1. 估计$\sqrt{11}+1$的值在()

A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间

C

【分析】
要解决带无理数的取值范围问题，核心是先确定无理数的范围，再通过不等式变形得到目标式子的范围。具体思考步骤：首先找到与被开方数11相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定√11的取值区间；再在不等式三边同时加1，即可得到√11+1的取值范围，对应匹配选项即可。
【解析】
解：
∵ $9 ＜ 11 ＜ 16$，
对不等式三边同时取算术平方根，可得：
$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$，
即 $3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$，
对不等式三边同时加1，可得：
$3+1 ＜ \sqrt{11}+1 ＜ 4+1$，
即 $4 ＜ \sqrt{11}+1 ＜ 5$，
因此$\sqrt{11}+1$的值在4和5之间。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质 3. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查无理数的大小估算能力，解题关键是找准与被开方数相邻的两个完全平方数，掌握算术平方根的大小比较规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2.在实数$0,-\sqrt{2},π,|-1|$中,最小的数是()

A.0
B.$-\sqrt{2}$
C.$π$
D.$|-1|$

B

【分析】
要解决实数比大小的问题，遵循“先化简，再比较”的思路：第一步先将题目中带绝对值的数化简，得到具体数值；第二步根据实数大小比较的基本法则：负数小于0，0小于所有正数，先判断各数的正负性，唯一的负数就是最小的数，无需额外计算其他正数的大小即可快速得出结果。
【解析】
首先化简题目中的数：$|-1|=1$。
此时四个数分别为$0$，$-\sqrt{2}$，$π$，$1$。
根据实数大小比较规则：所有负数都小于0和正数，四个数中仅$-\sqrt{2}$是负数，因此最小的数是$-\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
实数大小比较，绝对值的性质，无理数的认识
【点评】
本题属于基础题型，核心考查实数大小比较的基本法则，解题的关键是先对可化简的数进行化简，再通过正负性快速筛选出最小数，无需额外计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9

3.若一个正方体的体积为81 cm³，则它的棱长在()

A.6 cm和8 cm之间
B.8 cm和10 cm之间
C.3 cm和4 cm之间
D.4 cm和5 cm之间

D

【分析】
要解决这道题，首先需要明确正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的立方，因此棱长是体积的立方根。接下来我们需要估算81的立方根的取值范围，只需要找到两个相邻的整数，分别计算它们的立方，再看81落在哪两个立方数之间，就能确定立方根的范围，也就是棱长的范围。
【解析】
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式可得：
$a^3=81$，因此$a=\sqrt[3]{81}$。
计算相邻整数的立方：
$4^3=64$，$5^3=125$，
因为$64＜81＜125$，对不等式同时开立方，不等号方向不变，可得：
$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{81}＜\sqrt[3]{125}$，即$4＜a＜5$。
所以正方体的棱长在4 cm和5 cm之间。
【答案】
D
【知识点】
1.正方体体积计算
2.立方根估算
3.立方根的定义
【点评】
本题是立方根在实际问题中的应用，核心是掌握无理数大小估算的方法，熟记常见整数的立方值可以快速解题。
【难度系数】
0.8

4. 已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$，$\sqrt[3]{23.7}\approx2.872$，则$\sqrt[3]{2370}\approx(\quad)$

