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1. 可以判定$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的条件是（
A.$∠ A = ∠ A'$
B.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$，且$∠ C = ∠ C'$
C.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$
D.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$，且$∠ B = ∠ B'$
C
）。A.$∠ A = ∠ A'$
B.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$，且$∠ C = ∠ C'$
C.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$
D.$\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'}$，且$∠ B = ∠ B'$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查相似三角形的判定，解题时首先回忆相似三角形的常用判定定理：①两角分别对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似。接下来逐一验证各选项是否满足上述判定条件即可：只有单个角相等的选项缺少其他条件，无法判定相似；给出两边成比例加一组角相等的选项，需验证这组角是否为成比例的两组边的夹角，若不是则不符合判定要求；给出三组对应边成比例的选项，直接符合三边判定的条件。
【解析】
结合相似三角形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：仅给出一组对应角∠A=∠A'，无其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
2. 选项B：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，这两组边的夹角为∠A和∠A'，但已知相等的角是∠C=∠C'，不是两边的夹角，不符合“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件，无法判定相似，故B错误；
3. 选项C：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，即三组对应边的比相等，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可判定△ABC∽△A'B'C'，故C正确；
4. 选项D：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，这两组边的夹角为∠A和∠A'，但已知相等的角是∠B=∠B'，不是两边的夹角，不符合判定条件，无法判定相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对相似三角形判定定理的掌握，易错点是使用“两边成比例且角相等”的判定规则时，忽略该角必须是成比例的两边的夹角。
【难度系数】
0.8
本题考查相似三角形的判定，解题时首先回忆相似三角形的常用判定定理：①两角分别对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似。接下来逐一验证各选项是否满足上述判定条件即可：只有单个角相等的选项缺少其他条件，无法判定相似；给出两边成比例加一组角相等的选项，需验证这组角是否为成比例的两组边的夹角，若不是则不符合判定要求；给出三组对应边成比例的选项，直接符合三边判定的条件。
【解析】
结合相似三角形的判定定理逐一分析选项：
1. 选项A：仅给出一组对应角∠A=∠A'，无其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法判定两个三角形相似，故A错误；
2. 选项B：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，这两组边的夹角为∠A和∠A'，但已知相等的角是∠C=∠C'，不是两边的夹角，不符合“两边对应成比例且夹角相等”的判定条件，无法判定相似，故B错误；
3. 选项C：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，即三组对应边的比相等，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，可判定△ABC∽△A'B'C'，故C正确；
4. 选项D：给出$\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$，这两组边的夹角为∠A和∠A'，但已知相等的角是∠B=∠B'，不是两边的夹角，不符合判定条件，无法判定相似，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查对相似三角形判定定理的掌握，易错点是使用“两边成比例且角相等”的判定规则时，忽略该角必须是成比例的两边的夹角。
【难度系数】
0.8
2. 已知一个三角形三边的长分别为6 cm,9 cm,7.5 cm,另一个三角形三边的长分别为8 cm,10 cm,12 cm。试判断这两个三角形是否相似,并说明理由。
答案
2. 相似。理由：$\frac{7.5}{10}=\frac{9}{12}=\frac{6}{8}$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可运用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题时首先将两个三角形的三边按同一顺序（从小到大或从大到小）排列，确定对应边，再分别计算三组对应边的比值，若三个比值相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
1. 先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列：
第一个三角形三边：6 cm，7.5 cm，9 cm；
第二个三角形三边：8 cm，10 cm，12 cm。
2. 计算三组对应边的比值：
$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，$\frac{7.5}{10}=\frac{3}{4}$，$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，
可得$\frac{6}{8}=\frac{7.5}{10}=\frac{9}{12}$，即两个三角形三边对应成比例。
3. 根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此这两个三角形相似。
【答案】
相似。理由：$\frac{7.5}{10}=\frac{9}{12}=\frac{6}{8}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先将两个三角形的边长按相同顺序排序，找准对应边后再计算比值，避免因对应边匹配错误出现误判。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，可运用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题时首先将两个三角形的三边按同一顺序（从小到大或从大到小）排列，确定对应边，再分别计算三组对应边的比值，若三个比值相等，则两个三角形相似，反之则不相似。
【解析】
1. 先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列：
第一个三角形三边：6 cm，7.5 cm，9 cm；
第二个三角形三边：8 cm，10 cm，12 cm。
2. 计算三组对应边的比值：
$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，$\frac{7.5}{10}=\frac{3}{4}$，$\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$，
可得$\frac{6}{8}=\frac{7.5}{10}=\frac{9}{12}$，即两个三角形三边对应成比例。
3. 根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，因此这两个三角形相似。
【答案】
