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9[2025山东中考]在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度$y$(厘米/天)和光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围$(200≤ x＜1000)$内，$y$与$x$近似成一次函数关系；在中高光照强度范围$(x≥1000)$内，$y$与$x$近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 (
A.当$x≥1000$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2000$时，$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时，$x≥1000$
D.当$y=0.4$时，$x=600$
B
)A.当$x≥1000$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2000$时，$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时，$x≥1000$
D.当$y=0.4$时，$x=600$
答案
9. B 【解析】观察图象可知,当 $x≥1000$ 时,在抛物线对称轴左侧,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,在抛物线对称轴右侧,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,故 A 选项不符合题意; 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{1000+3000}{2}=2000$,且抛物线开口向下,所以当 $x=2000$ 时,$y$ 有最大值,故 B 选项符合题意; 观察图象可知,当 $y≥0.6$ 时,$1000≤x≤3000$,故 C 选项不符合题意; 由图象可知,当 $y=0.4$ 时,有两个对应的 $x$ 值,故 D 选项不符合题意. 故选 B.
10[2024四川自贡中考]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺。同学们测得AE=6.6 m，OE=1.4 m，OB=6 m，OC=5 m，OD=3 m，班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是
46.4
m²。答案
10. 46.4 【解析】设矩形菜地在射线 $OA$ 上的边长为 $x$ m. 当 $x≤8$ 时,$S=x · \frac{16-x-1.4+5}{2}=-\frac{1}{2}x^2+9.8x=-\frac{1}{2}(x-9.8)^2+48.02$,当 $x=8$ 时,$S$ 最大,最大面积为 $46.4\ \mathrm{m^2}$. 当 $x＞8$ 时,$S=x · (\frac{16+6.6+5}{2}-x)=-x^2+13.8x=-(x-6.9)^2+47.61$,在 $x＞8$ 的范围内,$S$ 均小于 46.4,所以该菜地的最大面积为 $46.4\ \mathrm{m^2}$. 故答案为 46.4.
思路分析：设矩形菜地在射线 $OA$ 上的边长为 $x$ m. 分两种情况进行讨论: 当 $x≤8$ 时和当 $x＞8$ 时,分别求出最大面积,再进行比较即可.
思路分析：设矩形菜地在射线 $OA$ 上的边长为 $x$ m. 分两种情况进行讨论: 当 $x≤8$ 时和当 $x＞8$ 时,分别求出最大面积,再进行比较即可.
11[2025 山东德州中考]已知抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$（$m,n$为常数）过点$(1,5)$。
（1）若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$。
①求该抛物线的解析式；
②已知$A(x_1,y_1),B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围；
（2）若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长。
（1）若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$。
①求该抛物线的解析式；
②已知$A(x_1,y_1),B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围；
（2）若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长。
答案
11. 【解】(1)①
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$ 和 $(0,-1)$,
∴ $\begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+5x-1$.
②抛物线 $y=x^2+5x-1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{5}{2}$,则 $B(2,y_2)$ 关于对称轴的对称点为 $B'(-7,y_2)$.
∵ 对于 $3t-1＜x_1＜3t+2$,都有 $y_1＞y_2$,
∴ $3t+2≤-7$ 或 $3t-1≥2$,解得 $t≤-3$ 或 $t≥1$.
(2)
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$,
∴ $1+2m+3+n=5$,则 $n=1-2m$.
∵ 对于任意实数 $x$,都有 $x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,
∴ $x^2+2mx-1-2m≥0$ 对任意实数 $x$ 都成立,
∴ $\Delta=4m^2-4(-1-2m)≤0$,
∴ $(m+1)^2≤0$,
∴ $m=-1$,
∴ 抛物线解析式为 $y=x^2+x+3$. 令 $x^2+x+3=4$,解得 $x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$,
∴ 两个交点的横坐标分别为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,
∴ $MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
思路分析：(2) 把 $(1,5)$ 代入解析式,得到 $m$ 和 $n$ 的关系,根据不等式恒成立求出 $m$ 的值,进而求出交点的横坐标,即可求解.
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$ 和 $(0,-1)$,
∴ $\begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+5x-1$.
②抛物线 $y=x^2+5x-1$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{5}{2}$,则 $B(2,y_2)$ 关于对称轴的对称点为 $B'(-7,y_2)$.
∵ 对于 $3t-1＜x_1＜3t+2$,都有 $y_1＞y_2$,
∴ $3t+2≤-7$ 或 $3t-1≥2$,解得 $t≤-3$ 或 $t≥1$.
(2)
∵ 抛物线 $y=x^2+(2m+3)x+n$ 过点 $(1,5)$,
∴ $1+2m+3+n=5$,则 $n=1-2m$.
∵ 对于任意实数 $x$,都有 $x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,
∴ $x^2+2mx-1-2m≥0$ 对任意实数 $x$ 都成立,
∴ $\Delta=4m^2-4(-1-2m)≤0$,
∴ $(m+1)^2≤0$,
∴ $m=-1$,
∴ 抛物线解析式为 $y=x^2+x+3$. 令 $x^2+x+3=4$,解得 $x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$,
∴ 两个交点的横坐标分别为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 和 $\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,
∴ $MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
思路分析：(2) 把 $(1,5)$ 代入解析式,得到 $m$ 和 $n$ 的关系,根据不等式恒成立求出 $m$ 的值,进而求出交点的横坐标,即可求解.
