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探寻“勾股数”
勾股定理是一个基本的几何定理.《周髀算经》中记载：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即“勾三股四弦五”的由来.故中国古代称直角三角形为勾股形，勾股定理也由此命名.
与直角三角形三条边长对应的3个正整数$(a,b,c)$，称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如：$(6,8,10),(9,12,15),(12,16,20)$等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如：$(5,12,13),(8,15,17)$等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数$(a,b,c)$才能满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$？设$(a,b,c)$为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1
表2
（1）根据表1的规律写出勾股数:$(11,$______$, $______$)$,观察可得:表1中$b、c$与$a^2$之间的关系是________;
（2）根据表2的规律写出勾股数:$(16,$______$, $______$)$,观察可得:表2中$b、c$与$a^2$之间的关系是________;
（3）老师告诉小明一组勾股数,但他回家后只记得其中最大的数是145,你知道这组勾股数可能是多少吗(请用勾股定理的形式直接写出一种结果即可,例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$)?
勾股定理是一个基本的几何定理.《周髀算经》中记载：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”，即“勾三股四弦五”的由来.故中国古代称直角三角形为勾股形，勾股定理也由此命名.
与直角三角形三条边长对应的3个正整数$(a,b,c)$，称为勾股数.《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”的“3,4,5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如：$(6,8,10),(9,12,15),(12,16,20)$等都是勾股数.当然，勾股数远远不止这些，如：$(5,12,13),(8,15,17)$等也都是勾股数.怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数$(a,b,c)$才能满足关系式$a^2 + b^2 = c^2$？设$(a,b,c)$为一组勾股数，观察下表回答问题：
表1
表2
（1）根据表1的规律写出勾股数:$(11,$______$, $______$)$,观察可得:表1中$b、c$与$a^2$之间的关系是________;
（2）根据表2的规律写出勾股数:$(16,$______$, $______$)$,观察可得:表2中$b、c$与$a^2$之间的关系是________;
（3）老师告诉小明一组勾股数,但他回家后只记得其中最大的数是145,你知道这组勾股数可能是多少吗(请用勾股定理的形式直接写出一种结果即可,例如:$3^2 + 4^2 = 5^2$)?
答案
60
; 61
; $a^{2}=b + c$ ; 63
; 65
; $\frac{1}{2}a^{2}=b + c$ ; 解：$(3)$可能是$17^2+144^2=145^2$
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; $a^{2}=b + c$ ; 63
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; $\frac{1}{2}a^{2}=b + c$ ; 解：$(3)$可能是$17^2+144^2=145^2$
