综合与实践
勾股定理与最短路径问题

【课本再现】
如图①,有一个圆柱,它的高为12 cm,底面圆的周长为18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物,这只蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路径长为多少?
【方法探究】
（1）对于立体图形中求最短路径长问题,应先把立体图形展开成平面图形,再确定A,B两点的位置,依据“两点之间线段最短”,结合勾股定理,解决相应的问题.如图②,在圆柱的侧面展开图中,A,B两点对应的位置如图所示,利用勾股定理求出这只蚂蚁爬行的最短路径长为________ cm；
【方法应用】
（2）如图③,直四棱柱的上、下底面是正方形,底面边长为3 cm,高为10 cm.在其侧面从点E开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点G停止,求彩条的最短长度；
（3）如图④,圆柱形玻璃杯底面周长为30 cm,高为35 cm,杯底厚1 cm.在玻璃杯外壁距杯口2 cm的点P处有一只蚂蚁,与蚂蚁相对的内壁底部点Q处有一滴蜂蜜,蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜,求这只蚂蚁爬行的最短路径长(玻璃杯的壁厚忽略不计).

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; 解：​$ (2)$​将图​$③$​的侧面沿高展开，如图① 由题意可知，彩条的最短长度是指侧面展开图中线段​$EG $​的长∵直四棱柱的上、下底面是正方形，底面边长为​$3\ \mathrm {cm}，$​绕侧面两周，∴​$EF = 3×4×2 = 24(\mathrm {cm})$​又∵高​$FG = 10\ \mathrm {cm}。$​在​$Rt\triangle EFG $​中，可得​$EG=\sqrt {EF^2+FG^2}=\sqrt {24^2 + 10^2}=26(\mathrm {cm})$​​$ $​则彩条的最短长度为​$26\ \mathrm {cm}$​
​$ (3)$​将图​$④$​的侧面沿高展开，如图②​$ $​作点​$P $​关于直线​$MN$​的对称点​$P'，$​过点​$Q $​作​$QS\perp MS $​于点​$S，$​连接​$P'Q，$​​$MP$​则​$∠P'SQ = 90°，$​​$P'，$​​$M，$​​$P $​三点共线∴该蚂蚁爬行的最短路径长是线段​$P'Q $​的长 由题意得，​$SQ=\frac 12×30 = 15(\mathrm {cm})，$​​$MP' = MP = 2\ \mathrm {cm}，$​​$MS= 35 - 1 = 34(\mathrm {cm})$​∴​$P'S = MP' + MS = 2 + 34 = 36(\mathrm {cm})$​​$ $​在​$Rt\triangle P'SQ $​中，可得​$P'Q=\sqrt {P'S^2+SQ^2}=\sqrt {36^2 + 15^2}=39(\mathrm {cm})$​​$ $​则这只蚂蚁爬行的最短路径长为​$39\ \mathrm {cm}$​