登录
1. 如图,在CD上作一点P,使它到OA,OB的距离相等,则点P是(
A.线段CD的中点
B.△OCD的边CD上的高与CD的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上答案都不对
(第1题图)
(第2题图)
C
).A.线段CD的中点
B.△OCD的边CD上的高与CD的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上答案都不对
(第1题图)
(第2题图)
答案
1. C
解析
【分析】
要找到符合要求的点P，需先明确点P要满足两个条件：①在线段CD上；②到OA、OB的距离相等。回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此所有满足到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，再结合点P在CD上的要求，即可确定点P是两条线的交点，对应正确选项。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
若点P到OA、OB的距离相等，则点P一定在∠AOB的平分线上，又因为点P需在CD上，因此点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对选项逐一分析：
A：线段CD的中点仅满足到点C、D的距离相等，无法保证到OA、OB的距离相等，不符合要求；
B：△OCD的边CD上的高上的点，满足与CD垂直的关系，和到OA、OB的距离相等无关，不符合要求；
C符合推导结论，正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题目，解题核心是熟练掌握角平分线的判定定理，结合点的位置限制就能快速得到结果，侧重对基础定理理解的考查。
【难度系数】
0.9
要找到符合要求的点P，需先明确点P要满足两个条件：①在线段CD上；②到OA、OB的距离相等。回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此所有满足到OA、OB距离相等的点都在∠AOB的平分线上，再结合点P在CD上的要求，即可确定点P是两条线的交点，对应正确选项。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
若点P到OA、OB的距离相等，则点P一定在∠AOB的平分线上，又因为点P需在CD上，因此点P是CD与∠AOB的平分线的交点。
对选项逐一分析：
A：线段CD的中点仅满足到点C、D的距离相等，无法保证到OA、OB的距离相等，不符合要求；
B：△OCD的边CD上的高上的点，满足与CD垂直的关系，和到OA、OB的距离相等无关，不符合要求；
C符合推导结论，正确，D错误。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题目，解题核心是熟练掌握角平分线的判定定理，结合点的位置限制就能快速得到结果，侧重对基础定理理解的考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$PM = PN$，$∠ BOC = 30°$，则$∠ AOB=$
60°
。答案
2. 60°
解析
【分析】
解题时先观察图形和已知条件：PM垂直于OA，PN垂直于OB，说明PM、PN分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离，已知PM=PN，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，再结合∠BOC的度数，即可求出∠AOB的大小。
【解析】
由图可得：$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，即PM是点P到OA的距离，PN是点P到OB的距离。
∵ $PM=PN$，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴ 点P在$∠ AOB$的平分线上，即OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOB=2∠ BOC$。
又
∵ $∠ BOC=30°$，
∴ $∠ AOB=2×30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题，重点考查角平分线判定定理的直接应用，解题的关键是明确“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，结合已知角度即可快速求解，注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形和已知条件：PM垂直于OA，PN垂直于OB，说明PM、PN分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离，已知PM=PN，根据角平分线的判定定理可推出OC是∠AOB的角平分线，再结合∠BOC的度数，即可求出∠AOB的大小。
【解析】
由图可得：$PM⊥ OA$，$PN⊥ OB$，即PM是点P到OA的距离，PN是点P到OB的距离。
∵ $PM=PN$，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴ 点P在$∠ AOB$的平分线上，即OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOB=2∠ BOC$。
又
∵ $∠ BOC=30°$，
∴ $∠ AOB=2×30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是基础题，重点考查角平分线判定定理的直接应用，解题的关键是明确“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，结合已知角度即可快速求解，注意区分角平分线的性质和判定的适用场景。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在平面内画∠AOB,在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE,过点D作OD的垂线,过点E作OE的垂线.若两条垂线相交于点P,则点P在∠DOE的平分线上吗?为什么？
答案
3. 解 点P在∠DOE的平分线上，
理由:
∵OD⊥PD,OE⊥PE,OD=OE，
∴PO平分∠DPE，
即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD,PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，
即点P在∠DOE的平分线上.