A.$28.72$
B.$0.2872$
C.$13.33$
D.$0.1333$

C

【分析】
解题时首先回忆立方根的相关性质：当被开方数的小数点向右（或向左）移动3位时，对应的立方根的小数点会向相同方向移动1位。接下来观察待求的$\sqrt[3]{2370}$的被开方数2370和已知的2.37、23.7的关系，发现2370是2.37的小数点向右移动3位得到的，刚好符合立方根的小数点移动规律的使用条件，因此可以直接利用该规律快速计算，也可以将2370拆为$2.37×10^3$，再利用立方根的运算性质展开计算。
【解析】
根据立方根的运算性质：$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，可得：
首先对被开方数2370变形：$2370=2.37×1000=2.37×10^3$
因此$\sqrt[3]{2370}=\sqrt[3]{2.37×10^3}=\sqrt[3]{2.37}×\sqrt[3]{10^3}$
已知$\sqrt[3]{2.37}\approx1.333$，且$\sqrt[3]{10^3}=10$，代入计算得：
$\sqrt[3]{2370}\approx1.333×10=13.33$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 立方根的性质
2. 开立方运算
【点评】
本题主要考查立方根相关规律的应用，解题的核心是找准待求被开方数与已知被开方数的倍数关系，注意要区分开立方根和平方根的小数点移动规律，避免混淆导致出错。
【难度系数】
0.7

5.化简：$|\sqrt{7} - π| =$ 。

$π-\sqrt{7}$

【分析】
要化简带绝对值的式子，首先回忆绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。因此第一步需要先判断绝对值内$\sqrt{7}-π$的正负性，这就需要比较$\sqrt{7}$和$π$的大小。我们可以先估算$\sqrt{7}$的取值范围，再和$π$的近似值对比，判断出$\sqrt{7}-π$是负数后，再根据绝对值的性质化简即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的大小：
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
2. 比较$\sqrt{7}$和$π$的大小：
已知$π\approx3.14＞3$，因此$\sqrt{7}＜π$，可得$\sqrt{7}-π＜0$。
3. 根据绝对值的性质化简：
负数的绝对值等于它的相反数，因此：
$|\sqrt{7}-π|=-(\sqrt{7}-π)=π-\sqrt{7}$
【答案】
$π-\sqrt{7}$
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 无理数大小估算
【点评】
本题属于基础的绝对值化简题型，解题核心是先明确绝对值内表达式的正负，再结合绝对值的性质计算，掌握无理数的估算方法是准确判断正负的关键。
【难度系数】
0.9

6.若正数x满足$x^2=17$，则x精确到十分位的值是。

4.1

【分析】
首先根据题意可知正数x是17的算术平方根，即x=√17，要得到x精确到十分位的数值，需采用逐步逼近的方法估算√17的取值范围：先确定√17在哪两个相邻整数之间，再缩小范围到相邻的两个一位小数之间，最后计算到两位小数的范围，结合四舍五入规则判断十分位的数值即可。
【解析】
解：
∵x是正数，且$x^2=17$，
∴$x=\sqrt{17}$，
先估算整数范围：
∵$4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$，
∴$4＜\sqrt{17}＜5$，
再估算十分位范围：
∵$4.1^2=16.81$，$4.2^2=17.64$，$16.81＜17＜17.64$，
∴$4.1＜\sqrt{17}＜4.2$，
再估算百分位判断四舍五入：
∵$4.12^2=16.9744$，$4.13^2=17.0569$，$16.9744＜17＜17.0569$，
∴$4.12＜\sqrt{17}＜4.13$，即$\sqrt{17}$的百分位数字为2，小于5，根据四舍五入，精确到十分位时舍去百分位及后面的数，
∴$x≈4.1$。
【答案】
4.1
【知识点】
算术平方根，无理数估算，近似数四舍五入
【点评】
本题考查无理数的估算及近似数的求解，解题的关键是采用逐步缩小范围的方法确定无理数的近似值，注意精确到某一位时，需要计算到该数位的下一位，再根据四舍五入规则取值。
【难度系数】
0.7

7.若$ m,n $为两个连续的整数，且$ m＜\sqrt{13}＜n $，则$ mn $的值为。

12

【分析】
要计算mn的值，首先需要确定m、n的取值。解题思路为：先找到与13相邻的两个正完全平方数，再根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，确定√13介于哪两个连续整数之间，即可得到m、n的值，最后代入计算乘积即可。
【解析】
解：
∵ 9 ＜ 13 ＜ 16
∴ 对三个数同时取算术平方根，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$
化简得$3＜\sqrt{13}＜4$
又
∵m、n为连续的整数，且$m＜\sqrt{13}＜n$
∴m=3，n=4
∴$mn=3×4=12$
【答案】
12
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心考查对无理数大小的估算能力，解题的关键是熟练掌握常见完全平方数，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，从而确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.8

