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1 [2025 绵阳]观察下列单项式：$-xy,x^2y^3,-x^3y^5,x^4y^7,···$. 探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式为 （
A.$-x^{15}y^{27}$
B.$-x^{15}y^{29}$
C.$x^{13}y^{27}$
D.$x^{13}y^{29}$
B
）A.$-x^{15}y^{27}$
B.$-x^{15}y^{29}$
C.$x^{13}y^{27}$
D.$x^{13}y^{29}$
答案
1. B
解析
【分析】
解决这类单项式规律探究题，可将单项式拆分为符号、x的次数、y的次数三个独立部分分别找规律：先观察符号的正负交替规律，再分别总结x、y的次数与项数的对应关系，最后将n=15代入总结的规律，即可得到第15个单项式。
【解析】
我们分别分析三部分的规律：
1. 符号规律：第1个单项式为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得规律：奇数项符号为负，偶数项符号为正。第15个是奇数项，符号为负。
2. x的次数规律：第1个x的次数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4，可得规律：第n个单项式中x的次数为n。第15个单项式中x的次数为15。
3. y的次数规律：第1个y的次数为1=2×1-1，第2个为3=2×2-1，第3个为5=2×3-1，第4个为7=2×4-1，可得规律：第n个单项式中y的次数为2n-1。第15个单项式中y的次数为2×15-1=29。
将三部分组合，第15个单项式为$-x^{15}y^{29}$。
【答案】
B
【知识点】
单项式、规律探究、代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，通过拆分单项式的构成要素分别找规律的方法，能有效降低解题难度，考查学生观察、归纳和应用规律的能力。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律探究题，可将单项式拆分为符号、x的次数、y的次数三个独立部分分别找规律：先观察符号的正负交替规律，再分别总结x、y的次数与项数的对应关系，最后将n=15代入总结的规律，即可得到第15个单项式。
【解析】
我们分别分析三部分的规律：
1. 符号规律：第1个单项式为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得规律：奇数项符号为负，偶数项符号为正。第15个是奇数项，符号为负。
2. x的次数规律：第1个x的次数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4，可得规律：第n个单项式中x的次数为n。第15个单项式中x的次数为15。
3. y的次数规律：第1个y的次数为1=2×1-1，第2个为3=2×2-1，第3个为5=2×3-1，第4个为7=2×4-1，可得规律：第n个单项式中y的次数为2n-1。第15个单项式中y的次数为2×15-1=29。
将三部分组合，第15个单项式为$-x^{15}y^{29}$。
【答案】
B
【知识点】
单项式、规律探究、代数式表示规律
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，通过拆分单项式的构成要素分别找规律的方法，能有效降低解题难度，考查学生观察、归纳和应用规律的能力。
【难度系数】
0.7
2 [2025河南]观察$2x$，$4x^2$，$6x^3$，$8x^4$，…根据这些式子的变化规律，可得第$n$个式子为
$2nx^n$
。答案
2. $2nx^n$
解析
【分析】
遇到这类单项式的规律探究题，我们可以将每个单项式拆分为系数部分和含字母的部分，分别找两部分和式子序号n的关系，拆分后不容易混淆规律。首先观察系数：前4个式子的系数依次是2、4、6、8，都是连续的偶数，且每个系数等于2乘对应式子的序号；再观察x的指数：前4个式子中x的指数依次是1、2、3、4，和式子的序号完全相同，最后将两部分的规律组合即可得到第n个式子。
【解析】
我们分两部分分析规律：
1. 分析系数规律：
第1个式子的系数：$2=2×1$
第2个式子的系数：$4=2×2$
第3个式子的系数：$6=2×3$
第4个式子的系数：$8=2×4$
……
由此可得，第n个式子的系数为$2n$。
2. 分析x的指数规律：
第1个式子中x的指数为1，对应$x^1$
第2个式子中x的指数为2，对应$x^2$
第3个式子中x的指数为3，对应$x^3$
第4个式子中x的指数为4，对应$x^4$
……
由此可得，第n个式子中x的部分为$x^n$。
将两部分结合，第n个式子就是$2nx^n$。
【答案】
$2nx^n$
【知识点】
规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心解题方法是将复杂的代数式拆分为多个独立部分分别寻找规律，再组合得到最终结果，这类方法也可推广到其他代数式规律探究的题目中。
