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1. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$。若$∠ BOD=160°$，则$∠ BAD$的度数是(
A.$160°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$20°$
C
)。A.$160°$
B.$100°$
C.$80°$
D.$20°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察待求角∠BAD和已知角∠BOD的位置关系：二者均对应弧BD，其中∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角。结合圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，代入已知圆心角的度数就可以直接计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD是⊙O中弧BD所对的圆心角，∠BAD是⊙O中弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，
已知$∠ BOD=160°$，代入得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}×160°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先观察待求角∠BAD和已知角∠BOD的位置关系：二者均对应弧BD，其中∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠BAD是弧BD所对的圆周角。结合圆周角定理“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，代入已知圆心角的度数就可以直接计算出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD是⊙O中弧BD所对的圆心角，∠BAD是⊙O中弧BD所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BOD$，
已知$∠ BOD=160°$，代入得：
$∠ BAD=\frac{1}{2}×160°=80°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆周角定理的直接应用，解题的关键是准确识别同弧对应的圆心角和圆周角，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连结CA，CB，过点C作AB的垂线，交$\odot O$于点D，连结AD。若$∠ CAB=60°$，则$∠ ADC$的度数是（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）。A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，根据直径所对的圆周角为直角，可得到$△ ABC$是直角三角形，再结合已知$∠ CAB=60°$，利用直角三角形两锐角互余算出$∠ ABC$的度数；最后观察$∠ ADC$与$∠ ABC$的位置，二者都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-60°=30°$。
$\because ∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore$根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ADC=∠ ABC=30°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆的基本性质的应用，解题的核心是找准同弧所对的圆周角，结合直径的圆周角特征即可快速推导结果，要注意熟练掌握圆周角相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“AB是$\odot O$的直径”入手，根据直径所对的圆周角为直角，可得到$△ ABC$是直角三角形，再结合已知$∠ CAB=60°$，利用直角三角形两锐角互余算出$∠ ABC$的度数；最后观察$∠ ADC$与$∠ ABC$的位置，二者都是弧$AC$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，即可求出$∠ ADC$的度数。
【解析】
解：$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ ABC=90°-∠ CAB=90°-60°=30°$。
$\because ∠ ADC$和$∠ ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
$\therefore$根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ADC=∠ ABC=30°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆的基本性质的应用，解题的核心是找准同弧所对的圆周角，结合直径的圆周角特征即可快速推导结果，要注意熟练掌握圆周角相关定理的适用条件。
【难度系数】
0.8
3. 已知，$\odot O$的半径为1，点A，B在$\odot O$上。若$\overset{\frown}{AB}$的度数是$90°$，则弦AB的长为（
A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
B
）。A.1
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆弧的度数的定义：弧的度数等于它所对圆心角的度数，由此可得到∠AOB的度数；再结合圆的半径都相等，可判断△AOB的形状，最后利用勾股定理即可计算出弦AB的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数是$90°$，
∴$∠ AOB=90°$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为1，
∴OA=OB=1，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系；2. 勾股定理；3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了圆的相关基础概念与勾股定理的结合应用，只要熟练掌握弧的度数和圆心角的对应关系，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆弧的度数的定义：弧的度数等于它所对圆心角的度数，由此可得到∠AOB的度数；再结合圆的半径都相等，可判断△AOB的形状，最后利用勾股定理即可计算出弦AB的长度。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵$\overset{\frown}{AB}$的度数是$90°$，
∴$∠ AOB=90°$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，$\odot O$半径为1，
∴OA=OB=1，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系；2. 勾股定理；3. 圆的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，考查了圆的相关基础概念与勾股定理的结合应用，只要熟练掌握弧的度数和圆心角的对应关系，就能快速找到解题思路。
【难度系数】
0.8
4. 扇形的弧长为$12π$ cm，面积为$48π$ cm²，它的半径为(
A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
D
)。A.2 cm
B.4 cm
C.6 cm
D.8 cm
答案
4. D
解析
【分析】
首先明确题目已知条件：扇形弧长l=12π cm，面积S=48π cm²，要求半径r。解题时可以优先选用同时包含弧长、面积、半径的扇形面积公式，避免额外计算圆心角，简化运算步骤：回忆扇形面积的推导公式$S=\frac{1}{2}lr$，将已知量代入公式后变形即可求出半径。
【解析】
设扇形的半径为r cm，已知弧长$l=12π$ cm，面积$S=48π$ cm²。
