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9 已知 $A=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}$，$B=-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3}$。
（1）当 $(a+1)^2 + |b+2|=0$ 时，求 $5A-(4A-2B)$ 的值；
（2）若代数式 $2026A-(2025A-2B)$ 的值与 $a$ 的取值无关，求 $b^2$ 的值。
（1）当 $(a+1)^2 + |b+2|=0$ 时，求 $5A-(4A-2B)$ 的值；
（2）若代数式 $2026A-(2025A-2B)$ 的值与 $a$ 的取值无关，求 $b^2$ 的值。
答案
(1) 因为$(a+1)^2+|b+2|=0$，所以 $a+1=0,b+2=0$。所以 $a=-1,b=-2$。所以 $5A-(4A-2B)=5A-4A+2B=A+2B=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}+2(-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3})=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}-2a^2+ab+\frac{4}{3}=4ab+2a+1=4×(-1)×(-2)+2×(-1)+1=8-2+1=7$
(2) $2026A-(2025A-2B)=2026A-2025A+2B=A+2B=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}+2(-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3})=4ab+2a+1=2a(2b+1)+1$。因为该式的值与 $a$ 的取值无关，所以 $2b+1=0$。所以 $b=-\frac{1}{2}$。所以 $b^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
(2) $2026A-(2025A-2B)=2026A-2025A+2B=A+2B=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}+2(-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3})=4ab+2a+1=2a(2b+1)+1$。因为该式的值与 $a$ 的取值无关，所以 $2b+1=0$。所以 $b=-\frac{1}{2}$。所以 $b^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
解析
【分析】
（1）首先对所求代数式$5A-(4A-2B)$去括号、合并同类项化简，可避免直接代入A、B计算的繁琐；再根据平方和绝对值的非负性，由$(a+1)^2 + |b+2|=0$可得两个非负项分别为0，求出a、b的值，最后代入化简后的代数式计算结果即可。
（2）同理先化简$2026A-(2025A-2B)$，将化简结果整理为含a的项与常数项相加的形式；若代数式的值与a的取值无关，说明含a的项的系数为0，据此列方程求出b的值，再计算$b^2$即可。
【解析】
（1）化简代数式：
$5A-(4A-2B)=5A-4A+2B=A+2B$
将$A=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}$，$B=-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3}$代入：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}+2(-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3})\\&=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}-2a^2+ab+\frac{4}{3}\\&=4ab+2a+1\end{aligned}$
∵$(a+1)^2≥0$，$|b+2|≥0$，且$(a+1)^2 + |b+2|=0$
∴$a+1=0$，$b+2=0$，解得$a=-1$，$b=-2$
代入$4ab+2a+1$得：
原式$=4×(-1)×(-2)+2×(-1)+1=8-2+1=7$
（2）化简代数式：
$2026A-(2025A-2B)=2026A-2025A+2B=A+2B$
由（1）得$A+2B=4ab+2a+1=2a(2b+1)+1$
∵代数式的值与a的取值无关
∴含a的项的系数为0，即$2b+1=0$
解得$b=-\frac{1}{2}$