8.(1)比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$与0.5的大小。
(2)比较$3,4,\sqrt[3]{50}$的大小。

(1) 解:因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
所以 $\sqrt{5}-1＞1$，
所以 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0.5$。
(2) 解:因为 $\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，
所以 $3＜\sqrt[3]{50}＜4$。

【分析】
（1）比较两个数大小时，先把0.5转化为$\frac{1}{2}$，发现两个数分母相同，只需比较分子$\sqrt{5}-1$和1的大小即可。先利用相邻整数的算术平方根估算$\sqrt{5}$的取值范围，再推导$\sqrt{5}-1$的范围，就能得到两个数的大小关系。
（2）比较整数和立方根的大小时，可把整数转化为三次方根的形式，根据立方根的性质：被开方数越大，对应的立方根越大，只需比较三个数的被开方数大小，就能得出大小关系。
【解析】
(1) 解：因为$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，
所以 $2＜\sqrt{5}＜3$，
不等式两边同时减1得：$\sqrt{5}-1＞1$，
不等式两边同时除以2得：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0.5$。
(2) 解：因为 $\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{50}＜\sqrt[3]{64}$，其中$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{64}=4$，
所以 $3＜\sqrt[3]{50}＜4$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}＞0.5$
(2) $3＜\sqrt[3]{50}＜4$
【知识点】
无理数估算，实数大小比较，立方根的性质
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心考查无理数的估算方法，以及将有理数转化为对应开方形式再比较大小的技巧，熟练掌握后可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.85

9. 提升题►阅读下面的解题过程。
试比较$2^{100}$与$3^{75}$的大小。
解:因为$2^{100}=(2^4)^{25}=16^{25}$，$3^{75}=(3^3)^{25}=27^{25}$，而$16＜27$，
所以$2^{100}＜3^{75}$。
请根据上述解题过程解答:比较$2^{555}$，$3^{444}$，$4^{333}$的大小。

解:因为 $2^{555}=(2^5)^{111}=32^{111}$，
$3^{444}=(3^4)^{111}=81^{111}$，
$4^{333}=(4^3)^{111}=64^{111}$，
又因为 $32＜64＜81$，
所以 $32^{111}＜64^{111}＜81^{111}$，
所以 $2^{555}＜4^{333}＜3^{444}$。

【分析】
观察要比较的三个幂$2^{555}$、$3^{444}$、$4^{333}$，它们的指数555、444、333的最大公因数是111，我们可以模仿题中给出的解题方法，逆用幂的乘方公式$a^{mn}=(a^m)^n$，把三个幂都转化为指数为111的形式。当指数大于0时，同指数的幂，底数越大，对应的幂就越大，因此只需要比较转化后三个幂的底数大小，就能得到原数的大小关系。
【解析】
解：逆用幂的乘方法则对三个幂变形：
$2^{555}=(2^5)^{111}=32^{111}$，
$3^{444}=(3^4)^{111}=81^{111}$，
$4^{333}=(4^3)^{111}=64^{111}$，
因为$32＜64＜81$，且指数111＞0，同指数幂底数越大值越大，
所以$32^{111}＜64^{111}＜81^{111}$，
即$2^{555}＜4^{333}＜3^{444}$。
【答案】
$2^{555}＜4^{333}＜3^{444}$
【知识点】
1. 幂的乘方逆运算
2. 同指数幂大小比较
【点评】
本题属于方法迁移类题型，需要先读懂例题的解题逻辑，抓住指数的共同特征，灵活运用幂的运算公式将不同指数的幂转化为同指数幂后比较大小，能有效考查对公式的灵活运用能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7