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1[2026河北石家庄质检]某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现:每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店某月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（
A.50元
B.90元
C.80元
D.70元
D
）A.50元
B.90元
C.80元
D.70元
答案
【解析】设该商店每月获得的利润为w元，每顶头盔的售价为x元. 由题意可得w=(x-50)[200+(80-x)×20] = -20(x-70)²+8 000，
∴当x=70时，w取得最大值，故选D.
∴当x=70时，w取得最大值，故选D.
2 在1~7月份,某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜,并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示,则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 (
A.1月份
B.2月份
C.5月份
D.7月份
C
)A.1月份
B.2月份
C.5月份
D.7月份
答案
【解析】设x月份出售该种蔬菜时,每千克利润为w元,每千克售价为y₁元,每千克成本为y₂元. 根据题图设y₁=kx+b. 将(3,5),(6,3)代入,得$\begin{cases}3k+b=5,\\6k+b=3,\end{cases}$
∴$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=7,\end{cases}$
∴$y_1=-\dfrac{2}{3}x+7$. 根据题图设$y_2=a(x-6)^2+1$. 将(3,4)代入,得$4=a(3-6)^2+1$,
∴$a=\dfrac{1}{3}$,
∴$y_2=\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1$.
∵$w=y_1-y_2$,
∴$w=-\dfrac{2}{3}x+7-[\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1]=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x-6=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+\dfrac{7}{3}$,
∴当x=5时,y有最大值,即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是5月份. 故选C.
∴$\begin{cases}k=-\dfrac{2}{3},\\b=7,\end{cases}$
∴$y_1=-\dfrac{2}{3}x+7$. 根据题图设$y_2=a(x-6)^2+1$. 将(3,4)代入,得$4=a(3-6)^2+1$,
∴$a=\dfrac{1}{3}$,
∴$y_2=\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1$.
∵$w=y_1-y_2$,
∴$w=-\dfrac{2}{3}x+7-[\dfrac{1}{3}(x-6)^2+1]=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{10}{3}x-6=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+\dfrac{7}{3}$,
∴当x=5时,y有最大值,即出售该种蔬菜每千克利润最大的月份是5月份. 故选C.
3 新考法[2026广西南宁期末]某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润$y_1$（万元）与投资量$x$（万元）成正比例关系，如图(1)所示；种植果树的利润$y_2$（万元）与投资量$x$（万元）成二次函数关系，如图(2)所示。若这位专业户投入种植茶树及果树资金共10万元（可只投资种植一种），则他能获得的最大总利润是（
A.20万元
B.32万元
C.48万元
D.50万元
D
）A.20万元
B.32万元
C.48万元
D.50万元
答案
【解析】设$y_1=kx$,把P(1,2)代入$y_1=kx$中得k=2,
∴$y_1=2x$. 设$y_2=ax^2$,把Q(2,2)代入$y_2=ax^2$中得2=4a,解得$a=\dfrac{1}{2}$,
∴$y_2=\dfrac{1}{2}x^2$. 设这位专业户投入种植果树的资金为m万元,投入种植茶树的资金为(10-m)万元,他获得的利润为w万元. 由题意得$w=2(10-m)+\dfrac{1}{2}m^2=\dfrac{1}{2}m^2-2m+20=\dfrac{1}{2}(m-2)^2+18$.
∵$\dfrac{1}{2}＞0,0≤m≤10$,当m=0时,w=20;当m=10时,w=50,50＞20,
∴他能获得的最大总利润是50万元,故选D.
∴$y_1=2x$. 设$y_2=ax^2$,把Q(2,2)代入$y_2=ax^2$中得2=4a,解得$a=\dfrac{1}{2}$,
∴$y_2=\dfrac{1}{2}x^2$. 设这位专业户投入种植果树的资金为m万元,投入种植茶树的资金为(10-m)万元,他获得的利润为w万元. 由题意得$w=2(10-m)+\dfrac{1}{2}m^2=\dfrac{1}{2}m^2-2m+20=\dfrac{1}{2}(m-2)^2+18$.