∴$b^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{7}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 整式的加减
3. 整式无关类问题
【点评】
本题围绕整式的加减运算展开，结合了非负性应用和整式取值与字母无关的判定，解题核心是先化简代数式再结合对应条件求解，能有效考查学生的运算能力和对整式相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
（1）首先对所求代数式$5A-(4A-2B)$去括号、合并同类项化简，可避免直接代入A、B计算的繁琐；再根据平方和绝对值的非负性，由$(a+1)^2 + |b+2|=0$可得两个非负项分别为0，求出a、b的值，最后代入化简后的代数式计算结果即可。
（2）同理先化简$2026A-(2025A-2B)$，将化简结果整理为含a的项与常数项相加的形式；若代数式的值与a的取值无关，说明含a的项的系数为0，据此列方程求出b的值，再计算$b^2$即可。
【解析】
（1）化简代数式：
$5A-(4A-2B)=5A-4A+2B=A+2B$
将$A=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}$，$B=-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3}$代入：
$\begin{aligned}A+2B&=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}+2(-a^2+\frac{1}{2}ab+\frac{2}{3})\\&=2a^2+3ab+2a-\frac{1}{3}-2a^2+ab+\frac{4}{3}\\&=4ab+2a+1\end{aligned}$
∵$(a+1)^2≥0$，$|b+2|≥0$，且$(a+1)^2 + |b+2|=0$
∴$a+1=0$，$b+2=0$，解得$a=-1$，$b=-2$
代入$4ab+2a+1$得：
原式$=4×(-1)×(-2)+2×(-1)+1=8-2+1=7$
（2）化简代数式：
$2026A-(2025A-2B)=2026A-2025A+2B=A+2B$
由（1）得$A+2B=4ab+2a+1=2a(2b+1)+1$
∵代数式的值与a的取值无关
∴含a的项的系数为0，即$2b+1=0$
解得$b=-\frac{1}{2}$
∴$b^2=(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
（1）$\boxed{7}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 整式的加减
3. 整式无关类问题
【点评】
本题围绕整式的加减运算展开，结合了非负性应用和整式取值与字母无关的判定，解题核心是先化简代数式再结合对应条件求解，能有效考查学生的运算能力和对整式相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10 在某些数学问题中,我们经常要比较两个数或代数式的大小,解决问题的方法一般都是进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的转化方法之一.例如比较$\frac{2}{3}$和$\frac{7}{11}$的大小,作差:$\frac{2}{3}-\frac{7}{11}=\frac{1}{33}＞0$,所以$\frac{2}{3}＞\frac{7}{11}$.
依据上面的方法,解答下列问题:
(1) $-\frac{7}{9}\_\_\_\_\_\_-\frac{3}{4}$(填“＞”“＜”或“=”).
(2) 有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示.
① $4a-3b$
② 若$M=\frac{1}{2}a + b^2 + 2(a - \frac{1}{3}b^2), N=3(\frac{1}{2}a + \frac{1}{9}b^2)+b$,用作差法比较代数式$M$与$N$的大小,并结合数轴自行赋予$a,b$合适的值,求出$M-N$的值.
依据上面的方法,解答下列问题:
(1) $-\frac{7}{9}\_\_\_\_\_\_-\frac{3}{4}$(填“＞”“＜”或“=”).
(2) 有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示.
① $4a-3b$
$＞$
$3a-4b$(填“＞”“＜”或“=”);② 若$M=\frac{1}{2}a + b^2 + 2(a - \frac{1}{3}b^2), N=3(\frac{1}{2}a + \frac{1}{9}b^2)+b$,用作差法比较代数式$M$与$N$的大小,并结合数轴自行赋予$a,b$合适的值,求出$M-N$的值.
