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7. 如图，$\odot O$的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm。$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，连结AD，BD。求BC，AD，BD的长。
答案
7. $BC=8\ \mathrm{cm},AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm},BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：AB是圆的直径，首先联想到直径所对的圆周角为直角，因此△ACB和△ADB都是直角三角形。求BC的长度可直接在Rt△ACB中用勾股定理计算。接下来CD是∠ACB的角平分线，根据圆周角定理，相等的圆周角对应的弧相等，可推出弧AD=弧BD，进而得到AD=BD，即△ADB是等腰直角三角形，最后再用勾股定理即可求出AD、BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
根据相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2+BD^2=AB^2$，且$AD=BD$，
∴$2AD^2=10^2=100$，
解得$AD^2=50$，即$AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm},AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm},BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直径的性质；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型基础题，解题核心是利用直径的性质构造直角三角形，再结合角平分线和圆周角定理得到边的等量关系，侧重考察对圆基础性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：AB是圆的直径，首先联想到直径所对的圆周角为直角，因此△ACB和△ADB都是直角三角形。求BC的长度可直接在Rt△ACB中用勾股定理计算。接下来CD是∠ACB的角平分线，根据圆周角定理，相等的圆周角对应的弧相等，可推出弧AD=弧BD，进而得到AD=BD，即△ADB是等腰直角三角形，最后再用勾股定理即可求出AD、BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角为直角）。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{cm}$。
∵CD平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACD=∠ BCD$，
根据相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$AD=BD$。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$AD^2+BD^2=AB^2$，且$AD=BD$，
∴$2AD^2=10^2=100$，
解得$AD^2=50$，即$AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$BC=8\ \mathrm{cm},AD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm},BD=5\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直径的性质；勾股定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的典型基础题，解题核心是利用直径的性质构造直角三角形，再结合角平分线和圆周角定理得到边的等量关系，侧重考察对圆基础性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$AB=2AC$。若弦AB的弦心距为2,弦AC的弦心距为4,求$\odot O$的半径。
答案
8. 过点O分别作AB,AC的垂线段,连结AO。$AO=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
遇到已知弦长关系和弦心距求圆半径的问题，首先想到作弦心距结合垂径定理，构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形。我们可以设较短的半弦长为未知数，根据AB=2AC的关系表示出另一个半弦长，再利用两个直角三角形的斜边都是半径，结合勾股定理列方程，联立求解即可得到半径长度。
【解析】
解：过点O作$OD⊥ AB$于点D，作$OE⊥ AC$于点E，连接AO。
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$，由题意知$OD=2$，$OE=4$。
设$AE=x$，则$AC=2x$，
$\because AB=2AC$，$\therefore AB=4x$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2x$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：$AO^2=AE^2+OE^2=x^2+4^2$ ①
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$AO^2=AD^2+OD^2=(2x)^2+2^2$ ②
联立①②可得：$x^2+16=4x^2+4$，
解得$x^2=4$（线段长度为正，舍去负解）。
将$x^2=4$代入①得：$AO^2=4+16=20$，
$\therefore AO=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.方程法求线段长
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心解题思路是通过作弦心距构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中结合勾股定理列方程求解，熟练掌握作弦心距的辅助线技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
遇到已知弦长关系和弦心距求圆半径的问题，首先想到作弦心距结合垂径定理，构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形。我们可以设较短的半弦长为未知数，根据AB=2AC的关系表示出另一个半弦长，再利用两个直角三角形的斜边都是半径，结合勾股定理列方程，联立求解即可得到半径长度。
【解析】
解：过点O作$OD⊥ AB$于点D，作$OE⊥ AC$于点E，连接AO。
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AB$，$AE=\frac{1}{2}AC$，由题意知$OD=2$，$OE=4$。
