1. 新素养 几何直观（2025·江苏苏州模拟）如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，$E$为边$AB$上一点，$AE=3$，$D$为边$BC$的中点，连接$AD$，$F$为线段$AD$上的动点，连接$FE$，$FB$，则$FE+FB$的最小值为______．

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2. 如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图②是一个以c为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.
（1）画出拼成的这个图形的示意图,并指出它是什么图形；
（2）用这个图形证明勾股定理；
（3）假设图①中的直角三角形有若干个,你能运用图①中的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼成的示意图（无需证明）.

解：​$(1)$​如图​$①，$​这是一个直角梯形​$(2)$​根据梯形的面积公式可知该梯形的面积​$S_{1} = \frac 12(a + b)(a + b)=\frac 12(a^2+2ab + b^2)$​​$=\frac 12a^2+\frac 12b^2+ab$​又该梯形的面积等于三个小直角三角形面积的和∴​$S_{2}=\frac 12ab+\frac 12ab+\frac 12c^2=ab+\frac 12c^2$​∵​$S_{1} = S_{2}$​∴​$\frac 12a^2+\frac 12b^2+ab=ab+\frac 12c^2$​即​$a^2+b^2=c^2$​​$(3)$​能，如图②，用​$4$​个题图​$①$​中的直角三角形拼成一个大正方形

3. 亮点原创·如图,网格中每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D,E五点都在格点上,则$∠AED - ∠ACB$的度数为 ( )

A. $45°$
B. $40°$
C. $30°$
D. $25°$

A

4. 如图,在$△ ABC$中,$AC=21,BC=13,D$是边$AC$上一点,$BD=12,AD=16$.
(1) 求证:$BD ⊥ AC$;
(2) 若$E$是边$AB$上的点,求线段$DE$的长的最小值.

​$(1)$​证明：∵​$AC = 21，$​​$AD = 16$​∴​$CD=AC - AD = 5$​又​$BC = 13，$​​$BD = 12$​∴​$BD^2+CD^2=169，$​​$BC^2=169，$​即​$BD^2+CD^2=BC^2$​∴​$\triangle BCD$​是直角三角形，且​$∠BDC = 90°，$​即​$BD\perp AC$​​$(2)$​解：由​$(1)$​得​$BD\perp AC，$​∴​$∠ADB = 90°$​在​$Rt\triangle ABD$​中，​$AD = 16，$​​$BD = 12$​由勾股定理，得​$AB=\sqrt {AD^2+BD^2} = 20$​又​$E$​是边​$AB$​上一点∴当​$DE\perp AB$​时，​$DE$​的长最小，此时​$DE$​是​$\triangle ADB$​边​$AB$​上的高∵​$S_{\triangle ABD}=\frac 12\ \mathrm {A}D·BD=\frac 12\ \mathrm {A}B·DE$​∴​$DE=\frac {AD·BD}{AB}=9.6$​∴线段​$DE$​的长的最小值为​$9.6$​

5. (2025·江苏南京期末)如图,学校有一个长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了几步路,却踩伤了花草.他们少走的路长为 ______ m.

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6. (2025·江苏苏州模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=9$,$AC=12$,$BC=15$.将$△ ABC$沿射线$BM$折叠,使点$A$与边$BC$上的点$D$重合,$E$为射线$BM$上一个动点,连接$DE$,$CE$,当$△ CDE$的周长最小时,$CE$的长为$\underline{\hspace{3em}}$.

$\frac{15}{2}$