16 (2024福建)如图,点A,B在$\odot O$上,$∠ AOB=72°$,直线MN与$\odot O$相切,切点为C,且C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$等于 ( )
A. $18°$
B. $30°$
C. $36°$
D. $72°$

A

17（2024 常州溧阳期中）如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的点，$∠ CDB=24°$，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点E，则$∠ E=$______．

$42^{\circ}$

18 (2024扬州邗江月考)如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=4$,$AB=5$,$D$是$AC$上一点,$E$是$BC$上一点,$DE=3$,若以$DE$为直径的圆交$AB$于点$M$,$N$,则$MN$的最大值为______.

$\frac{12}{5}$

19 (2024 镇江句容期中)如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$AB$为$\odot O$的直径,$AC$与$\odot O$相交于点$D$,过点$D$作$DE⊥ BC$于点$E$,$CB$的延长线交$\odot O$于点$F$.
(1) 求证:$DE$为$\odot O$的切线;
(2) 若$BE=1$,$BF=2$,求$AD$的长.

​$ (1)$​证明：∵​$OA = OD，$​∴​$∠A=∠ADO$​∵​$AB = BC，$​∴​$∠A=∠C，$​∴​$∠ADO=∠C$​∴​$OD// BC$​∵​$DE\perp BC，$​∴​$DE\perp OD$​∵​$OD$​是​$\odot O$​的半径∴​$DE$​是​$\odot O$​的切线​$ (2)$​解：如图，过点​$O$​作​$OH\perp CF $​于点​$H$​则​$∠ODE=∠DEH=∠OHE = 90°$​∴四边形​$ODEH$​是矩形∴​$OD = EH，$​​$OH = DE$​∵​$OF = OB，$​∴​$BH = FH = 1$​∴​$OD = EH = 2$​∴​$AB = 2OD = 4，$​​$OH=\sqrt {OB^2-BH^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt 3$​∴​$DE = OH=\sqrt 3$​∴​$BD=\sqrt {DE^2+BE^2}=\sqrt {(\sqrt 3)^2+1^2} = 2$​∴​$AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=\sqrt {4^2-2^2} = 2\sqrt 3$​ ;

20 如图，$\odot O$为$\mathrm{Rt}△ ABC$的内切圆，$∠ C=90°$，$AO$的延长线交$BC$于点$D$，若$AC=4$，$CD=1$，则$BD$的长为______。

$\frac{17}{15}$