∵$\dfrac{1}{2}＞0,0≤m≤10$,当m=0时,w=20;当m=10时,w=50,50＞20,
∴他能获得的最大总利润是50万元,故选D.
4[2026山东滨州期末]便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件售价x(元)之间的关系满足$y=-2x^2+80x+758$.由于某种原因，现每件售价需满足$21≤x≤25$，那么此时该店一周可获最大利润是
1 556
元.答案
【解析】
∵$y=-2x^2+80x+758=-2(x-20)^2+1 558$,
∴抛物线对称轴为直线x=20,开口向下,
∴当x＞20时,y随x的增大而减小.
∵21≤x≤25,
∴x=21时,y取最大值,此时$y=-2×(21-20)^2+1 558=1 556$,故答案为1 556.
∵$y=-2x^2+80x+758=-2(x-20)^2+1 558$,
∴抛物线对称轴为直线x=20,开口向下,
∴当x＞20时,y随x的增大而减小.
∵21≤x≤25,
∴x=21时,y取最大值,此时$y=-2×(21-20)^2+1 558=1 556$,故答案为1 556.
5[2025安徽合肥质检]某商店购入一批进价为10元/个的纪念徽章进行销售,经市场调查发现,销售单价不低于进价时,日销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间满足如下的一次函数关系:当销售单价为12元/个时,日销售量为152个;当销售单价为16元/个时,日销售量为136个.若商店决定每销售一个徽章就向少儿乒乓球俱乐部赠送一件价值为$m(0＜m＜4)$元的礼品,赠送礼品后,为确保该种徽章日销售获得的最大利润为1444元,则$m$的值为
2
.答案
【解析】设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$. 根据题意得$\begin{cases}12k+b=152,\\16k+b=136,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-4,\\b=200,\end{cases}$
∴$y=-4x+200$.
∵每个徽章的利润为(x-10)元,赠送一件价值为m(0＜m＜4)元的礼品后每个徽章的利润为(x-10-m)元,设日销售利润为w元,
∴$w=(x-10-m)(-4x+200)$,整理得,$w=-4x^2+4(60+m)x-(2 000+200m)$.
∵-4＜0,
∴w有最大值. 又
∵该种徽章日销售获得的最大利润为1 444元,
∴$\dfrac{4×(-4)×[-(2 000+200m)]-[4(60+m)]^2}{4×(-4)}=1 444$,整理得,$m^2-80m+156=0$,则$(m-2)·(m-78)=0$,解得$m_1=2,m_2=78$.
∵0＜m＜4,
∴m的值为2. 故答案为2.
∴$y=-4x+200$.
∵每个徽章的利润为(x-10)元,赠送一件价值为m(0＜m＜4)元的礼品后每个徽章的利润为(x-10-m)元,设日销售利润为w元,
∴$w=(x-10-m)(-4x+200)$,整理得,$w=-4x^2+4(60+m)x-(2 000+200m)$.
∵-4＜0,
∴w有最大值. 又
∵该种徽章日销售获得的最大利润为1 444元,
∴$\dfrac{4×(-4)×[-(2 000+200m)]-[4(60+m)]^2}{4×(-4)}=1 444$,整理得,$m^2-80m+156=0$,则$(m-2)·(m-78)=0$,解得$m_1=2,m_2=78$.
∵0＜m＜4,
∴m的值为2. 故答案为2.
6[2026江苏南通质检]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本$y_1$(单位:元)与产量$x$(单位:kg)之间的函数关系；线段CD表示该产品每千克售价$y_2$(单位:元)与产量$x$(单位:kg)之间的函数关系，已知$0＜x≤120$，$m＞60$.
(1)求线段AB所表示的$y_1$与$x$之间的函数关系式.
(2)若$m=90$，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)若$60＜m＜70$，则销售该产品获得的最大利润是
(1)求线段AB所表示的$y_1$与$x$之间的函数关系式.