根据扇形面积与弧长的关系公式：$S=\frac{1}{2}lr$，代入已知数值得：
$48π = \frac{1}{2} × 12π × r$
化简右侧得：$48π = 6π r$
两边同时除以$6π$，解得：$r=8$
因此半径为8 cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于扇形基础计算类题目，核心考查对扇形面积和弧长关联公式的掌握，选择匹配已知条件的公式可大幅提升解题效率，无需额外计算圆心角。
【难度系数】
0.8
首先明确题目已知条件：扇形弧长l=12π cm，面积S=48π cm²，要求半径r。解题时可以优先选用同时包含弧长、面积、半径的扇形面积公式，避免额外计算圆心角，简化运算步骤：回忆扇形面积的推导公式$S=\frac{1}{2}lr$，将已知量代入公式后变形即可求出半径。
【解析】
设扇形的半径为r cm，已知弧长$l=12π$ cm，面积$S=48π$ cm²。
根据扇形面积与弧长的关系公式：$S=\frac{1}{2}lr$，代入已知数值得：
$48π = \frac{1}{2} × 12π × r$
化简右侧得：$48π = 6π r$
两边同时除以$6π$，解得：$r=8$
因此半径为8 cm，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积公式；一元一次方程求解
【点评】
本题属于扇形基础计算类题目，核心考查对扇形面积和弧长关联公式的掌握，选择匹配已知条件的公式可大幅提升解题效率，无需额外计算圆心角。
【难度系数】
0.8
5. 如图，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，AB是直径，C是$\overset{\frown}{BD}$的中点。若∠C＝110°，则∠ABC的度数为（
A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$75°$
A
）。A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
5. A
解析
【分析】
解答本题可按以下思路推导：①首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数求出∠BAD的度数；②再根据C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，得到等弧所对的圆周角相等，推出∠BAC为∠BAD的一半；③最后利用直径所对的圆周角为直角，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是半圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
2. 因为C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ BAC=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 因为AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ABC$中，两锐角互余，因此：
$∠ ABC=90° - ∠ BAC=90° - 35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过圆的相关性质逐步推导角度关系，熟练掌握各性质的应用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解答本题可按以下思路推导：①首先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C的度数求出∠BAD的度数；②再根据C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，得到等弧所对的圆周角相等，推出∠BAC为∠BAD的一半；③最后利用直径所对的圆周角为直角，在直角三角形中利用两锐角互余即可求出∠ABC的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD是半圆O的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得：
$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$
已知$∠ BCD=110°$，代入得$∠ BAD=180° - 110°=70°$。
2. 因为C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得：
$∠ BAC=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×70°=35°$。
3. 因为AB是半圆O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ ACB=90°$。
4. 在$Rt△ ABC$中，两锐角互余，因此：
$∠ ABC=90° - ∠ BAC=90° - 35°=55°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，核心是通过圆的相关性质逐步推导角度关系，熟练掌握各性质的应用场景是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图,正六边形螺帽的边长$a=3\ \mathrm{cm}$,则正六边形螺帽的宽度$b=$
$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
。答案
6. $3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先利用正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于边长，相邻两个顶点与中心的连线夹角为60°，正六边形的宽度b就是两组对边之间的距离，等于2倍的中心到边的距离（边心距）。我们可以通过构造直角三角形，用三角函数或勾股定理求出边心距，再计算得到b的值。
【解析】
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的边长等于其外接圆半径，即中心到顶点的长度等于边长$a=3\mathrm{cm}$。
过中心$O$向任意一边作垂线，得到直角三角形，该直角三角形的斜边为3cm，较短的直角边为边长的一半$\frac{3}{2}\mathrm{cm}$，根据勾股定理，边心距$d=\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$。
正六边形的宽度$b$是对边之间的距离，等于2倍边心距，因此$b=2d=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于基础几何计算题，将正六边形的性质与直角三角形的计算结合，解题的核心是明确正六边形边长、外接圆半径、边心距之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用正六边形的性质：正六边形的外接圆半径等于边长，相邻两个顶点与中心的连线夹角为60°，正六边形的宽度b就是两组对边之间的距离，等于2倍的中心到边的距离（边心距）。我们可以通过构造直角三角形，用三角函数或勾股定理求出边心距，再计算得到b的值。
【解析】
正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，且正六边形的边长等于其外接圆半径，即中心到顶点的长度等于边长$a=3\mathrm{cm}$。
过中心$O$向任意一边作垂线，得到直角三角形，该直角三角形的斜边为3cm，较短的直角边为边长的一半$\frac{3}{2}\mathrm{cm}$，根据勾股定理，边心距$d=\sqrt{3^2 - (\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$。
正六边形的宽度$b$是对边之间的距离，等于2倍边心距，因此$b=2d=2×\frac{3\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
正六边形的性质，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题属于基础几何计算题，将正六边形的性质与直角三角形的计算结合，解题的核心是明确正六边形边长、外接圆半径、边心距之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
