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角的平分线的判定
(1)角的内部到角两边距离相等的点在
(2)三角形的三条角平分线交于
(1)角的内部到角两边距离相等的点在
角的平分线
上.(2)三角形的三条角平分线交于
一点
，这一点到三角形三边的距离相等
.答案
(1) 角的平分线 (2) 一点 相等
解析
【分析】
本题考查角平分线的判定及三角形角平分线的性质相关基础概念。解题时先回忆对应知识点：1. 角平分线的判定定理是角平分线性质的逆定理，明确“角内部、到两边距离相等”这两个前提，就能对应到点的位置；2. 回忆三角形三条角平分线的交点特征，结合角平分线的性质可推出交点到三边的距离关系，直接对应填空即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此此处填角的平分线。
(2) 对任意三角形作三条角平分线，可发现三条角平分线相交于同一点；因为该点在三角形三个内角的角平分线上，结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得这一点到三角形三边的距离均相等，因此依次填一点、相等。
【答案】
(1) 角的平分线 (2) 一点 相等
【知识点】
角平分线的判定；三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心定义、性质的记忆与理解，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的判定及三角形角平分线的性质相关基础概念。解题时先回忆对应知识点：1. 角平分线的判定定理是角平分线性质的逆定理，明确“角内部、到两边距离相等”这两个前提，就能对应到点的位置；2. 回忆三角形三条角平分线的交点特征，结合角平分线的性质可推出交点到三边的距离关系，直接对应填空即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，因此此处填角的平分线。
(2) 对任意三角形作三条角平分线，可发现三条角平分线相交于同一点；因为该点在三角形三个内角的角平分线上，结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得这一点到三角形三边的距离均相等，因此依次填一点、相等。
【答案】
(1) 角的平分线 (2) 一点 相等
【知识点】
角平分线的判定；三角形角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对核心定义、性质的记忆与理解，熟练掌握基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
[典例]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是AC上一点,$DE⊥ AB$于点E,且$DE=DC$.
(1)求证:BD平分$∠ ABC$;
(2)若$∠ A=36°$,求$∠ DBC$的度数.
典例解析
(1)求证:BD平分$∠ ABC$;
(2)若$∠ A=36°$,求$∠ DBC$的度数.
典例解析
答案
证明：(1)
∵ ∠C = 90°，
∴ DC⊥BC。
又∵ DE⊥AB，DE = DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴ BD平分∠ABC。
解：(2)
在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 36°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 54°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
∵ ∠C = 90°，
∴ DC⊥BC。
又∵ DE⊥AB，DE = DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴ BD平分∠ABC。
解：(2)
在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 36°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 54°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
解析
【分析】
(1)要证明BD平分∠ABC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。已知DE⊥AB、DC⊥BC，且DE=DC，满足判定条件，即可推导结论。
(2)求∠DBC的度数时，先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABC的度数，再结合(1)中BD是∠ABC的平分线，可知∠DBC为∠ABC的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵ ∠C = 90°，
∴ DC⊥BC。
又
∵ DE⊥AB，DE = DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴ BD平分∠ABC。
(2)解：
在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 36°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 54°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
【答案】
(1)BD平分∠ABC，证明成立；
(2)∠DBC的度数为27°
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查角平分线判定定理的应用和直角三角形内角关系的计算，解题时注意结合已知条件选择对应的定理推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1)要证明BD平分∠ABC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。已知DE⊥AB、DC⊥BC，且DE=DC，满足判定条件，即可推导结论。
(2)求∠DBC的度数时，先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABC的度数，再结合(1)中BD是∠ABC的平分线，可知∠DBC为∠ABC的一半，代入数值计算即可。
【解析】
(1)证明：
∵ ∠C = 90°，
∴ DC⊥BC。
又
∵ DE⊥AB，DE = DC，
∴ 点D在∠ABC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上），
∴ BD平分∠ABC。
(2)解：
在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 36°，
∴ ∠ABC = 90° - ∠A = 54°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×54° = 27°。
【答案】
(1)BD平分∠ABC，证明成立；
(2)∠DBC的度数为27°
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何应用题，核心考查角平分线判定定理的应用和直角三角形内角关系的计算，解题时注意结合已知条件选择对应的定理推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
典例
(1)证明 ∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,∴点D在∠ABC的平分线上,
∴BD平分∠ABC.
规律方法 要证明某条线段是一个角的平分线,只需证明从这条线段上的一点向角的两边所作的垂线段相等即可.将问题转化为“证明线段相等”,体现了转化思想.
[举一反三]如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
(2)解 ∵∠C=90°,∠A=36°,
∴∠ABC=54°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=27°.
(1)证明 ∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,∴点D在∠ABC的平分线上,
∴BD平分∠ABC.
规律方法 要证明某条线段是一个角的平分线,只需证明从这条线段上的一点向角的两边所作的垂线段相等即可.将问题转化为“证明线段相等”,体现了转化思想.
[举一反三]如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.
(2)解 ∵∠C=90°,∠A=36°,
∴∠ABC=54°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=27°.
答案
证明
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的垂线段DE=DF即可。已知D是BC中点可得BD=CD，结合DE⊥AB、DF⊥AC可知△BDE和△CDF均为直角三角形，又已知BE=CF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形的性质得到DE=DF，最终即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC。
【答案】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题时体现了转化思想，将证角平分线的问题转化为证垂线段相等、再转化为证三角形全等的问题，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的垂线段DE=DF即可。已知D是BC中点可得BD=CD，结合DE⊥AB、DF⊥AC可知△BDE和△CDF均为直角三角形，又已知BE=CF，可先通过HL定理证明两个直角三角形全等，利用全等三角形的性质得到DE=DF，最终即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE和△CDF都是直角三角形，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF，
又
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC。
【答案】
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题时体现了转化思想，将证角平分线的问题转化为证垂线段相等、再转化为证三角形全等的问题，需注意HL定理仅适用于直角三角形的全等判定。
【难度系数】
0.7