答案
(1) $＜$
(2) ① $＞$ 【解析】$4a-3b-(3a-4b)=4a-3b-3a+4b=a+b$。根据数轴可知，$a+b＞0$，所以 $4a-3b-(3a-4b)＞0$。所以 $4a-3b＞3a-4b$。
② $M-N=\frac{1}{2}a+b^2+2(a-\frac{1}{3}b^2)-[3(\frac{1}{2}a+\frac{1}{9}b^2)+b]=\frac{1}{2}a+b^2+2a-\frac{2}{3}b^2-3(\frac{1}{2}a+\frac{1}{9}b^2)-b=\frac{1}{2}a+b^2+2a-\frac{2}{3}b^2-\frac{3}{2}a-\frac{1}{3}b^2-b=a-b$。根据数轴可知，$a-b＜0$，所以 $M-N＜0$。所以 $M＜N$。当 $a=-2,b=3$ 时，$M-N=a-b=-2-3=-5$(答案不唯一)
(2) ① $＞$ 【解析】$4a-3b-(3a-4b)=4a-3b-3a+4b=a+b$。根据数轴可知，$a+b＞0$，所以 $4a-3b-(3a-4b)＞0$。所以 $4a-3b＞3a-4b$。
② $M-N=\frac{1}{2}a+b^2+2(a-\frac{1}{3}b^2)-[3(\frac{1}{2}a+\frac{1}{9}b^2)+b]=\frac{1}{2}a+b^2+2a-\frac{2}{3}b^2-3(\frac{1}{2}a+\frac{1}{9}b^2)-b=\frac{1}{2}a+b^2+2a-\frac{2}{3}b^2-\frac{3}{2}a-\frac{1}{3}b^2-b=a-b$。根据数轴可知，$a-b＜0$，所以 $M-N＜0$。所以 $M＜N$。当 $a=-2,b=3$ 时，$M-N=a-b=-2-3=-5$(答案不唯一)
解析
【分析】
作差法比较大小的核心逻辑是：要比较两个数或代数式的大小，只需计算二者的差，若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数；若差=0，则二者相等。
(1) 对两个负分数直接作差，计算出差的符号即可判断大小；
(2) ① 先对两个整式作差并化简，再结合数轴上a为负数、b为正数、且b的绝对值大于a的绝对值的特点，判断差的符号即可得出大小关系；
② 将M、N的表达式代入M-N，通过去括号、合并同类项化简，再结合数轴上a＜b的特点判断差的符号，得到M和N的大小关系，赋值时只要满足a为负数、b为正数即可计算M-N的值。
【解析】
(1) 计算两数的差：$-\frac{7}{9}-(-\frac{3}{4})=-\frac{7}{9}+\frac{3}{4}=-\frac{28}{36}+\frac{27}{36}=-\frac{1}{36}＜0$，因此$-\frac{7}{9}＜-\frac{3}{4}$。
(2) ① 作差化简得：$4a-3b-(3a-4b)=4a-3b-3a+4b=a+b$，由数轴可知$a＜0，b＞0$，且$|b|＞|a|$，因此$a+b＞0$，即$4a-3b-(3a-4b)＞0$，所以$4a-3b＞3a-4b$。
② 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{1}{2}a + b^2 + 2(a - \frac{1}{3}b^2)-[3(\frac{1}{2}a + \frac{1}{9}b^2)+b]\\&=\frac{1}{2}a + b^2 + 2a - \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a - \frac{1}{3}b^2 - b\\&=a-b\end{aligned}$
由数轴可知$a＜b$，因此$a-b＜0$，即$M-N＜0$，所以$M＜N$。
赋值示例：取$a=-2，b=3$，则$M-N=a-b=-2-3=-5$（取值满足$a＜0＜b$即可，结果不唯一）。
【答案】
(1) $＜$
(2) ① $＞$；② $M＜ N$，当$a=-2,b=3$时，$M-N=-5$（答案不唯一）
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，数轴的应用
【点评】
本题围绕作差法比较大小的核心方法，结合数轴性质和整式加减运算考查基础能力，既要求熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，也要求能结合数轴判断代数式的符号，属于基础方法的综合应用，掌握核心逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
