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11. 如图，$△ ABC$ 是 $\odot O$ 的内接三角形，$AD$ 是 $\odot O$ 的直径，且 $∠ ACB = 2∠ BAD$，$AD=6$。求弦 $AB$ 所对的弧长。
答案
11. $2π$ 或 $4π$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 遇直径AD，优先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD构造Rt△ABD；2. 利用同弧所对圆周角相等，将已知条件∠ACB=2∠BAD转化为直角三角形中两锐角的数量关系，求出圆周角∠ADB的度数；3. 结合同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出弦AB对应的圆心角度数；4. 注意弦所对的弧包含劣弧和优弧两种情况，分别代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接BD、OB。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠ACB与∠ADB均为弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB（同弧所对的圆周角相等）。
已知∠ACB=2∠BAD，因此∠ADB=2∠BAD。
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，代入得：
∠BAD + 2∠BAD = 90°，解得∠BAD=30°，
∴∠ADB=60°。
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ADB是弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=2∠ADB=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
由AD=6得⊙O的半径r=AD÷2=3。
弦AB所对的弧分为劣弧和优弧两种：
① 劣弧AB的弧长：$l_1=\frac{120π × 3}{180}=2π$；
② 优弧AB的弧长：$l_2=\frac{(360-120)π × 3}{180}=4π$。
【答案】
$2π$ 或 $4π$
【知识点】
圆周角定理；弧长公式；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的弧有劣弧和优弧两种情况，导致漏解，解题时需注意分类讨论；同时熟练掌握圆周角相关定理进行角度转化，是快速解题的核心。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 遇直径AD，优先利用直径所对圆周角为直角的性质，连接BD构造Rt△ABD；2. 利用同弧所对圆周角相等，将已知条件∠ACB=2∠BAD转化为直角三角形中两锐角的数量关系，求出圆周角∠ADB的度数；3. 结合同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出弦AB对应的圆心角度数；4. 注意弦所对的弧包含劣弧和优弧两种情况，分别代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接BD、OB。
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠ACB与∠ADB均为弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠ADB（同弧所对的圆周角相等）。
已知∠ACB=2∠BAD，因此∠ADB=2∠BAD。
在Rt△ABD中，∠BAD+∠ADB=90°，代入得：
∠BAD + 2∠BAD = 90°，解得∠BAD=30°，
∴∠ADB=60°。
∵∠AOB是弧AB所对的圆心角，∠ADB是弧AB所对的圆周角，
∴∠AOB=2∠ADB=120°（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
由AD=6得⊙O的半径r=AD÷2=3。
弦AB所对的弧分为劣弧和优弧两种：
① 劣弧AB的弧长：$l_1=\frac{120π × 3}{180}=2π$；
② 优弧AB的弧长：$l_2=\frac{(360-120)π × 3}{180}=4π$。
【答案】
$2π$ 或 $4π$
【知识点】
圆周角定理；弧长公式；圆的基本性质
【点评】
本题的易错点是忽略弦所对的弧有劣弧和优弧两种情况，导致漏解，解题时需注意分类讨论；同时熟练掌握圆周角相关定理进行角度转化，是快速解题的核心。
【难度系数】
0.6
12. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上。
（1）用直尺作经过点A，B，C的圆的圆心O。
（2）若小正方形的边长为1，求$\odot O$的半径。
（1）用直尺作经过点A，B，C的圆的圆心O。
（2）若小正方形的边长为1，求$\odot O$的半径。
答案
12. (1) 略 (2) $\frac{5}{4}\sqrt{2}$
解析
【分析】
（1）过A、B、C三点的圆的圆心是△ABC的外接圆圆心，也就是三角形的外心，外心的性质是到三个顶点的距离相等，是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两边（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O。
（2）求⊙O的半径时，已知小正方形边长为1，确定圆心O的位置后，选取其中一个顶点，用勾股定理计算圆心到该顶点的距离，即可得到圆的半径。
【解析】
（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，作图略。
（2）设小正方形的边长为1，结合网格特征和圆心O的位置，可得圆心O到点A的水平距离为$\frac{5}{4}$，竖直距离为$\frac{5}{4}$，根据勾股定理，⊙O的半径为：
$r=\sqrt{(\frac{5}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2}=\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{25}{16}}=\sqrt{\frac{50}{16}}=\frac{5}{4}\sqrt{2}$
【答案】
(1) 略 (2) $\frac{5}{4}\sqrt{2}$
【知识点】
外心的定义，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关作图和半径计算，解题关键是明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特征用勾股定理计算长度，难度不大，侧重对基础概念和方法的考查。
【难度系数】
0.7
（1）过A、B、C三点的圆的圆心是△ABC的外接圆圆心，也就是三角形的外心，外心的性质是到三个顶点的距离相等，是三角形三边垂直平分线的交点，因此只需作出任意两边（如AB、BC）的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O。
（2）求⊙O的半径时，已知小正方形边长为1，确定圆心O的位置后，选取其中一个顶点，用勾股定理计算圆心到该顶点的距离，即可得到圆的半径。
【解析】
（1）分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的圆心O，作图略。
（2）设小正方形的边长为1，结合网格特征和圆心O的位置，可得圆心O到点A的水平距离为$\frac{5}{4}$，竖直距离为$\frac{5}{4}$，根据勾股定理，⊙O的半径为：
