8. (★★)已知$∠ AOB=40°$, $OD$是$∠ BOC$的平分线.
(1)如图①,当$∠ AOB$与$∠ BOC$互补时,求$∠ COD$的度数;
(2)如图②,当$∠ AOB$与$∠ BOC$互余时,求$∠ COD$的度数.

解：
(1) 因为∠AOB与∠BOC互补，
所以∠AOB + ∠BOC = 180°。
已知∠AOB = 40°，
所以∠BOC = 180° - 40° = 140°。
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×140° = 70°。
(2) 因为∠AOB与∠BOC互余，
所以∠AOB + ∠BOC = 90°。
已知∠AOB = 40°，
所以∠BOC = 90° - 40° = 50°。
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠COD = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
答：(1) ∠COD的度数为70°；(2) ∠COD的度数为25°。

【分析】
本题分为两小问，解题思路统一：首先根据两角互补（和为180°）、互余（和为90°）的定义，结合已知的∠AOB的度数，求出∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，角平分线会把一个角分成两个大小相等的角，可知∠COD是∠BOC的一半，代入∠BOC的数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 因为∠AOB与∠BOC互补，根据互补的定义可得：
$∠ AOB + ∠ BOC = 180°$
已知$∠ AOB=40°$，代入得：
$∠ BOC = 180° - 40° = 140°$
因为OD是$∠ BOC$的平分线，根据角平分线的定义：
$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
(2) 因为∠AOB与∠BOC互余，根据互余的定义可得：
$∠ AOB + ∠ BOC = 90°$
已知$∠ AOB=40°$，代入得：
$∠ BOC = 90° - 40° = 50°$
因为OD是$∠ BOC$的平分线，根据角平分线的定义：
$∠ COD = \frac{1}{2}∠ BOC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$
【答案】
(1) $∠ COD=70°$；(2) $∠ COD=25°$
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角平分线的定义
【点评】
本题是角的计算类基础题，主要考查余角、补角的概念和角平分线的性质，解题的关键是准确掌握互余、互补的数量关系，结合角平分线的等分特征进行计算，是巩固角的基础运算的典型习题。
【难度系数】
0.8

9. (★)已知一个角的补角是它的余角的4倍,则这个角的度数是 【 】

A.30°
B.45°
C.60°
D.67.5°

C

【分析】
要解决这道题，我们可以通过设未知数列方程的方法求解：首先回忆余角和补角的定义，若设这个角的度数为x，那么它的余角就是90°减去x，补角就是180°减去x；再根据题干给出的“补角是余角的4倍”这一等量关系，列出一元一次方程，最后解方程就能得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$ x $。
根据余角和补角的定义可知：
这个角的余角为$ 90° - x $，补角为$ 180° - x $。
由题意“补角是它的余角的4倍”，可列方程：
$ 180° - x = 4×(90° - x) $
展开等号右侧得：
$ 180° - x = 360° - 4x $
移项合并同类项：
$ 4x - x = 360° - 180° $
$ 3x = 180° $
解得：
$ x = 60° $
所以这个角的度数是60°，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的核心是准确掌握余角和补角的数量关系，结合方程思想即可快速求解，注意不要混淆余角和补角对应的角度和。
【难度系数】
0.8

10. (★★)若$∠α$与$∠β$互补($∠α ＜ ∠β$)，则$∠α$与$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$的关系是 【 】

