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3. 如图，在$△ ABC$中，AD平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点E，$△ ABC$的面积为7，$AB=4$，$DE=2$，则AC的长是
3
。答案
3. 3
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，因此可以推出点D到AC边的距离等于DE的长度2。接下来，△ABC的面积可以拆分为△ABD和△ACD的面积之和，我们可以先算出△ABD的面积，再用总面积减去它得到△ACD的面积，最后利用三角形面积公式反求出AC的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2。
计算△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=7$，
∴$S_{△ ACD}=7-4=3$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，
代入数值：$3=\frac{1}{2} × AC × 2$，
解得：AC=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的核心是通过角平分线的性质得到AC边上的高，再结合面积和差关系建立方程求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，因此可以推出点D到AC边的距离等于DE的长度2。接下来，△ABC的面积可以拆分为△ABD和△ACD的面积之和，我们可以先算出△ABD的面积，再用总面积减去它得到△ACD的面积，最后利用三角形面积公式反求出AC的长度。
【解析】
解：过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2。
计算△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=7$，
∴$S_{△ ACD}=7-4=3$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} × AC × DF$，
代入数值：$3=\frac{1}{2} × AC × 2$，
解得：AC=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查角平分线性质的灵活应用，解题的核心是通过角平分线的性质得到AC边上的高，再结合面积和差关系建立方程求解，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证OE＝OF.
答案
4. 证明 在△ABD和△CBD 中,$\begin{cases} AB=CB, \\ AD=CD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴$△ABD≌△CBD$(SSS),
∴$∠ABD=∠CBD$,
∴BD 平分$∠ABC$.
∵$OE⊥AB,OF⊥CB$,
∴$OE=OF$.
∴$△ABD≌△CBD$(SSS),
∴$∠ABD=∠CBD$,
∴BD 平分$∠ABC$.
∵$OE⊥AB,OF⊥CB$,
∴$OE=OF$.
解析
【分析】
要证明OE=OF，首先观察到OE、OF分别是点O到∠ABC两边的垂线段，根据角平分线的性质，只要先证明BD是∠ABC的角平分线，即可直接得到结论。要证BD平分∠ABC，需证明∠ABD=∠CBD，结合题目给出的AB=CB、AD=CD的条件，加上公共边BD，可通过SSS判定△ABD和△CBD全等，进而得到对应角相等，即可完成推导。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ AD=CD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CBD$(SSS),
∴$∠ ABD=∠ CBD$，即BD平分$∠ ABC$。
∵$OE⊥AB,OF⊥CB$，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE=OF$。
【答案】
OE=OF，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题逻辑清晰，核心是先通过三角形全等得到角相等，确定角平分线后，利用角平分线的性质即可求证两条垂线段相等，是对基础定理应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
要证明OE=OF，首先观察到OE、OF分别是点O到∠ABC两边的垂线段，根据角平分线的性质，只要先证明BD是∠ABC的角平分线，即可直接得到结论。要证BD平分∠ABC，需证明∠ABD=∠CBD，结合题目给出的AB=CB、AD=CD的条件，加上公共边BD，可通过SSS判定△ABD和△CBD全等，进而得到对应角相等，即可完成推导。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD 中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ AD=CD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ CBD$(SSS),
∴$∠ ABD=∠ CBD$，即BD平分$∠ ABC$。
∵$OE⊥AB,OF⊥CB$，
∴根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$OE=OF$。
【答案】
OE=OF，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题逻辑清晰，核心是先通过三角形全等得到角相等，确定角平分线后，利用角平分线的性质即可求证两条垂线段相等，是对基础定理应用的常规考查。
【难度系数】
0.7
5.如图，直线$l,l',l''$分别表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求加油站到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
D
）。A.一处
B.二处
C.三处
D.四处
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确加油站到三条公路距离相等，意味着这个点要同时在三条公路两两形成的角的平分线上。我们可以分两种情况思考：第一种是三条公路围成的三角形内部的点，第二种是三角形外部的点，注意不要漏掉外角的角平分线的交点情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点在三角形内部，到三条公路的距离相等，这是第1处可选地址。
2. 对于三角形的每个内角，它的角平分线与另外两个不相邻的外角的角平分线也会交于一点，这类点在三角形外部，共有3个，每个点到三条公路所在直线的距离都相等，这是3处可选地址。
综上，总共有$1+3=4$处可供选择的地址。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的实际应用
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题的关键是全面考虑内角平分线和外角平分线两种情况，很容易只想到三角形内部的内角平分线交点而漏算外部的外角平分线交点，导致选错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确加油站到三条公路距离相等，意味着这个点要同时在三条公路两两形成的角的平分线上。我们可以分两种情况思考：第一种是三条公路围成的三角形内部的点，第二种是三角形外部的点，注意不要漏掉外角的角平分线的交点情况。
【解析】
根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
1. 三条公路两两相交围成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点在三角形内部，到三条公路的距离相等，这是第1处可选地址。
2. 对于三角形的每个内角，它的角平分线与另外两个不相邻的外角的角平分线也会交于一点，这类点在三角形外部，共有3个，每个点到三条公路所在直线的距离都相等，这是3处可选地址。
综上，总共有$1+3=4$处可供选择的地址。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，角平分线的实际应用
【点评】
本题是角平分线性质的实际应用问题，解题的关键是全面考虑内角平分线和外角平分线两种情况，很容易只想到三角形内部的内角平分线交点而漏算外部的外角平分线交点，导致选错。
【难度系数】
0.6
6.校园一角的形状如图①,其中AB,BC,CD表示围墙.小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P(如图②),使得点P到三面墙的距离都相等.你能解释他这样做的道理吗?