【难度系数】
0.8
遇到这类单项式的规律探究题，我们可以将每个单项式拆分为系数部分和含字母的部分，分别找两部分和式子序号n的关系，拆分后不容易混淆规律。首先观察系数：前4个式子的系数依次是2、4、6、8，都是连续的偶数，且每个系数等于2乘对应式子的序号；再观察x的指数：前4个式子中x的指数依次是1、2、3、4，和式子的序号完全相同，最后将两部分的规律组合即可得到第n个式子。
【解析】
我们分两部分分析规律：
1. 分析系数规律：
第1个式子的系数：$2=2×1$
第2个式子的系数：$4=2×2$
第3个式子的系数：$6=2×3$
第4个式子的系数：$8=2×4$
……
由此可得，第n个式子的系数为$2n$。
2. 分析x的指数规律：
第1个式子中x的指数为1，对应$x^1$
第2个式子中x的指数为2，对应$x^2$
第3个式子中x的指数为3，对应$x^3$
第4个式子中x的指数为4，对应$x^4$
……
由此可得，第n个式子中x的部分为$x^n$。
将两部分结合，第n个式子就是$2nx^n$。
【答案】
$2nx^n$
【知识点】
规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，核心解题方法是将复杂的代数式拆分为多个独立部分分别寻找规律，再组合得到最终结果，这类方法也可推广到其他代数式规律探究的题目中。
【难度系数】
0.8
3 按一定规律排列的多项式：$2x - y, 4x - 2y^2, 6x - 3y^3, 8x - 4y^4, 10x - 5y^5, \dots,$ 则第n个多项式为
$2nx-ny^n$
。答案
3. $2nx-ny^n$
解析
【分析】
解决此类多项式排列的规律题，可先将每个多项式拆分为多个独立的单项式，分别寻找每个单项式的系数、次数与排列序号n的对应关系，再组合得到结果。本题可把每个多项式拆分为含x的项和含y的项两部分分别探究：①先观察含x的项，系数为连续的偶数，x的次数恒为1，可推出第n个含x的项的形式；②再观察含y的项，符号恒为负，系数绝对值为正整数序列，y的次数与排列序号一致，可推出第n个含y的项的形式，最后将两部分相加即可。
【解析】
我们将每个多项式拆分后分别找规律：
1. 观察含x的项：
第1个多项式的含x项为$2x=2×1· x$，
第2个多项式的含x项为$4x=2×2· x$，
第3个多项式的含x项为$6x=2×3· x$，
……
由此可得，第n个多项式的含x项为$2nx$。
2. 观察含y的项（带符号）：
第1个多项式的含y项为$-y=-1· y^1$，
第2个多项式的含y项为$-2y^2=-2· y^2$，
第3个多项式的含y项为$-3y^3=-3· y^3$，
……
由此可得，第n个多项式的含y项为$-ny^n$。
将两部分组合，得到第n个多项式为$2nx-ny^n$。
【答案】
$2nx-ny^n$
【知识点】
规律探究，列代数式，多项式的概念
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，核心解题思路是拆分复杂的多项式规律为单个单项式的规律分别推导，能有效锻炼学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.8
解决此类多项式排列的规律题，可先将每个多项式拆分为多个独立的单项式，分别寻找每个单项式的系数、次数与排列序号n的对应关系，再组合得到结果。本题可把每个多项式拆分为含x的项和含y的项两部分分别探究：①先观察含x的项，系数为连续的偶数，x的次数恒为1，可推出第n个含x的项的形式；②再观察含y的项，符号恒为负，系数绝对值为正整数序列，y的次数与排列序号一致，可推出第n个含y的项的形式，最后将两部分相加即可。
【解析】
我们将每个多项式拆分后分别找规律：
1. 观察含x的项：
第1个多项式的含x项为$2x=2×1· x$，
第2个多项式的含x项为$4x=2×2· x$，
第3个多项式的含x项为$6x=2×3· x$，
……
由此可得，第n个多项式的含x项为$2nx$。
2. 观察含y的项（带符号）：
第1个多项式的含y项为$-y=-1· y^1$，
第2个多项式的含y项为$-2y^2=-2· y^2$，
第3个多项式的含y项为$-3y^3=-3· y^3$，
……
由此可得，第n个多项式的含y项为$-ny^n$。
将两部分组合，得到第n个多项式为$2nx-ny^n$。
【答案】
$2nx-ny^n$
【知识点】
规律探究，列代数式，多项式的概念
【点评】
本题是规律探究类的典型基础题，核心解题思路是拆分复杂的多项式规律为单个单项式的规律分别推导，能有效锻炼学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.8
4 将形状、大小完全相同的小圆点“•”按如图所示的规律拼成图案，其中图①中有6个小圆点，图②中有11个小圆点，图③中有16个小圆点，…，按此规律排列下去，则图⑨中小圆点的个数为（
A.31
B.36
C.41
D.46
D
）A.31
B.36
C.41
D.46
答案
4. D
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先观察已知图案的小圆点数量，先计算相邻图案的数量差，发现后一个图案比前一个多5个小圆点，属于固定增量的规律，接下来我们先推导第n个图案的小圆点数量的通用表达式，再将n=9代入表达式即可算出图⑨的小圆点个数。