理由:
∵OD⊥PD,OE⊥PE,OD=OE，
∴PO平分∠DPE，
即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD,PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，
即点P在∠DOE的平分线上.
解析
【分析】
要判断点P是否在∠DOE的平分线上，只需证明OP平分∠DOE，也就是证明∠DOP=∠EOP。首先结合已知条件：PD垂直OD、PE垂直OE，可得OD是点O到PD的距离，OE是点O到PE的距离，又已知OD=OE，可先推出OP平分∠DPE，得到∠DPO=∠EPO，再利用直角三角形两锐角互余的性质，就能推出∠DOP=∠EOP，从而得出结论。
【解析】
点P在∠DOE的平分线上，理由如下：
∵OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴PO平分∠DPE，
即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【答案】
点P在∠DOE的平分线上，理由见解析。
【知识点】
角平分线的判定、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查角平分线判定的应用，解题的关键是结合已知条件推导角相等，进而判断点是否在角平分线上，需要熟练掌握角平分线的判定定理和垂直、余角的相关性质。
【难度系数】
0.8
要判断点P是否在∠DOE的平分线上，只需证明OP平分∠DOE，也就是证明∠DOP=∠EOP。首先结合已知条件：PD垂直OD、PE垂直OE，可得OD是点O到PD的距离，OE是点O到PE的距离，又已知OD=OE，可先推出OP平分∠DPE，得到∠DPO=∠EPO，再利用直角三角形两锐角互余的性质，就能推出∠DOP=∠EOP，从而得出结论。
【解析】
点P在∠DOE的平分线上，理由如下：
∵OD⊥PD，OE⊥PE，OD=OE，
∴PO平分∠DPE，
即∠DPO=∠EPO，
∵DP⊥OD，PE⊥OE，
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO，
即∠DOP=∠EOP，
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上。
【答案】
点P在∠DOE的平分线上，理由见解析。
【知识点】
角平分线的判定、余角的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查角平分线判定的应用，解题的关键是结合已知条件推导角相等，进而判断点是否在角平分线上，需要熟练掌握角平分线的判定定理和垂直、余角的相关性质。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$, $DC = BC$. 求证:点C在$∠ DAB$的平分线上.
答案
4. 证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线,垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
解析
【分析】
要证明点C在∠DAB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠DAB的两边AD、AB的距离相等即可。首先过点C作AD、AB的垂线段CF、CE，接下来结合已知条件∠ADC+∠ABC=180°，利用邻补角的性质可推出∠ABC=∠CDF，再结合已知DC=BC和两个直角相等，即可证明△CBE和△CDF全等，由全等性质得CF=CE，满足角平分线的判定条件即可得证。
【解析】
证明：如图，作CE垂直AB，CF垂直AD的延长线，垂足分别为E、F，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°（邻补角的定义），
∴∠ABC=∠CDF（同角的补角相等），
在△CBE和△CDF中：
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC \\ ∠BEC=∠DFC \\ BC=DC \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC（全等三角形对应边相等），
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴点C在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线,垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
【知识点】
1.角平分线的判定
2.全等三角形的判定与性质
3.补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题核心是通过作垂线段构造全等三角形，将证明点在角平分线上的问题转化为证明两条垂线段相等的问题，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理，体会几何证明中的转化思想。
【难度系数】
0.6
要证明点C在∠DAB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到∠DAB的两边AD、AB的距离相等即可。首先过点C作AD、AB的垂线段CF、CE，接下来结合已知条件∠ADC+∠ABC=180°，利用邻补角的性质可推出∠ABC=∠CDF，再结合已知DC=BC和两个直角相等，即可证明△CBE和△CDF全等，由全等性质得CF=CE，满足角平分线的判定条件即可得证。
【解析】
证明：如图，作CE垂直AB，CF垂直AD的延长线，垂足分别为E、F，
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°（邻补角的定义），
∴∠ABC=∠CDF（同角的补角相等），
在△CBE和△CDF中：
$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC \\ ∠BEC=∠DFC \\ BC=DC \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC（全等三角形对应边相等），
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴点C在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线,垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF.