设$AE=x$，则$AC=2x$，
$\because AB=2AC$，$\therefore AB=4x$，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=2x$。
在$Rt△ AOE$中，由勾股定理得：$AO^2=AE^2+OE^2=x^2+4^2$ ①
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：$AO^2=AD^2+OD^2=(2x)^2+2^2$ ②
联立①②可得：$x^2+16=4x^2+4$，
解得$x^2=4$（线段长度为正，舍去负解）。
将$x^2=4$代入①得：$AO^2=4+16=20$，
$\therefore AO=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
1.垂径定理 2.勾股定理 3.方程法求线段长
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，核心解题思路是通过作弦心距构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中结合勾股定理列方程求解，熟练掌握作弦心距的辅助线技巧是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$△ ABC$ 和 $△ BCD$ 内接于 $\odot O$，$AB=AC$，$CB=CD$。若 $∠ ABD=27°$，则 $\overset{\frown}{BC}$ 的度数为
$84°$
。答案
9. $84°$
解析
【分析】
解题时先利用同弧所对圆周角相等，得到两组相等的圆周角，再结合等腰三角形等边对等角的性质，分别用未知数表示出相关角度，根据角度的和差关系建立方程求解，最后根据弧的度数与圆周角的关系得到弧BC的度数。
【解析】
设$∠ BAC=α$，
1. 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，因此$∠ BDC=∠ BAC=α$。
2. 因为$CB=CD$，$△ BCD$为等腰三角形，故$∠ CBD=∠ BDC=α$，可得$∠ BCD=180°-∠ CBD-∠ BDC=180°-2α$。
3. 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，因此$∠ ACD=∠ ABD=27°$。
4. 因为$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，故$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=90°-\frac{α}{2}$。
5. 由$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD$，代入角度表达式列方程：
$180°-2α=90°-\frac{α}{2}+27°$
解得：$α=42°$
6. 弧的度数等于其所对圆心角的度数，圆心角为同弧所对圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2∠ BAC=2×42°=84°$。
【答案】
$84°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形的性质
3. 弧的度数定义
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题，核心是利用圆周角定理关联不同三角形的内角，结合等腰三角形性质建立方程求解，解题时要注意观察图形中角度的和差关系。
【难度系数】
0.65
解题时先利用同弧所对圆周角相等，得到两组相等的圆周角，再结合等腰三角形等边对等角的性质，分别用未知数表示出相关角度，根据角度的和差关系建立方程求解，最后根据弧的度数与圆周角的关系得到弧BC的度数。
【解析】
设$∠ BAC=α$，
1. 同弧$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角相等，因此$∠ BDC=∠ BAC=α$。
2. 因为$CB=CD$，$△ BCD$为等腰三角形，故$∠ CBD=∠ BDC=α$，可得$∠ BCD=180°-∠ CBD-∠ BDC=180°-2α$。
3. 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等，因此$∠ ACD=∠ ABD=27°$。
4. 因为$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，故$∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=90°-\frac{α}{2}$。
5. 由$∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD$，代入角度表达式列方程：
$180°-2α=90°-\frac{α}{2}+27°$
解得：$α=42°$
6. 弧的度数等于其所对圆心角的度数，圆心角为同弧所对圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{BC}$的度数为$2∠ BAC=2×42°=84°$。
【答案】
$84°$
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 等腰三角形的性质
3. 弧的度数定义
【点评】
本题是圆中角度计算的典型题，核心是利用圆周角定理关联不同三角形的内角，结合等腰三角形性质建立方程求解，解题时要注意观察图形中角度的和差关系。
【难度系数】
0.65
10. 已知:如图,A,B,C是$\odot O$上的三点,且$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$。过点B作$BD⊥ OC$于点D。
(1) 求证:$AB=2BD$。
(2) 若$AB=2\sqrt{3},CD=1$,求图中阴影部分的面积。
(1) 求证:$AB=2BD$。
(2) 若$AB=2\sqrt{3},CD=1$,求图中阴影部分的面积。
答案
10. (1) 过点O作$OH⊥AB$于点H,则$AB=2HB$。连结OB,由$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$,得$∠HOB=∠BOD$。可证$△OHB≌△ODB$,得$HB=DB$,则$AB=2BD$。
