10（2024 扬州江都月考）如图1，若C，D是半圆ACB上的两点，P是直径AB上的一点，且满足∠APC=∠BPD，则称∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”．
（1）如图2，若弦$CE⊥AB$，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”；
（2）如图3，若直径$AB=6$，弦$CE⊥AB$，$\overset{\frown}{CD}$的“相望角”为$90°$，求CD的长．

; ​$(1)$​证明：∵​$AB$​是直径，弦​$CE\perp AB$​∴​$AB$​垂直平分​$CE，$​∴​$∠AP C=∠APE$​∵​$∠APE=∠BP D，$​∴​$∠AP C=∠BP D$​∴​$∠CP D$​是​$\widehat {CD}$​的​$“$​相望角​$”$​​$(2)$​解：由题意知，​$∠CP D$​是​$\widehat {CD}$​的​$“$​相望角​$”，$​​$∠CP D = 90°$​∴​$∠CPE = 90°$​∵直径​$AB = 6，$​弦​$CE\perp AB，$​∴​$∠PEC=∠P CE = 45°$​如图，记圆心为​$O，$​连接​$OC，$​​$OD，$​则​$OC = OD=\frac 12\ \mathrm {A}B = 3$​易得​$∠COD = 2∠PEC = 90°$​在​$Rt\triangle COD$​中，由勾股定理，得​$CD=\sqrt {OC^2+OD^2}=\sqrt {3^2+3^2} = 3\sqrt 2$​∴​$CD$​的长为​$3\sqrt 2$​

11（2024镇江期中）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(0,3)$，$B(2,1)$，$C(2,-3)$，则经画图操作可知$△ ABC$的外心坐标应是（ ）
A. $(-2,-2)$
B. $(-2,-1)$
C. $(-1,-2)$
D. $(-1,-1)$

（第11题）

（第13题）

（第14题）

（第15题）

B

12（2024 扬州宝应月考）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=3$，$BC=4$，则它的外接圆的半径为______．

$\frac{5}{2}$或$2$

13 (2024 盐城东台月考)如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ A=45°$，$BC=3$，则$\odot O$的直径为______．

$3\sqrt{2}$

14 (2024南京月考)如图，$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形，$∠ A=30°$，$BC=\sqrt{2}$，把$△ ABC$绕点$O$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ BED$，则对应点$C,D$之间的距离为______。

$2$

15（2024无锡宜兴期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=\sqrt{3}$，$△ ABC$的外接圆$\odot O$的半径为3，$D$是边$BC$的延长线上一点，连接$AD$，交$\odot O$于点$E$，连接$CE$。若$△ CED$为等腰三角形，则线段$BD$的长度为$\underline{\hspace{5em}}$。

$6$或$6\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$