在△CBE和△CDF中,$\begin{cases} ∠EBC=∠FDC, \\ ∠BEC=∠DFC, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴△CBE≌△CDF(AAS)，
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.
【知识点】
1.角平分线的判定
2.全等三角形的判定与性质
3.补角的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用题型，解题核心是通过作垂线段构造全等三角形，将证明点在角平分线上的问题转化为证明两条垂线段相等的问题，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理，体会几何证明中的转化思想。
【难度系数】
0.6
5.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.
答案
5. 证明 过点C作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,如图，
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE=S△NOD,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE，
∴MD=NE，
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上.
解析
【分析】
要证明点C在∠AOB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OA、OB的距离相等，因此先过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，目标转化为证明CG=CF。首先利用已知的OM=ON、公共角∠MOE=∠NOD、OE=OD，可证△MOE≌△NOD，得到两个三角形面积相等，减去公共部分四边形ODCE的面积后，可得△MDC和△NEC面积相等；再由OM-OD=ON-OE推出MD=NE，两个三角形等底、面积相等，因此对应高CG、CF相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F。
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD（SAS），
∴$S_{△ MOE}=S_{△ NOD}$，
两个三角形同时减去公共部分四边形ODCE的面积，可得$S_{△ MDC}=S_{△ NEC}$。
∵OM=ON，OD=OE，
∴OM-OD=ON-OE，即MD=NE，
△MDC以MD为底时高为CG，△NEC以NE为底时高为CF，两个三角形面积相等、底相等，因此对应高相等，即CG=CF。
又
∵CG⊥OA，CF⊥OB，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点C在∠AOB的平分线上。
【答案】
证明 过点C作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,如图，
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE=S△NOD,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE，
∴MD=NE，
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将全等三角形的性质与角平分线的判定相结合，解题的关键是灵活运用面积法推导两条垂线段相等，这种方法在涉及距离、等底等高的几何证明中十分常用，要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.6
要证明点C在∠AOB的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点C到OA、OB的距离相等，因此先过点C作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，目标转化为证明CG=CF。首先利用已知的OM=ON、公共角∠MOE=∠NOD、OE=OD，可证△MOE≌△NOD，得到两个三角形面积相等，减去公共部分四边形ODCE的面积后，可得△MDC和△NEC面积相等；再由OM-OD=ON-OE推出MD=NE，两个三角形等底、面积相等，因此对应高CG、CF相等，即可完成证明。
【解析】
证明：过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F。
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD（SAS），
∴$S_{△ MOE}=S_{△ NOD}$，
两个三角形同时减去公共部分四边形ODCE的面积，可得$S_{△ MDC}=S_{△ NEC}$。
∵OM=ON，OD=OE，
∴OM-OD=ON-OE，即MD=NE，
△MDC以MD为底时高为CG，△NEC以NE为底时高为CF，两个三角形面积相等、底相等，因此对应高相等，即CG=CF。
又
∵CG⊥OA，CF⊥OB，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点C在∠AOB的平分线上。
【答案】
证明 过点C作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,如图，
在△MOE和△NOD中，
$\begin{cases} OM=ON, \\ ∠MOE=∠NOD, \\ OE=OD, \end{cases}$
∴△MOE≌△NOD(SAS)，
∴S△MOE=S△NOD,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE，
∴MD=NE，
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB，
∴点C在∠AOB的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将全等三角形的性质与角平分线的判定相结合，解题的关键是灵活运用面积法推导两条垂线段相等，这种方法在涉及距离、等底等高的几何证明中十分常用，要熟练掌握这种解题技巧。
【难度系数】
0.6