(2) 因为$AB=2\sqrt{3}$,所以$BD=\sqrt{3}$。连结BC。因为$CD=1$且$BD⊥OC$,所以$∠OCB=60°$,所以$△OBC$为等边三角形。$OB=2,S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ ODB}=$$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(2) 因为$AB=2\sqrt{3}$,所以$BD=\sqrt{3}$。连结BC。因为$CD=1$且$BD⊥OC$,所以$∠OCB=60°$,所以$△OBC$为等边三角形。$OB=2,S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ ODB}=$$\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AB=2BD$，可先利用垂径定理得到$AB=2HB$，只需证明$HB=BD$即可。由$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$可得对应圆心角存在2倍关系，结合角平分线性质推出$∠ HOB=∠ BOD$，再证明$△ OHB$和$△ ODB$全等，即可得到$HB=BD$，进而推出结论。
(2) 结合(1)的结论先求出$BD$的长度，阴影部分面积为扇形$OBC$面积减去$△ ODB$的面积，因此需要先求圆的半径和扇形圆心角：设半径为$r$，在$Rt△ ODB$中用勾股定理列方程求出半径，再根据边的关系得到圆心角的度数，最后分别计算扇形和三角形面积作差即可。
【解析】
(1) 证明：过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，
根据垂径定理可得$AH=HB$，即$AB=2HB$。
连接$OB$，
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC$，
$\because OH⊥ AB$，$OA=OB$，$\therefore OH$平分$∠ AOB$，即$∠ HOB=\frac{1}{2}∠ AOB=∠ BOC$。
在$△ OHB$和$△ ODB$中：
$\begin{cases}∠ OHB=∠ ODB=90°\\∠ HOB=∠ DOB\\OB=OB\end{cases}$
$\therefore △ OHB≌△ ODB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore HB=BD$，
$\therefore AB=2HB=2BD$。
(2) 解：由(1)知$AB=2BD$，$\because AB=2\sqrt{3}$，$\therefore BD=\sqrt{3}$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$，$\because CD=1$，$\therefore OD=r-1$，
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
即$r^2=(r-1)^2+(\sqrt{3})^2$，
展开计算得$r^2=r^2-2r+1+3$，解得$r=2$。
$\therefore OB=OC=2$，$OD=2-1=1$，
在$Rt△ ODB$中，$\cos∠ BOD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ BOC=60°$。
扇形$OBC$的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
$△ ODB$的面积：$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ ODB}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何计算，解题关键是合理构造辅助线，利用弧与圆心角的对应关系转化条件，结合勾股定理和面积公式求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$AB=2BD$，可先利用垂径定理得到$AB=2HB$，只需证明$HB=BD$即可。由$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$可得对应圆心角存在2倍关系，结合角平分线性质推出$∠ HOB=∠ BOD$，再证明$△ OHB$和$△ ODB$全等，即可得到$HB=BD$，进而推出结论。
(2) 结合(1)的结论先求出$BD$的长度，阴影部分面积为扇形$OBC$面积减去$△ ODB$的面积，因此需要先求圆的半径和扇形圆心角：设半径为$r$，在$Rt△ ODB$中用勾股定理列方程求出半径，再根据边的关系得到圆心角的度数，最后分别计算扇形和三角形面积作差即可。
【解析】
(1) 证明：过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$，
根据垂径定理可得$AH=HB$，即$AB=2HB$。
连接$OB$，
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{BC}$，$\therefore ∠ AOB=2∠ BOC$，
$\because OH⊥ AB$，$OA=OB$，$\therefore OH$平分$∠ AOB$，即$∠ HOB=\frac{1}{2}∠ AOB=∠ BOC$。
在$△ OHB$和$△ ODB$中：
$\begin{cases}∠ OHB=∠ ODB=90°\\∠ HOB=∠ DOB\\OB=OB\end{cases}$
$\therefore △ OHB≌△ ODB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore HB=BD$，
$\therefore AB=2HB=2BD$。
(2) 解：由(1)知$AB=2BD$，$\because AB=2\sqrt{3}$，$\therefore BD=\sqrt{3}$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OB=OC=r$，$\because CD=1$，$\therefore OD=r-1$，
在$Rt△ ODB$中，由勾股定理得：$OB^2=OD^2+BD^2$，
即$r^2=(r-1)^2+(\sqrt{3})^2$，
展开计算得$r^2=r^2-2r+1+3$，解得$r=2$。
$\therefore OB=OC=2$，$OD=2-1=1$，
在$Rt△ ODB$中，$\cos∠ BOD=\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，$\therefore ∠ BOC=60°$。
扇形$OBC$的面积：$S_{\mathrm{扇形}OBC}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$，
$△ ODB$的面积：$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}OBC}-S_{△ ODB}=\frac{2π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{2}{3}π-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定与性质；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与几何计算，解题关键是合理构造辅助线，利用弧与圆心角的对应关系转化条件，结合勾股定理和面积公式求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