相似。理由：$\frac{7.5}{10}=\frac{9}{12}=\frac{6}{8}$。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 比例的化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题核心是先将两个三角形的边长按相同顺序排序，找准对应边后再计算比值，避免因对应边匹配错误出现误判。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在正方形网格中有△A₁B₁C₁ 和△A₂B₂C₂。这两个三角形相似吗？为什么？
(第3题)
(第3题)答案
3. 相似。理由略。
解析
【分析】
要判断网格中的两个三角形是否相似，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先设每个小正方形边长为单位1，利用勾股定理分别计算两个三角形的三条边长，再验证三组对应边的比值是否相等，若比值全部相等则两个三角形相似。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，
1. 计算$△ A_1B_1C_1$的各边长：
$A_1B_1=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$A_1C_1=4$，
$B_1C_1=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$；
2. 计算$△ A_2B_2C_2$的各边长：
$A_2B_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$A_2C_2=2$，
$B_2C_2=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 计算对应边的比值：
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=2$，
可得$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ A_1B_1C_1 ∽ △ A_2B_2C_2$。
【答案】
相似，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
网格中判断三角形相似优先选择三边成比例的判定方法，核心是准确用勾股定理计算各边长度，再验证对应边比值是否相等即可。
【难度系数】
0.7
要判断网格中的两个三角形是否相似，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。首先设每个小正方形边长为单位1，利用勾股定理分别计算两个三角形的三条边长，再验证三组对应边的比值是否相等，若比值全部相等则两个三角形相似。
【解析】
解：设每个小正方形的边长为1，
1. 计算$△ A_1B_1C_1$的各边长：
$A_1B_1=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$A_1C_1=4$，
$B_1C_1=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$；
2. 计算$△ A_2B_2C_2$的各边长：
$A_2B_2=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$A_2C_2=2$，
$B_2C_2=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
3. 计算对应边的比值：
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$，$\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=2$，
可得$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可知$△ A_1B_1C_1 ∽ △ A_2B_2C_2$。
【答案】
相似，理由见解析。
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定
【点评】
网格中判断三角形相似优先选择三边成比例的判定方法，核心是准确用勾股定理计算各边长度，再验证对应边比值是否相等即可。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点F。点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$。
（1）求证:$∠ BAE=∠ CAD$。
（2）试判断$△ ABE$与$△ ACD$是否相似,并说明理由。
（1）求证:$∠ BAE=∠ CAD$。
（2）试判断$△ ABE$与$△ ACD$是否相似,并说明理由。
答案
4. (1) 由已知,得$△ ABC∽△ AED$,则$∠ BAC=∠ EAD$,从而知$∠ BAE=∠ CAD$。
(2) $△ ABE∽△ ACD$。理由略。
(2) $△ ABE∽△ ACD$。理由略。
解析
【分析】
（1）要证明∠BAE=∠CAD，可先推导两个角对应的更大的等角减去公共角得到结论。已知给出三组对应边成比例，符合三边成比例的三角形相似的判定条件，先证△ABC∽△AED得到对应角∠BAC=∠EAD，两个角同时减去公共角∠EAC即可得证。
（2）判断△ABE与△ACD是否相似，在（1）已得∠BAE=∠CAD的基础上，只需推导夹这组角的两边对应成比例即可。对已知的边比例关系变形得到所需比例，结合两边成比例且夹角相等的判定定理即可判断相似。
【解析】
（1）证明：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$，
∴ $∠ BAC = ∠ EAD$，
∴ $∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ BAE = ∠ CAD$。
（2）$△ ABE ∽ △ ACD$，理由如下：
由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$可变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又由（1）已证$∠ BAE = ∠ CAD$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
（1）由已知得$△ ABC∽△ AED$，则$∠ BAC=∠ EAD$，从而$∠ BAE=∠ CAD$；
（2）$△ ABE∽△ ACD$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形模块的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理的应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角、边的关系，能够锻炼几何逻辑推导能力，是同类知识点的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠BAE=∠CAD，可先推导两个角对应的更大的等角减去公共角得到结论。已知给出三组对应边成比例，符合三边成比例的三角形相似的判定条件，先证△ABC∽△AED得到对应角∠BAC=∠EAD，两个角同时减去公共角∠EAC即可得证。
（2）判断△ABE与△ACD是否相似，在（1）已得∠BAE=∠CAD的基础上，只需推导夹这组角的两边对应成比例即可。对已知的边比例关系变形得到所需比例，结合两边成比例且夹角相等的判定定理即可判断相似。
【解析】
（1）证明：
∵ $\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}=\frac{AC}{AD}$，
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ AED$，
∴ $∠ BAC = ∠ EAD$，
∴ $∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAD - ∠ EAC$，即$∠ BAE = ∠ CAD$。
（2）$△ ABE ∽ △ ACD$，理由如下：
由$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$可变形得$\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
又由（1）已证$∠ BAE = ∠ CAD$，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ ABE ∽ △ ACD$。
【答案】
（1）由已知得$△ ABC∽△ AED$，则$∠ BAC=∠ EAD$，从而$∠ BAE=∠ CAD$；
（2）$△ ABE∽△ ACD$。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形模块的基础综合题，核心考查相似三角形判定定理的应用，解题时需要结合已知条件逐步推导角、边的关系，能够锻炼几何逻辑推导能力，是同类知识点的常考题型。
【难度系数】
0.7
