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1 日常生活中，我们通常用到的数为十进制数.在表示十进制数时，我们需要用到10个数码：0,1,2,…,8,9.例如：$2025=2×10^3+0×10^2+2×10^1+5$.而在计算机中，常使用二进制数，即使用两个数码：0,1.如：$(111)_2=1×2^2+1×2^1+1×2^0$，相当于十进制中的7；又如：$(11011)_2=1×2^4+1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0$，相当于十进制中的27.同样地，$(102)_3$可用十进制表示为$1×3^2+0×3^1+2×3^0=11$.现有$a=(11101)_2$，$b=(1010)_3$，那么$a$，$b$的大小关系是$a$
＜
$b$（填“＞”“＜”或“=”）.答案
1. ＜
解析
【分析】
要比较不同进位制的两个数的大小，首先需要将它们都转换为我们熟悉的十进制数，再进行大小比较。转换规则为：对于k进制数，从右往左每一位对应的权值依次是$k^0,k^1,k^2···$，将每一位上的数字乘以对应的权值，再把所有结果相加，就能得到对应的十进制数。接下来分别计算$a$、$b$对应的十进制值，再比较大小即可。
【解析】
1. 先将二进制数$a=(11101)_2$转换为十进制数：
$\begin{aligned}a&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=16+8+4+0+1\\&=29\end{aligned}$
2. 再将三进制数$b=(1010)_3$转换为十进制数：
$\begin{aligned}b&=1×3^3 + 0×3^2 + 1×3^1 + 0×3^0\\&=1×27 + 0×9 + 1×3 + 0×1\\&=27+0+3+0\\&=30\end{aligned}$
3. 比较大小：因为$29＜30$，所以$a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 进位制转换
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是进位制的基础应用题，解题核心是掌握不同进制数转换为十进制数的运算规则，将不同进制的数统一为十进制后再比较，计算时注意准确识别每一位对应的权值，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.7
要比较不同进位制的两个数的大小，首先需要将它们都转换为我们熟悉的十进制数，再进行大小比较。转换规则为：对于k进制数，从右往左每一位对应的权值依次是$k^0,k^1,k^2···$，将每一位上的数字乘以对应的权值，再把所有结果相加，就能得到对应的十进制数。接下来分别计算$a$、$b$对应的十进制值，再比较大小即可。
【解析】
1. 先将二进制数$a=(11101)_2$转换为十进制数：
$\begin{aligned}a&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1\\&=16+8+4+0+1\\&=29\end{aligned}$
2. 再将三进制数$b=(1010)_3$转换为十进制数：
$\begin{aligned}b&=1×3^3 + 0×3^2 + 1×3^1 + 0×3^0\\&=1×27 + 0×9 + 1×3 + 0×1\\&=27+0+3+0\\&=30\end{aligned}$
3. 比较大小：因为$29＜30$，所以$a＜b$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 进位制转换
2. 有理数大小比较
【点评】
本题是进位制的基础应用题，解题核心是掌握不同进制数转换为十进制数的运算规则，将不同进制的数统一为十进制后再比较，计算时注意准确识别每一位对应的权值，避免计算失误即可。
【难度系数】
0.7
2 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制.也就是说,“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.对于任何一种进制,$N$进制就表示某一位置上的数运算时是逢$N$进一位,$N$进制表示的数$(1111)_N$中,右起第一位上的1表示$1×N^0$,第二位上的1表示$1×N^1$,第三位上的1表示$1×N^2$,第四位上的1表示$1×N^3$.$(1403)_5$转化为十进制数是
228
.答案
2. 228
解析
【分析】
本题考查五进制转十进制的运算，解题思路如下：首先明确N进制转十进制的规则：将N进制数每一位上的数字，乘以该位对应的N的幂次（右起第k位对应的幂次为$N^{k-1}$，幂次从0开始从右往左递增），再将所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。本题中N为5，我们先确定$(1403)_5$每一位对应的数字和幂次，再分别计算乘积后求和即可。
【解析】
根据进制转换规则可得：
$\begin{aligned}(1403)_5 &= 1×5^3 + 4×5^2 + 0×5^1 + 3×5^0 \\&= 1×125 + 4×25 + 0×5 + 3×1 \\&= 125 + 100 + 0 + 3 \\&= 228\end{aligned}$
【答案】
228
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题是进位制的基础应用题，核心是理解题目给出的进制转换规则，结合乘方和加法运算即可求解，重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题考查五进制转十进制的运算，解题思路如下：首先明确N进制转十进制的规则：将N进制数每一位上的数字，乘以该位对应的N的幂次（右起第k位对应的幂次为$N^{k-1}$，幂次从0开始从右往左递增），再将所有乘积相加，结果就是对应的十进制数。本题中N为5，我们先确定$(1403)_5$每一位对应的数字和幂次，再分别计算乘积后求和即可。
【解析】
根据进制转换规则可得：
$\begin{aligned}(1403)_5 &= 1×5^3 + 4×5^2 + 0×5^1 + 3×5^0 \\&= 1×125 + 4×25 + 0×5 + 3×1 \\&= 125 + 100 + 0 + 3 \\&= 228\end{aligned}$
【答案】
228
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数加法
【点评】