A.互补
B.互余
C.和为$45°$
D.和为$22.5°$

B

【分析】
首先根据已知条件∠α与∠β互补，回忆补角的定义可得∠α+∠β=180°。要判断两个角的数量关系，通常先计算两角的和，再对照互余、互补的定义判断。因此我们先计算∠α与$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$的和，再结合补角的性质化简即可得出结论。
【解析】
解：
∵∠α与∠β互补，
∴∠α + ∠β = 180°，
将∠α与$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$求和，得：
$\begin{aligned}∠α + \frac{1}{2}(∠β - ∠α) &= ∠α + \frac{1}{2}∠β - \frac{1}{2}∠α \\&= \frac{1}{2}∠α + \frac{1}{2}∠β \\&= \frac{1}{2}(∠α + ∠β)\end{aligned}$
把∠α + ∠β = 180°代入上式，得：
$\frac{1}{2}×180° = 90°$
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互余，因此∠α与$\frac{1}{2}(∠β - ∠α)$互余。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；余角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是角的关系基础题，解题核心是利用补角的性质对待求两角的和进行转化化简，结合余角的定义即可判断结果，熟练掌握角的相关概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

11. (★★)若∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，且∠1=140°，则∠3等于【 】

A.40°
B.130°
C.50°
D.140°

C

【分析】
解题时先明确余角、补角的定义：如果两个角的和为180°，则这两个角互补；如果两个角的和为90°，则这两个角互余。我们可以先利用∠1与∠2互补的关系，代入已知的∠1的度数求出∠2，再利用∠2与∠3互余的关系求出∠3的度数即可。
【解析】
因为∠1与∠2互补，根据补角的定义可得：
$∠1 + ∠2 = 180°$
已知$∠1=140°$，代入得：
$∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°$
又因为∠2与∠3互余，根据余角的定义可得：
$∠2 + ∠3 = 90°$
将$∠2=40°$代入得：
$∠3 = 90° - ∠2 = 90° - 40° = 50°$
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；余角的定义
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对余角、补角定义的理解和简单运算，只要牢记两类角的数量关系，按步骤计算就能得出正确结果，注意不要混淆互余和互补的角度和。
【难度系数】
0.8

12. (★★★)如图①,直角三角尺的直角顶点O在直线AB上,OC,OD是三角尺的两条直角边,OE平分∠AOD.

(1)①若∠COE=20°,则∠BOD的度数为;
②若∠COE=α,则∠BOD的度数为(用含α的式子表示).
(2)当三角尺绕点O逆时针旋转到图②的位置时,其他条件不变,试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系,并说明理由.

(1)① $\boldsymbol{40°}$；② $\boldsymbol{2α}$；(2) $\boldsymbol{∠ BOD=2∠ COE}$，理由如上。

【分析】
解题前先明确已知条件：直角三角尺的直角∠COD=90°，点O在直线AB上则∠AOB=180°（平角），OE平分∠AOD即∠AOD=2∠DOE。
求解第(1)问时，先由∠COD和∠COE的差求出∠DOE，再结合角平分线的性质得到∠AOD，最后用平角的定义计算∠BOD；第(2)问沿用相同的角的和差逻辑，把具体数值替换为角的符号，推导即可得到∠COE和∠BOD的数量关系。
【解析】
(1)①
∵∠COD=90°，∠COE=20°
∴∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-20°=70°
∵OE平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=2×70°=140°
∵∠AOB=180°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-140°=40°
② 若∠COE=α，同理可得：
∠DOE=90°-α，∠AOD=2(90°-α)=180°-2α
∴∠BOD=180°-(180°-2α)=2α
(2) 猜测$\boldsymbol{∠BOD=2∠COE}$，理由如下：
∵∠COD=90°
∴∠DOE=∠COD - ∠COE=90°-∠COE
∵OE平分∠AOD
∴∠AOD=2∠DOE=2(90°-∠COE)=180°-2∠COE
又
∵∠AOB=180°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-(180°-2∠COE)=2∠COE
【答案】
(1)①$\boldsymbol{40°}$；②$\boldsymbol{2α}$；(2)$\boldsymbol{∠BOD=2∠COE}$
【知识点】
角平分线的定义；平角的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的运算与角平分线性质的综合应用，解题核心是抓住图形中不变的直角、平角以及角平分线的等量关系，通过角的转化推导未知角的度数或关系，有助于锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65