12[2025黑龙江绥化中考]综合与探究
如图,抛物线$y=ax^2+bx-5$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$.直线$y=kx-5$经过$B,C$两点,若点$A(1,0),B(-5,0)$,点$P$是抛物线上的一个动点(不与点$A,B$重合).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)过点$P$作直线$PD ⊥ x$轴于点$D$,交直线$BC$于点$E$,当$PE=3ED$时,求$P$点坐标;
(3)若点$F$是直线$BC$上的一个动点,请判断在点$B$右侧的抛物线上是否存在点$P$,使$△ AFP$是以$PF$为斜边的等腰直角三角形.若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
备用图
如图,抛物线$y=ax^2+bx-5$交$x$轴于$A,B$两点,交$y$轴于点$C$.直线$y=kx-5$经过$B,C$两点,若点$A(1,0),B(-5,0)$,点$P$是抛物线上的一个动点(不与点$A,B$重合).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)过点$P$作直线$PD ⊥ x$轴于点$D$,交直线$BC$于点$E$,当$PE=3ED$时,求$P$点坐标;
(3)若点$F$是直线$BC$上的一个动点,请判断在点$B$右侧的抛物线上是否存在点$P$,使$△ AFP$是以$PF$为斜边的等腰直角三角形.若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
备用图
答案
12. 【解】(1)
∵ 抛物线 $y=ax^2+bx-5$ 交 $x$ 轴于 $A(1,0)$,$B(-5,0)$ 两点,
∴ $\begin{cases}a+b-5=0,\\25a-5b-5=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=4,\end{cases}$
∴ $y=x^2+4x-5$.
(2)$y=x^2+4x-5$ 中,当 $x=0$ 时,$y=-5$,
∴ $C(0,-5)$.
∵ 直线 $BC$ 的解析式为 $y=kx-5$,$B(-5,0)$,
∴ $-5k-5=0$,
∴ $k=-1$,
∴ $y=-x-5$. 设 $P(x,x^2+4x-5)$,则 $E(x,-x-5)$. 当 $x＜-5$ 时,$PE=x^2+4x-5-(-x-5)=x^2+5x$,$DE=-x-5$.
∵ $PE=3ED$,
∴ $x^2+5x=3(-x-5)$,解得 $x=-3$(舍去)或 $x=-5$(舍去),
∴ 点 $P$ 不存在. 当 $-5＜x＜0$ 时,$PE=-x-5-(x^2+4x-5)=-x^2-5x$,$DE=x+5$,
∴ $-x^2-5x=3(x+5)$,解得 $x=-3$ 或 $x=-5$(舍去),
∴ $x^2+4x-5=-8$,
∴ $P(-3,-8)$. 当 $0＜x＜1$ 时,$PE＜DE$,点 $P$ 不存在. 当 $x＞1$ 时,$PE=x^2+4x-5-(-x-5)=x^2+5x$,$DE=x+5$,
∴ $x^2+5x=3(x+5)$,解得 $x=3$ 或 $x=-5$(舍去),
∴ $x^2+4x-5=16$,
∴ $P(3,16)$. 故 $P$ 点坐标为 $(-3,-8)$ 或 $(3,16)$.
(3)存在,点 $P$ 的坐标为 $(-1,-8)$ 或 $(-2,-9)$ 或 $(2,7)$. 如图
,过点 $F,P$ 作 $FG⊥x$ 于 $G$,$PH⊥x$ 于 $H$,则 $∠AGF=∠AHP=90°$.∵ $△AFP$ 是以 $PF$ 为斜边的等腰直角三角形,
∴ $AF=AP$,$∠PAF=90°$,
∴ $∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°$,
∴ $∠FAG=∠APH$,
∴ $△AFG≌△PAH(\mathrm{AAS})$,
∴ $AH=FG$,$PH=AG$. 设 $P(m,m^2+4m-5)$. 如图(1),当 $-5＜m＜1$ 时,$AH=1-m$,$PH=-m^2-4m+5$,
∴ $FG=1-m$,
∴ $-x-5=1-m$,
∴ $x=m-6$,
∴ $F(m-6,1-m)$,
∴ $AG=1-(m-6)=7-m$,
∴ $-m^2-4m+5=7-m$,解得 $m=-1$ 或 $m=-2$,
∴ 点 $P$ 坐标为 $(-1,-8)$ 或 $(-2,-9)$. 如图(2),当 $m＞1$ 时,$AH=m-1$,$PH=m^2+4m-5$,
∴ $FG=m-1$,
∴ $-x-5=m-1$,
∴ $x=-m-4$,
∴ $F(-m-4,m-1)$,
∴ $AG=1-(-m-4)=m+5$,
∴ $m^2+4m-5=m+5$,解得 $m=2$ 或 $m=-5$(舍去),
∴ 点 $P$ 坐标为 $(2,7)$. 故点 $P$ 坐标为 $(-1,-8)$ 或 $(-2,-9)$ 或 $(2,7)$.