(2)若$m=90$，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)若$60＜m＜70$，则销售该产品获得的最大利润是
1 200
元.答案
【解】(1)设线段AB所表示的$y_1$与x之间的函数关系式为$y_1=k_1x+b_1(0＜x≤120)$.
根据题意,得$\begin{cases}b_1=60,\\120k_1+b_1=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{6},\\b_1=60,\end{cases}$
∴线段AB所表示的$y_1$与x之间的函数关系式为$y_1=-\dfrac{1}{6}x+60(0＜x≤120)$.
(2)
∵m=90,
∴设$y_2$与x之间的函数关系式为$y_2=k_2x+90(0＜x≤120)$. 根据题意,得$50=120k_2+90$,解得$k_2=-\dfrac{1}{3}$,
∴$y_2=-\dfrac{1}{3}x+90(0＜x≤120)$. 设产量为x kg时,获得的利润为W元. 根据题意,得$W=x[(-\dfrac{1}{3}x+90)-(-\dfrac{1}{6}x+60)]=-\dfrac{1}{6}x^2+30x=-\dfrac{1}{6}(x-90)^2+1 350$,
∴当x=90时,W取得最大值,最大值为1 350,
∴该产品产量为90 kg时,获得的利润最大,最大利润是1 350元.
(3)设线段CD的解析式为$y_2=k_3x+m(0＜x≤120)$,获得的利润为W'元. 由题意得$120k_3+m=50$,解得$k_3=\dfrac{50-m}{120}$,
∴$y_2=\dfrac{50-m}{120}x+m$,
∴$W'=x[(\dfrac{50-m}{120}x+m)-(-\dfrac{1}{6}x+60)]=\dfrac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$.
∵60＜m＜70,
∴$\dfrac{70-m}{120}＞0,m-60＞0$,
∴该抛物线开口向上,且对称轴在y轴左侧,
∴当0＜x≤120时,W'随x的增大而增大,
∴当x=120时,W'的值最大,$W'_{最大}=1 200$,
∴60＜m＜70时,该产品产量为120 kg时,获得的利润最大,最大利润为1 200元. 故答案为1 200.
根据题意,得$\begin{cases}b_1=60,\\120k_1+b_1=40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=-\dfrac{1}{6},\\b_1=60,\end{cases}$
∴线段AB所表示的$y_1$与x之间的函数关系式为$y_1=-\dfrac{1}{6}x+60(0＜x≤120)$.
(2)
∵m=90,
∴设$y_2$与x之间的函数关系式为$y_2=k_2x+90(0＜x≤120)$. 根据题意,得$50=120k_2+90$,解得$k_2=-\dfrac{1}{3}$,
∴$y_2=-\dfrac{1}{3}x+90(0＜x≤120)$. 设产量为x kg时,获得的利润为W元. 根据题意,得$W=x[(-\dfrac{1}{3}x+90)-(-\dfrac{1}{6}x+60)]=-\dfrac{1}{6}x^2+30x=-\dfrac{1}{6}(x-90)^2+1 350$,
∴当x=90时,W取得最大值,最大值为1 350,
∴该产品产量为90 kg时,获得的利润最大,最大利润是1 350元.
(3)设线段CD的解析式为$y_2=k_3x+m(0＜x≤120)$,获得的利润为W'元. 由题意得$120k_3+m=50$,解得$k_3=\dfrac{50-m}{120}$,
∴$y_2=\dfrac{50-m}{120}x+m$,
∴$W'=x[(\dfrac{50-m}{120}x+m)-(-\dfrac{1}{6}x+60)]=\dfrac{70-m}{120}x^2+(m-60)x$.
∵60＜m＜70,
∴$\dfrac{70-m}{120}＞0,m-60＞0$,
∴该抛物线开口向上,且对称轴在y轴左侧,
∴当0＜x≤120时,W'随x的增大而增大,
∴当x=120时,W'的值最大,$W'_{最大}=1 200$,
∴60＜m＜70时,该产品产量为120 kg时,获得的利润最大,最大利润为1 200元. 故答案为1 200.