$r=\sqrt{(\frac{5}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2}=\sqrt{\frac{25}{16}+\frac{25}{16}}=\sqrt{\frac{50}{16}}=\frac{5}{4}\sqrt{2}$
【答案】
(1) 略 (2) $\frac{5}{4}\sqrt{2}$
【知识点】
外心的定义，垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题考查三角形外接圆的相关作图和半径计算，解题关键是明确外心是三角形三边垂直平分线的交点，结合网格特征用勾股定理计算长度，难度不大，侧重对基础概念和方法的考查。
【难度系数】
0.7
13. 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$。以$AB$为直径的$\odot O$分别交$BC$,$AC$于点$D$,$E$,连结$EB$,交$OD$于点$F$。
(1) 求证:$OD ⊥ BE$。
(2) 若$DE=\sqrt{5}$,$AB=5$,求$AE$的长。
(1) 求证:$OD ⊥ BE$。
(2) 若$DE=\sqrt{5}$,$AB=5$,求$AE$的长。
答案
13. (1) 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠AEB=90°$。因为$AB=AC$,$OD=OB$,所以$∠C=∠ABC=∠ODB$,所以$OD//AC$,所以$OD⊥BE$。
(2) 方法一:连结AD。由$DE=\sqrt{5}$,可得$BC=2\sqrt{5}$,$BD=\sqrt{5}$,得$AD=2\sqrt{5}$。由$BC·AD=AC·BE$,得$BE=4$。在$Rt△ABE$中,由勾股定理可得$AE=3$。
方法二:设$AE=x$,由$AB^2-AE^2=BC^2-CE^2$,得$AE=3$。
(2) 方法一:连结AD。由$DE=\sqrt{5}$,可得$BC=2\sqrt{5}$,$BD=\sqrt{5}$,得$AD=2\sqrt{5}$。由$BC·AD=AC·BE$,得$BE=4$。在$Rt△ABE$中,由勾股定理可得$AE=3$。
方法二:设$AE=x$,由$AB^2-AE^2=BC^2-CE^2$,得$AE=3$。
解析
【分析】
(1) 要证$OD⊥BE$，可先利用直径所对圆周角为直角得到$BE⊥AC$，再结合等腰三角形的角的关系证明$OD// AC$，即可推出垂直关系。
(2) 求$AE$的长，可先利用直角三角形斜边中线的性质得到$BC$的长度，再结合勾股定理、面积法求出$BE$的长度，最后在$Rt△ ABE$中用勾股定理计算$AE$；也可设$AE$为未知数，利用$BE$是两个直角三角形的公共直角边列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$，即$BE⊥ AC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C=∠ ABC$。
∵ $OD=OB$，
∴ $∠ ODB=∠ ABC$。
∴ $∠ ODB=∠ C$，
∴ $OD// AC$。
∴ $∠ OFB=∠ AEB=90°$，即$OD⊥ BE$。
(2) 解：
方法一：连结$AD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $D$是$BC$中点，即$BD=DC$。
在$Rt△ BEC$中，$D$是斜边$BC$的中点，
∴ $BC=2DE=2\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$BD=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，$AC=AB=5$，
代入得$2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5× BE$，解得$BE=4$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{25-16}=3$。
方法二：设$AE=x$，则$CE=AC-AE=5-x$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^2=AB^2-AE^2=25-x^2$。
在$Rt△ BCE$中，$BC=2DE=2\sqrt{5}$，故$BE^2=BC^2-CE^2=20-(5-x)^2$。
∴ $25-x^2=20-(5-x)^2$，
展开化简得$10x=30$，解得$x=3$，即$AE=3$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $AE=3$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题将圆的性质和三角形知识结合考查，解题关键是熟练运用直径所对圆周角为直角、平行线判定、勾股定理等知识点，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
(1) 要证$OD⊥BE$，可先利用直径所对圆周角为直角得到$BE⊥AC$，再结合等腰三角形的角的关系证明$OD// AC$，即可推出垂直关系。
(2) 求$AE$的长，可先利用直角三角形斜边中线的性质得到$BC$的长度，再结合勾股定理、面积法求出$BE$的长度，最后在$Rt△ ABE$中用勾股定理计算$AE$；也可设$AE$为未知数，利用$BE$是两个直角三角形的公共直角边列方程求解。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB=90°$，即$BE⊥ AC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ C=∠ ABC$。
∵ $OD=OB$，
∴ $∠ ODB=∠ ABC$。
∴ $∠ ODB=∠ C$，
∴ $OD// AC$。
∴ $∠ OFB=∠ AEB=90°$，即$OD⊥ BE$。
(2) 解：
方法一：连结$AD$。
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
∵ $AB=AC$，
∴ $D$是$BC$中点，即$BD=DC$。
在$Rt△ BEC$中，$D$是斜边$BC$的中点，
∴ $BC=2DE=2\sqrt{5}$，$BD=\sqrt{5}$。
在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$BD=\sqrt{5}$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AD=\frac{1}{2}AC· BE$，$AC=AB=5$，
代入得$2\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5× BE$，解得$BE=4$。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{25-16}=3$。
方法二：设$AE=x$，则$CE=AC-AE=5-x$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^2=AB^2-AE^2=25-x^2$。
在$Rt△ BCE$中，$BC=2DE=2\sqrt{5}$，故$BE^2=BC^2-CE^2=20-(5-x)^2$。
∴ $25-x^2=20-(5-x)^2$，
展开化简得$10x=30$，解得$x=3$，即$AE=3$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；
(2) $AE=3$
【知识点】
圆周角定理；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题将圆的性质和三角形知识结合考查，解题关键是熟练运用直径所对圆周角为直角、平行线判定、勾股定理等知识点，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