作差法比较大小的核心逻辑是：要比较两个数或代数式的大小，只需计算二者的差，若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数；若差=0，则二者相等。
(1) 对两个负分数直接作差，计算出差的符号即可判断大小；
(2) ① 先对两个整式作差并化简，再结合数轴上a为负数、b为正数、且b的绝对值大于a的绝对值的特点，判断差的符号即可得出大小关系；
② 将M、N的表达式代入M-N，通过去括号、合并同类项化简，再结合数轴上a＜b的特点判断差的符号，得到M和N的大小关系，赋值时只要满足a为负数、b为正数即可计算M-N的值。
【解析】
(1) 计算两数的差：$-\frac{7}{9}-(-\frac{3}{4})=-\frac{7}{9}+\frac{3}{4}=-\frac{28}{36}+\frac{27}{36}=-\frac{1}{36}＜0$，因此$-\frac{7}{9}＜-\frac{3}{4}$。
(2) ① 作差化简得：$4a-3b-(3a-4b)=4a-3b-3a+4b=a+b$，由数轴可知$a＜0，b＞0$，且$|b|＞|a|$，因此$a+b＞0$，即$4a-3b-(3a-4b)＞0$，所以$4a-3b＞3a-4b$。
② 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{1}{2}a + b^2 + 2(a - \frac{1}{3}b^2)-[3(\frac{1}{2}a + \frac{1}{9}b^2)+b]\\&=\frac{1}{2}a + b^2 + 2a - \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{2}a - \frac{1}{3}b^2 - b\\&=a-b\end{aligned}$
由数轴可知$a＜b$，因此$a-b＜0$，即$M-N＜0$，所以$M＜N$。
赋值示例：取$a=-2，b=3$，则$M-N=a-b=-2-3=-5$（取值满足$a＜0＜b$即可，结果不唯一）。
【答案】
(1) $＜$
(2) ① $＞$；② $M＜ N$，当$a=-2,b=3$时，$M-N=-5$（答案不唯一）
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，数轴的应用
【点评】
本题围绕作差法比较大小的核心方法，结合数轴性质和整式加减运算考查基础能力，既要求熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则，也要求能结合数轴判断代数式的符号，属于基础方法的综合应用，掌握核心逻辑即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
有这样一道题“如果代数式 $5a + 3b$ 的值为$-4$，那么代数式 $2(a + b) + 4(2a + b)$的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式$=2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b$。我们把 $5a + 3b$ 看成一个整体，把式子 $5a + 3b = -4$ 两边乘2，得 $10a + 6b = -8$。仿照上面的解题方法，解答下列问题：
（1）已知 $a^2 - 2a = -5$，则 $3a^2 - 6a +7 = \_\_\_\_\_\_$；
（2）已知 $m^2 + n^2 = 3$，$mn = -2$，求 $2m^2 - 3mn + 2n^2 -9$ 的值；
（3）已知 $a^2 + 2ab = -4$，$ab - b^2 =5$，求代数式 $3a^2 +5ab +b^2$ 的值。
（1）已知 $a^2 - 2a = -5$，则 $3a^2 - 6a +7 = \_\_\_\_\_\_$；
（2）已知 $m^2 + n^2 = 3$，$mn = -2$，求 $2m^2 - 3mn + 2n^2 -9$ 的值；
（3）已知 $a^2 + 2ab = -4$，$ab - b^2 =5$，求代数式 $3a^2 +5ab +b^2$ 的值。
答案
(1) $-8$
(2) 因为 $m^2 + n^2 = 3,mn = -2$，所以 $2m^2 - 3mn + 2n^2 -9=2(m^2 + n^2)-3mn-9=2×3-3×(-2)-9=6+6-9=3$
(3) 因为 $a^2 + 2ab = -4,ab - b^2 =5$，所以原式$=3a^2 +6ab -ab +b^2=3(a^2 +2ab)-(ab -b^2)=3×(-4)-5=-12-5=-17$
(2) 因为 $m^2 + n^2 = 3,mn = -2$，所以 $2m^2 - 3mn + 2n^2 -9=2(m^2 + n^2)-3mn-9=2×3-3×(-2)-9=6+6-9=3$