【解析】
观察已知图案的小圆点数量：
图①（第1个图案）：6个，可写为$5×1 + 1 = 6$；
图②（第2个图案）：11个，可写为$5×2 + 1 = 11$；
图③（第3个图案）：16个，可写为$5×3 + 1 = 16$；
由此可归纳出规律：第$n$个图案的小圆点个数为$5n + 1$。
当$n=9$时，代入得：$5×9 + 1 = 45 + 1 = 46$，即图⑨有46个小圆点。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，核心是从特殊的几个图案中找到恒定的变化量，推导出通用的规律表达式，再代入对应序号求解，掌握从特殊到一般的推理思路就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先观察已知图案的小圆点数量，先计算相邻图案的数量差，发现后一个图案比前一个多5个小圆点，属于固定增量的规律，接下来我们先推导第n个图案的小圆点数量的通用表达式，再将n=9代入表达式即可算出图⑨的小圆点个数。
【解析】
观察已知图案的小圆点数量：
图①（第1个图案）：6个，可写为$5×1 + 1 = 6$；
图②（第2个图案）：11个，可写为$5×2 + 1 = 11$；
图③（第3个图案）：16个，可写为$5×3 + 1 = 16$；
由此可归纳出规律：第$n$个图案的小圆点个数为$5n + 1$。
当$n=9$时，代入得：$5×9 + 1 = 45 + 1 = 46$，即图⑨有46个小圆点。
【答案】
D
【知识点】
图形规律探究、列代数式、代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，核心是从特殊的几个图案中找到恒定的变化量，推导出通用的规律表达式，再代入对应序号求解，掌握从特殊到一般的推理思路就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
5 将图①中的正方形剪开得到图②,图②中共有4个正方形;将图②中的一个正方形剪开得到图③,图③中共有7个正方形;将图③中的一个正方形剪开得到图④,图④中共有10个正方形……按照这样的规律,图⑥中共有正方形 (
A.15个
B.16个
C.17个
D.18个
B
)A.15个
B.16个
C.17个
D.18个
答案
5. B
解析
【分析】
遇到此类图形规律题，首先将已知图形的序号和对应的正方形个数一一列举出来，观察相邻两个图形的数量差，可发现每进行一次剪开操作，正方形总个数增加3，属于公差为3的等差数列规律，先推导第n个图形的正方形个数的通用表达式，再将n=6代入表达式即可求出图⑥的正方形个数。
【解析】
解：根据题意列举已知图形的正方形个数：
图①（n=1）：1个；
图②（n=2）：4个 = 1 + 3×1；
图③（n=3）：7个 = 1 + 3×2；
图④（n=4）：10个 = 1 + 3×3；
……
由此可得，第n个图中正方形的个数为：$1 + 3(n-1) = 3n - 2$。
当n=6（即图⑥）时，正方形个数为：$3×6 - 2 = 16$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是先通过前几组数据找到数量变化的固定规律，推导得出通用公式后再代入目标序号计算，解题时注意不要数错前几组的数量，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.8
遇到此类图形规律题，首先将已知图形的序号和对应的正方形个数一一列举出来，观察相邻两个图形的数量差，可发现每进行一次剪开操作，正方形总个数增加3，属于公差为3的等差数列规律，先推导第n个图形的正方形个数的通用表达式，再将n=6代入表达式即可求出图⑥的正方形个数。
【解析】
解：根据题意列举已知图形的正方形个数：
图①（n=1）：1个；
图②（n=2）：4个 = 1 + 3×1；
图③（n=3）：7个 = 1 + 3×2；
图④（n=4）：10个 = 1 + 3×3；
……
由此可得，第n个图中正方形的个数为：$1 + 3(n-1) = 3n - 2$。
当n=6（即图⑥）时，正方形个数为：$3×6 - 2 = 16$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是先通过前几组数据找到数量变化的固定规律，推导得出通用公式后再代入目标序号计算，解题时注意不要数错前几组的数量，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.8
6 某同学用大小相同的黑色棋子摆成如图所示的图形，图①由5枚棋子组成，图②由12枚棋子组成，图③由21枚棋子组成，…，按照这一规律，图⑥所用的棋子枚数是 （
A.45
B.60
C.77
D.96
B
）A.45
B.60
C.77
D.96
答案
6. B
解析
【分析】
