1. 已知小明用31个相同的结把一根绳子分成等长的30段，他一只手同时握住第1个结和第31个结，小红拉住第6个结.若拉紧绳子后得到一个直角三角形，则小东拉的绳结可以是（ ）
A. 第20个
B. 第18个
C. 第17个
D. 第16个

B

2. 如图, 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt} △ BDE$ 中, $∠ ABC=∠ BDE=90°, A$ 是边 $D E$ 的中点. 若 $A B=B C, D B=D E=2$, 连接 $C E$,则 $C E$ 的长为
A. $\sqrt{14}$
B. $\sqrt{15}$
C. 4
D. $\sqrt{17}$

D

3. 如图是勾股树衍生图案，它是由若干个正方形和直角三角形构成的，$S_1,S_2,S_3,S_4$分别表示其对应正方形的面积.若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64,9，则$S_1 - S_2 + S_3 - S_4$的值为$\underline{\hspace{5em}}$.

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4. 如图,线段$AB=10$,D 是线段 AB 上的一个动点(不与点 A 重合),在 AB 的上方作以 AD 为腰的等腰三角形 ACD,且$∠ CAD=120°$,过点 D 作射线 $DP ⊥ CD$,G 是 DP 上的一个动点(不与点 D 重合),连接 CG,O 为 CG 的中点,连接 OB.若线段 OB 的长的最小值为 m,则 $m^2=$ ______.

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5. 如图，$AB=1$，以$AB$为斜边作直角三角形$ABC$，以$△ ABC$的各边为边分别向外作正方形，$EM ⊥ KH$于点$M$，$GN ⊥ KH$于点$N$，则图中阴影部分面积之和的最大值为______．

$\frac{5}{4}$

6. 新素养 推理能力 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°,AB=20,BC=15,D$ 为边$AC$上的动点,点$D$从点$C$出发,沿$CA$向点$A$运动,当运动到点$A$时停止.若设点$D$运动的时间为$t$秒,点$D$运动的速度为每秒2个单位长度.
(1) 当$t=2$时,求$CD,AD$的长;
(2) 在点$D$的运动过程中,$△ CBD$能否为直角三角形?若能,请求出$t$的值;若不能,请说明理由;
(3) 当$t$为何值时,$△ CBD$是等腰三角形?

解：​$(1)$​由题意，得​$CD = 2t$​在​$Rt\triangle ABC$​中，​$AB = 20，$​​$BC = 15$​由勾股定理得​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=\sqrt {20^2+15^2} = 25$​∴​$AD = AC - CD = 25 - 2t$​当​$t = 2$​时，​$CD = 4，$​​$AD = 21$​​$(2)$​能，∵​$∠C＜90°$​∴当​$\triangle CBD$​为直角三角形时，有​$∠CBD = 90°$​或​$∠CDB = 90°$​两种情况​$① $​若​$∠CDB = 90°，$​则​$S_{\triangle ABC}=\frac 12BD·AC=\frac 12\ \mathrm {A}B·BC$​由​$(1)$​得​$CD = 2\ \mathrm {t}，$​​$AC = 25，$​且​$AB = 20，$​​$BC = 15$​∴​$BD=\frac {AB·BC}{AC}=\frac {20×15}{25}=12$​​$ $​在​$Rt\triangle BCD$​中，由勾股定理，得​$CD^2+BD^2=BC^2$​∴​$(2\ \mathrm {t})^2+12^2=15^2，$​解得​$t = 4.5($​负值已舍去​$)$​​$② $​若​$∠CBD = 90°，$​则​$A，$​​$D$​两点重合∴​$2t = 25，$​解得​$t = 12.5$​综上，​$t $​的值为​$4.5$​或​$12.5$​​$(3)$​由​$(1)，$​得​$CD = 2\ \mathrm {t}$​过点​$B$​作​$BE\perp AC$​于点​$E$​​$ $​同​$(2)，$​得​$BE = 12$​在​$Rt\triangle BCE$​中，由勾股定理，得​$CE=\sqrt {BC^2-BE^2}=\sqrt {15^2-12^2} = 9$​∵​$\triangle CBD$​是等腰三角形∴有​$BC = BD$​或​$BC = CD$​或​$BD = CD$​三种情况​$① $​当​$BC = BD$​时，​$CD = 2CE$​∴​$2t = 2×9，$​解得​$t = 9$​​$② $​当​$BC = CD$​时，​$2t = 15，$​解得​$t = 7.5$​​$③ $​当​$BD = CD$​时，​$BD = 2t，$​​$DE = 2t - 9$​在​$Rt\triangle BDE$​中，由勾股定理，得​$BE^2+DE^2=BD^2$​∴​$12^2+(2t - 9)^2=(2t)^2，$​解得​$t = 6.25$​ 综上，当​$t $​的值为​$9$​或​$7.5$​或​$6.25$​时，​$\triangle CBD$​是等腰三角形