本题是进位制的基础应用题，核心是理解题目给出的进制转换规则，结合乘方和加法运算即可求解，重点考查信息提取能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
3 八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字.$(3745)_8$换算成十进制数是$3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +5×8^0 =2021$. $(202)_8$换算成十进制数是
130
.答案
3. 130
解析
【分析】
本题考查八进制转十进制的计算，可直接参照题目给出的换算示例解题：八进制数转十进制数的核心规则是按权展开求和，即把每一位上的数字乘以8的对应次方（次方数从右往左数，最右侧的个位对应8⁰，依次往左次方数加1），再将所有乘积相加。首先明确(202)₈从右到左的三位数字分别是2、0、2，对应8⁰、8¹、8²，再按规则计算求和即可。
【解析】
根据八进制转十进制的换算规则：
$\begin{aligned}(202)_8 &= 2×8^2 + 0×8^1 + 2×8^0 \\&= 2×64 + 0×8 + 2×1 \\&= 128 + 0 + 2 \\&= 130\end{aligned}$
【答案】
130
【知识点】
进位制转换；乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是进位制换算的基础题型，题目已给出明确的换算示例，只要掌握按权展开求和的规则，准确计算乘方和乘积，就能顺利求解，易错点是容易混淆各位数字对应的8的次方数。
【难度系数】
0.85
本题考查八进制转十进制的计算，可直接参照题目给出的换算示例解题：八进制数转十进制数的核心规则是按权展开求和，即把每一位上的数字乘以8的对应次方（次方数从右往左数，最右侧的个位对应8⁰，依次往左次方数加1），再将所有乘积相加。首先明确(202)₈从右到左的三位数字分别是2、0、2，对应8⁰、8¹、8²，再按规则计算求和即可。
【解析】
根据八进制转十进制的换算规则：
$\begin{aligned}(202)_8 &= 2×8^2 + 0×8^1 + 2×8^0 \\&= 2×64 + 0×8 + 2×1 \\&= 128 + 0 + 2 \\&= 130\end{aligned}$
【答案】
130
【知识点】
进位制转换；乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是进位制换算的基础题型，题目已给出明确的换算示例，只要掌握按权展开求和的规则，准确计算乘方和乘积，就能顺利求解，易错点是容易混淆各位数字对应的8的次方数。
【难度系数】
0.85
4 十进制数转化为二进制数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0、逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法，如图①所示。同样地，十进制数转化为八进制数可用除八取余法，如图②所示。
（第4题）将十进制数21转化为二进制数是多少？十进制数120转化为五进制数是多少？
（第4题）将十进制数21转化为二进制数是多少？十进制数120转化为五进制数是多少？答案
4. 如图①，十进制数 21=(10101)₂，如图②，十进制数 120=(440)₅
解析
【分析】
本题考查十进制数转其他进制数的方法，解题遵循“除基取余，逆序排列”的规则：①要转换为几进制，就用十进制数连续除以对应的基数（转二进制基数是2，转五进制基数是5），直到商为0，依次记录每次的余数；②最后把余数从最后一次得到的（商为0时的余数，是高位）到第一次得到的（第一次除的余数，是低位）依次排列，即可得到对应进制的数。
【解析】
1. 计算十进制数21对应的二进制数：
用2连续除21，记录余数：
$21÷2=10$，余数1（低位）
$10÷2=5$，余数0
$5÷2=2$，余数1
$2÷2=1$，余数0
$1÷2=0$，余数1（高位）
将余数逆序排列，得到二进制数10101。
2. 计算十进制数120对应的五进制数：
用5连续除120，记录余数：
$120÷5=24$，余数0（低位）
$24÷5=4$，余数4
$4÷5=0$，余数4（高位）
将余数逆序排列，得到五进制数440。
【答案】
4. 如图①，十进制数 21=(10101)₂，如图②，十进制数 120=(440)₅
【知识点】
进位制转换，除基取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心是掌握“除基取余、逆序排列”的换算规则，计算时要准确记录每次的余数，排序时注意从高位到低位排列，避免顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.8
本题考查十进制数转其他进制数的方法，解题遵循“除基取余，逆序排列”的规则：①要转换为几进制，就用十进制数连续除以对应的基数（转二进制基数是2，转五进制基数是5），直到商为0，依次记录每次的余数；②最后把余数从最后一次得到的（商为0时的余数，是高位）到第一次得到的（第一次除的余数，是低位）依次排列，即可得到对应进制的数。
【解析】
1. 计算十进制数21对应的二进制数：
用2连续除21，记录余数：
$21÷2=10$，余数1（低位）
$10÷2=5$，余数0
$5÷2=2$，余数1
$2÷2=1$，余数0
$1÷2=0$，余数1（高位）
将余数逆序排列，得到二进制数10101。
2. 计算十进制数120对应的五进制数：
用5连续除120，记录余数：
$120÷5=24$，余数0（低位）
$24÷5=4$，余数4
$4÷5=0$，余数4（高位）
将余数逆序排列，得到五进制数440。
【答案】
4. 如图①，十进制数 21=(10101)₂，如图②，十进制数 120=(440)₅
【知识点】
进位制转换，除基取余法
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心是掌握“除基取余、逆序排列”的换算规则，计算时要准确记录每次的余数，排序时注意从高位到低位排列，避免顺序颠倒出错。
【难度系数】
0.8
5 两个二进制数可以相加减，相加减时，将对应数位上的数相加减.与十进制中的“逢十进一”“退一还十”相类似，应用“逢二进一”“退一还二”的运算法则，如：$(101)_2 + (11)_2 = (1000)_2$，$(110)_2 - (11)_2 = (11)_2$，用竖式运算如图所示.计算：
(1) $(10101)_2 + (111)_2$（结果仍用二进制数表示）；
(2) $(110010)_2 - (1111)_2$（结果用十进制数表示）.