解决这道图形规律题，可按以下步骤思考：第一步先梳理已知条件，明确图形序号和对应棋子数的关系：图①（序号1）共5枚棋子，图②（序号2）共12枚棋子，图③（序号3）共21枚棋子。第二步寻找数值规律，将每组棋子数拆成两个数的乘积：5=1×5，12=2×6，21=3×7，可发现第一个乘数就是图形的序号，第二个乘数比对应序号大4，因此可归纳出第n个图形的棋子数公式为n(n+4)。第三步将n=6代入公式计算，即可得到图⑥的棋子数。
【解析】
设第n个图形的棋子数为$a_n$，根据题意：
当$n=1$时，$a_1=5=1×(1+4)$
当$n=2$时，$a_2=12=2×(2+4)$
当$n=3$时，$a_3=21=3×(3+4)$
由此归纳规律：第n个图形的棋子数$a_n = n(n+4)$
当求图⑥的棋子数时，$n=6$，代入得：
$a_6=6×(6+4)=6×10=60$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，核心是通过已知的几组数据，找到数值和图形序号之间的对应关系，总结出通用公式后代入计算即可，能有效锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
解决这道图形规律题，可按以下步骤思考：第一步先梳理已知条件，明确图形序号和对应棋子数的关系：图①（序号1）共5枚棋子，图②（序号2）共12枚棋子，图③（序号3）共21枚棋子。第二步寻找数值规律，将每组棋子数拆成两个数的乘积：5=1×5，12=2×6，21=3×7，可发现第一个乘数就是图形的序号，第二个乘数比对应序号大4，因此可归纳出第n个图形的棋子数公式为n(n+4)。第三步将n=6代入公式计算，即可得到图⑥的棋子数。
【解析】
设第n个图形的棋子数为$a_n$，根据题意：
当$n=1$时，$a_1=5=1×(1+4)$
当$n=2$时，$a_2=12=2×(2+4)$
当$n=3$时，$a_3=21=3×(3+4)$
由此归纳规律：第n个图形的棋子数$a_n = n(n+4)$
当求图⑥的棋子数时，$n=6$，代入得：
$a_6=6×(6+4)=6×10=60$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类的常见题型，核心是通过已知的几组数据，找到数值和图形序号之间的对应关系，总结出通用公式后代入计算即可，能有效锻炼学生的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.7
7 如图，这是一组有规律的图案，它们由五角星和圆点按规律摆放，第1个图案中有5个圆点，第2个图案中有9个圆点，第3个图案中有13个圆点，…，依此规律，第
6
个图案中有25个圆点。答案
7. 6
解析
【分析】
解决这类图形规律题，首先观察相邻图案的圆点数量差：第2个图案比第1个多9-5=4个圆点，第3个图案比第2个多13-9=4个圆点，可知每增加1个五角星，圆点数量增加4个。接下来推导第n个图案的圆点数量表达式：第1个图案圆点为4×1+1=5，第2个为4×2+1=9，因此第n个图案的圆点个数可表示为4n+1。最后将圆点总数25代入表达式，解一元一次方程即可得到n的值。
【解析】
观察已知图案的圆点数量：
第1个图案：$5=4×1+1$
第2个图案：$9=4×2+1$
第3个图案：$13=4×3+1$
由此可得，第$n$个图案的圆点个数为$4n+1$。
令$4n+1=25$，
解方程得：$4n=24$，$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
图形找规律；列代数式；一元一次方程求解
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察已知图案归纳出通用的数量规律，再结合题意列方程求解，能够有效考查学生的观察归纳能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律题，首先观察相邻图案的圆点数量差：第2个图案比第1个多9-5=4个圆点，第3个图案比第2个多13-9=4个圆点，可知每增加1个五角星，圆点数量增加4个。接下来推导第n个图案的圆点数量表达式：第1个图案圆点为4×1+1=5，第2个为4×2+1=9，因此第n个图案的圆点个数可表示为4n+1。最后将圆点总数25代入表达式，解一元一次方程即可得到n的值。
【解析】
观察已知图案的圆点数量：
第1个图案：$5=4×1+1$
第2个图案：$9=4×2+1$
第3个图案：$13=4×3+1$
由此可得，第$n$个图案的圆点个数为$4n+1$。
令$4n+1=25$，
解方程得：$4n=24$，$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
图形找规律；列代数式；一元一次方程求解
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题核心是通过观察已知图案归纳出通用的数量规律，再结合题意列方程求解，能够有效考查学生的观察归纳能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
8 下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5枚棋子，图②中有10枚棋子，图③中有16枚棋子，…，依此规律，求图⑧中棋子的枚数.