(3) 因为 $a^2 + 2ab = -4,ab - b^2 =5$，所以原式$=3a^2 +6ab -ab +b^2=3(a^2 +2ab)-(ab -b^2)=3×(-4)-5=-12-5=-17$
解析
【分析】
这组题目考查整体代入法求代数式的值，解题时不需要求出每个字母的具体取值，只需将所求代数式通过去括号、合并同类项、拆分项、提取公因式等方式变形，凑出已知条件中给出的整式整体，再将已知整体的值代入计算即可。具体各小题思路：(1)观察所求式的前两项$3a^2-6a$，可提取公因式3得到$3(a^2-2a)$，刚好对应已知的$a^2-2a=-5$，代入即可计算；(2)将所求式中含$m^2$、$n^2$的项合并，提取公因式2得到$2(m^2+n^2)$，再代入已知的$m^2+n^2$和$mn$的值计算；(3)将所求式拆分为$3a^2+6ab -ab +b^2$，前两项提取公因式3得到$3(a^2+2ab)$，后两项变形为$-(ab - b^2)$，刚好对应已知的两个整式，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 - 2a = -5$，对所求式变形：
$3a^2 - 6a +7 = 3(a^2 - 2a) +7$
将$a^2 -2a=-5$代入得：$3×(-5)+7 = -15 +7 = -8$
(2) 已知$m^2 + n^2 =3$，$mn=-2$，对所求式变形：
$2m^2 -3mn +2n^2 -9 = 2(m^2 +n^2) -3mn -9$
代入已知值计算：$2×3 - 3×(-2) -9 = 6 +6 -9 =3$
(3) 已知$a^2 +2ab =-4$，$ab -b^2=5$，对所求式变形：
$3a^2 +5ab +b^2 = 3a^2 +6ab -ab +b^2 = 3(a^2 +2ab) - (ab - b^2)$
代入已知值计算：$3×(-4) -5 = -12 -5 = -17$
【答案】
(1) $-8$；(2) $3$；(3) $-17$
【知识点】
整体代入法，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题核心是利用整体思想简化代数式求值运算，无需单独求解未知字母的值，解题的关键是能根据已知整式的形式对所求代数式进行合理拆分、变形，凑出对应整体，掌握该方法能有效降低代数式求值类题目的计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.65
这组题目考查整体代入法求代数式的值，解题时不需要求出每个字母的具体取值，只需将所求代数式通过去括号、合并同类项、拆分项、提取公因式等方式变形，凑出已知条件中给出的整式整体，再将已知整体的值代入计算即可。具体各小题思路：(1)观察所求式的前两项$3a^2-6a$，可提取公因式3得到$3(a^2-2a)$，刚好对应已知的$a^2-2a=-5$，代入即可计算；(2)将所求式中含$m^2$、$n^2$的项合并，提取公因式2得到$2(m^2+n^2)$，再代入已知的$m^2+n^2$和$mn$的值计算；(3)将所求式拆分为$3a^2+6ab -ab +b^2$，前两项提取公因式3得到$3(a^2+2ab)$，后两项变形为$-(ab - b^2)$，刚好对应已知的两个整式，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$a^2 - 2a = -5$，对所求式变形：
$3a^2 - 6a +7 = 3(a^2 - 2a) +7$
将$a^2 -2a=-5$代入得：$3×(-5)+7 = -15 +7 = -8$
(2) 已知$m^2 + n^2 =3$，$mn=-2$，对所求式变形：
$2m^2 -3mn +2n^2 -9 = 2(m^2 +n^2) -3mn -9$
代入已知值计算：$2×3 - 3×(-2) -9 = 6 +6 -9 =3$
(3) 已知$a^2 +2ab =-4$，$ab -b^2=5$，对所求式变形：
$3a^2 +5ab +b^2 = 3a^2 +6ab -ab +b^2 = 3(a^2 +2ab) - (ab - b^2)$
代入已知值计算：$3×(-4) -5 = -12 -5 = -17$
【答案】
(1) $-8$；(2) $3$；(3) $-17$
【知识点】
整体代入法，整式的加减，代数式求值
【点评】
本题核心是利用整体思想简化代数式求值运算，无需单独求解未知字母的值，解题的关键是能根据已知整式的形式对所求代数式进行合理拆分、变形，凑出对应整体，掌握该方法能有效降低代数式求值类题目的计算量，提升解题效率。
【难度系数】
0.65
