frac{1}{10}$ 20 【解析】由题意可得$A(20,0)$,
$\therefore a(20-10)^2+10=0$,$\therefore a=-\frac{1}{10}$,$\therefore y=-\frac{1}{10}(x-10)^2+10$,$\therefore P(10,10)$,
∴ 点$P'$的坐标为$(10,-10)$,
∴ 主桥拱最高点P与其在水中倒影点$P'$之间的距离为$10-(-10)=20$(米). 故答案为$-\frac{1}{10}$,20.
$\therefore a(20-10)^2+10=0$,$\therefore a=-\frac{1}{10}$,$\therefore y=-\frac{1}{10}(x-10)^2+10$,$\therefore P(10,10)$,
∴ 点$P'$的坐标为$(10,-10)$,
∴ 主桥拱最高点P与其在水中倒影点$P'$之间的距离为$10-(-10)=20$(米). 故答案为$-\frac{1}{10}$,20.
6 一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OC为8 m，宽OA为2 m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6 m，建立如图所示的坐标系(1个单位长度表示1 m)。
(1)求抛物线的解析式。
(2)一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过？为什么？
(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？为什么？
(1)求抛物线的解析式。
(2)一辆货车高4 m，宽2 m，能否从该隧道内通过？为什么？
(3)如果隧道内设双行道，两辆同样的上述货车相对而行，是否可以同时在隧道内顺利通过？为什么？
答案
6.【解】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为P(4,6).设抛物线的解析式为$y=a(x-4)^2+6$.
又因为点A(0,2)在抛物线上,
所以$2=a(0-4)^2+6$,所以$a=-\frac{1}{4}$,
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$.
(2)能. 理由:令$y=4$,则有$4=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$,解得$x_1=4+2\sqrt{2}$,$x_2=4-2\sqrt{2}$,所以$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}＞2$,所以货车能从该隧道内通过.
(3)可以. 理由:由(2)可知$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}＞2×2$,所以两辆相对而行的货车可以同时在隧道内顺利通过.
又因为点A(0,2)在抛物线上,
所以$2=a(0-4)^2+6$,所以$a=-\frac{1}{4}$,
所以抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$.
(2)能. 理由:令$y=4$,则有$4=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6$,解得$x_1=4+2\sqrt{2}$,$x_2=4-2\sqrt{2}$,所以$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}＞2$,所以货车能从该隧道内通过.
(3)可以. 理由:由(2)可知$|x_1-x_2|=4\sqrt{2}＞2×2$,所以两辆相对而行的货车可以同时在隧道内顺利通过.