答案
8. 由题意,可得图ⓝ中棋子的枚数为 $1+2+3+\dots+(n+1)+2n$,所以图⑧中棋子的枚数为 $1+2+3+4+5+6+7+8+9+8×2=45+16=61$
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，首先要对应图的序号和棋子数量：图①对应序号n=1，棋子数5；图②对应n=2，棋子数10；图③对应n=3，棋子数16。接下来将已知的棋子数拆分找规律：观察可得5=3+2，10=6+4，16=10+6，其中后一个加数2、4、6分别是对应序号的2倍（2×1、2×2、2×3）；前一个加数3、6、10分别是从1开始的连续自然数的和：1+2、1+2+3、1+2+3+4，即从1加到（序号+1）的和。由此可归纳出第n个图的棋子数通用表达式，最后将n=8代入表达式即可求解。
【解析】
设第n个图中棋子的枚数为$S_n$：
当$n=1$时，$S_1=1+2+2×1=3+2=5$，符合图①的棋子数；
当$n=2$时，$S_2=1+2+3+2×2=6+4=10$，符合图②的棋子数；
当$n=3$时，$S_3=1+2+3+4+2×3=10+6=16$，符合图③的棋子数；
归纳可得第n个图的棋子数公式：$S_n=1+2+3+\dots+(n+1)+2n$。
当$n=8$时：
$\begin{aligned}S_8&=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+2×8\\&=45+16\\&=61\end{aligned}$
【答案】
61
【知识点】
图形规律探究，有理数加法，等差数列求和
【点评】
本题属于典型的规律探究类题型，核心考查观察能力与归纳推理能力，解题的关键是将棋子数拆分为有规律的两部分，总结出通用表达式后代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律探究题，首先要对应图的序号和棋子数量：图①对应序号n=1，棋子数5；图②对应n=2，棋子数10；图③对应n=3，棋子数16。接下来将已知的棋子数拆分找规律：观察可得5=3+2，10=6+4，16=10+6，其中后一个加数2、4、6分别是对应序号的2倍（2×1、2×2、2×3）；前一个加数3、6、10分别是从1开始的连续自然数的和：1+2、1+2+3、1+2+3+4，即从1加到（序号+1）的和。由此可归纳出第n个图的棋子数通用表达式，最后将n=8代入表达式即可求解。
【解析】
设第n个图中棋子的枚数为$S_n$：
当$n=1$时，$S_1=1+2+2×1=3+2=5$，符合图①的棋子数；
当$n=2$时，$S_2=1+2+3+2×2=6+4=10$，符合图②的棋子数；
当$n=3$时，$S_3=1+2+3+4+2×3=10+6=16$，符合图③的棋子数；
归纳可得第n个图的棋子数公式：$S_n=1+2+3+\dots+(n+1)+2n$。
当$n=8$时：
$\begin{aligned}S_8&=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+2×8\\&=45+16\\&=61\end{aligned}$
【答案】
61
【知识点】
图形规律探究，有理数加法，等差数列求和
【点评】
本题属于典型的规律探究类题型，核心考查观察能力与归纳推理能力，解题的关键是将棋子数拆分为有规律的两部分，总结出通用表达式后代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