(1) $(10101)_2 + (111)_2$（结果仍用二进制数表示）；
(2) $(110010)_2 - (1111)_2$（结果用十进制数表示）.
答案
5. (1) $(10101)_2 + (111)_2 = (11100)_2$
(2) $(110010)_2 - (1111)_2=(100011)_2=1×2^5+1×2^1+1=(35)_{10}$
(2) $(110010)_2 - (1111)_2=(100011)_2=1×2^5+1×2^1+1=(35)_{10}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二进制的运算规则：加法遵循“逢二进一”，减法遵循“退一还二”。对于第(1)问二进制加法，先把两个二进制数的数位右对齐，从最低位（最右侧）开始逐位相加，每一位相加的和大于等于2时就向高位进1，本位保留和减2后的结果；对于第(2)问，先按二进制减法规则算出结果，再将二进制结果转十进制，转换方法是将每个数位上的数字乘2的对应次方（从右往左，数位从0开始计数），再求和得到十进制数。
【解析】
(1) 列竖式计算二进制加法，数位右对齐：
```
10101
+ 0111
--------
11100
```
计算过程：最低位1+1=2，写0进1；第二位0+1+1=2，写0进1；第三位1+1+1=3，写1进1；第四位0+0+1=1；第五位1+0=1，结果为$(11100)_2$。
(2) 先列竖式计算二进制减法，数位右对齐：
```
110010
01111
---------
100011
```
计算过程：从最低位开始减，不够减时向前一位借1当2，最终得到减法结果$(100011)_2$。
再将其转换为十进制：
$(100011)_2 = 1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35$，即$(35)_{10}$。
【答案】
(1) $(11100)_2$
(2) $35$
【知识点】
二进制加减运算、二进制转十进制
【点评】
本题核心是掌握二进制特有的运算规则，计算时注意数位对齐、进位和借位的处理，二进制转十进制时要注意数位对应的指数不要数错，整体属于基础的进位制运算题。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二进制的运算规则：加法遵循“逢二进一”，减法遵循“退一还二”。对于第(1)问二进制加法，先把两个二进制数的数位右对齐，从最低位（最右侧）开始逐位相加，每一位相加的和大于等于2时就向高位进1，本位保留和减2后的结果；对于第(2)问，先按二进制减法规则算出结果，再将二进制结果转十进制，转换方法是将每个数位上的数字乘2的对应次方（从右往左，数位从0开始计数），再求和得到十进制数。
【解析】
(1) 列竖式计算二进制加法，数位右对齐：
```
10101
+ 0111
--------
11100
```
计算过程：最低位1+1=2，写0进1；第二位0+1+1=2，写0进1；第三位1+1+1=3，写1进1；第四位0+0+1=1；第五位1+0=1，结果为$(11100)_2$。
(2) 先列竖式计算二进制减法，数位右对齐：
```
110010
01111
---------
100011
```
计算过程：从最低位开始减，不够减时向前一位借1当2，最终得到减法结果$(100011)_2$。
再将其转换为十进制：
$(100011)_2 = 1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 32 + 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 35$，即$(35)_{10}$。
【答案】
(1) $(11100)_2$
(2) $35$
【知识点】
二进制加减运算、二进制转十进制
【点评】
本题核心是掌握二进制特有的运算规则，计算时注意数位对齐、进位和借位的处理，二进制转十进制时要注意数位对应的指数不要数错，整体属于基础的进位制运算题。
【难度系数】
0.7