答案
6. 解 如图,过点 P 作$PE⊥AB$于点 E,$PF⊥BC$于点 F,$PG⊥CD$于点 G,
∵BP,CP 分别是$∠ABC,∠BCD$的平分线,
∴$PE=PF,PF=PG$,
∴$PE=PF=PG$.
故点 P 到三面墙的距离都相等.
解析
【分析】
要解释点P到三面墙距离相等的道理，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。第一步，明确到AB、BC两面墙距离相等的点，都在∠ABC的角平分线上；到BC、CD两面墙距离相等的点，都在∠BCD的角平分线上，因此两个角平分线的交点P同时满足上述两个条件。第二步，过点P作三面墙的垂线段，利用角平分线的性质即可证明三条垂线段长度相等。
【解析】
过点P作$PE⊥AB$于点E，$PF⊥BC$于点F，$PG⊥CD$于点G。
由作图痕迹可知，BP是$∠ABC$的角平分线，CP是$∠BCD$的角平分线。
根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此$PE=PF$，$PF=PG$。
通过等量代换可得$PE=PF=PG$，即点P到三面墙AB、BC、CD的距离都相等。
【答案】
6. 解 如图,过点 P 作$PE⊥AB$于点 E,$PF⊥BC$于点 F,$PG⊥CD$于点 G,
∵BP,CP 分别是$∠ABC,∠BCD$的平分线,
∴$PE=PF,PF=PG$,
∴$PE=PF=PG$.
故点 P 到三面墙的距离都相等.
【知识点】
1.角平分线的性质
2.角平分线的尺规作图
【点评】
本题结合生活场景考查角平分线的相关知识，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，能将实际问题转化为几何模型分析求解，同时也考查了对角平分线尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.8
要解释点P到三面墙距离相等的道理，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。第一步，明确到AB、BC两面墙距离相等的点，都在∠ABC的角平分线上；到BC、CD两面墙距离相等的点，都在∠BCD的角平分线上，因此两个角平分线的交点P同时满足上述两个条件。第二步，过点P作三面墙的垂线段，利用角平分线的性质即可证明三条垂线段长度相等。
【解析】
过点P作$PE⊥AB$于点E，$PF⊥BC$于点F，$PG⊥CD$于点G。
由作图痕迹可知，BP是$∠ABC$的角平分线，CP是$∠BCD$的角平分线。
根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此$PE=PF$，$PF=PG$。
通过等量代换可得$PE=PF=PG$，即点P到三面墙AB、BC、CD的距离都相等。
【答案】
6. 解 如图,过点 P 作$PE⊥AB$于点 E,$PF⊥BC$于点 F,$PG⊥CD$于点 G,
∵BP,CP 分别是$∠ABC,∠BCD$的平分线,
∴$PE=PF,PF=PG$,
∴$PE=PF=PG$.
故点 P 到三面墙的距离都相等.
【知识点】
1.角平分线的性质
2.角平分线的尺规作图
【点评】
本题结合生活场景考查角平分线的相关知识，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质，能将实际问题转化为几何模型分析求解，同时也考查了对角平分线尺规作图痕迹的识别能力。
【难度系数】
0.8
