1. 下列计算正确的是()

A.$\sqrt{(-3)^2}=-3$
B.$(\sqrt{-3})^2=3$
C.$(\sqrt[3]{-3})^3=-3$
D.$(\sqrt[3]{-3})^3=3$

C

【分析】
这道题考查平方根与立方根的性质，解题时需先明确两类根式的核心区别再逐个判断选项：1. 平方根（算术平方根）的被开方数必须为非负数，且算术平方根的计算结果也是非负数；2. 立方根的被开方数可以是任意实数，且满足恒等式$(\sqrt[3]{a})^3=a$。我们用这两个性质逐一排查四个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：先计算被开方数$(-3)^2=9$，$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为3，不等于-3，故A错误；
选项B：平方根的被开方数不能为负数，$\sqrt{-3}$的被开方数是-3＜0，该式无意义，故B错误；
选项C：根据立方根的性质，对任意实数$a$都有$(\sqrt[3]{a})^3=a$，因此$(\sqrt[3]{-3})^3=-3$，故C正确；
选项D：由选项C的计算可知$(\sqrt[3]{-3})^3=-3$，不等于3，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的性质、平方根有意义的条件、立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是区分平方根和立方根的性质差异，尤其要注意平方根对被开方数的非负要求，不要混淆两类根式的运算规则。
【难度系数】
0.7

2. 下列说法错误的是()

A.$\sqrt[3]{a}$中的a可以取正数、负数、零
B.$-\frac{3}{4}$是$\frac{9}{16}$的一个平方根
C.$\sqrt{64}$的立方根为$\pm2$
D.2的算术平方根是$\sqrt{2}$

C

【分析】
本题考查平方根、算术平方根、立方根的相关概念与性质，解题时需逐一分析每个选项，结合对应定义判断正误：首先回忆各根式的性质，立方根的被开方数可以是全体实数；正数有两个互为相反数的平方根；算术平方根是平方根中非负的那个；正数的立方根仅有一个且为正数，注意选项C需先化简$\sqrt{64}$，再计算它的立方根，避免直接对64求立方根或混淆立方根与平方根的特点导致判断错误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 立方根的被开方数取值范围为全体实数，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根为0，因此$\sqrt[3]{a}$中的a可以取正数、负数、零，该说法正确，不符合题意。
B. 正数的平方根有两个，互为相反数，因为$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，所以$-\frac{3}{4}$是$\frac{9}{16}$的一个平方根，该说法正确，不符合题意。
C. 先化简$\sqrt{64}=8$，8的立方根为2（正数的立方根只有1个，为正数），并非$\pm2$，该说法错误，符合题意。
D. 若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根，因此2的算术平方根是$\sqrt{2}$，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；平方根的概念；算术平方根的概念
【点评】
本题属于根式基础概念题，易错点在于部分同学会忽略先化简$\sqrt{64}$，或是混淆平方根和立方根的取值特点，只要牢记各类根式的定义与性质，就能准确作答。
【难度系数】
0.7

3.有下列算式:①$\sqrt{25}=5$;②$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}=\pm\dfrac{1}{3}$;③$\sqrt{(-2)^2}=2$;④$(-\sqrt{3})^2=3$;⑤$\sqrt{1\dfrac{25}{144}}=1\dfrac{5}{12}$。其中正确的有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要判断正确的算式个数，需结合算术平方根、立方根的性质，逐个验证每个算式是否正确：首先明确算术平方根的结果是非负数；立方根的符号与被开方数的符号一致；遇到根号内含平方的，先计算平方结果再开方；平方运算中负数的平方为正；带分数开方要先转化为假分数再计算，避免直接拆分整数和分数部分开方出错。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
1. 算式①：$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根只有非负结果，$\sqrt{25}=5$，①正确；
2. 算式②：$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}$表示$-\dfrac{1}{27}$的立方根，负数的立方根是负数，$(-\dfrac{1}{3})^3=-\dfrac{1}{27}$，所以$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{27}}=-\dfrac{1}{3}$，不是$\pm\dfrac{1}{3}$，②错误；
3. 算式③：先计算根号内的平方，$(-2)^2=4$，$\sqrt{4}=2$，③正确；
4. 算式④：平方运算中负号抵消，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，④正确；
5. 算式⑤：先把带分数化为假分数，$1\dfrac{25}{144}=\dfrac{144+25}{144}=\dfrac{169}{144}$，$\sqrt{\dfrac{169}{144}}=\dfrac{13}{12}=1\dfrac{1}{12}$，不是$1\dfrac{5}{12}$，⑤错误。
综上，正确的算式是①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根计算；立方根性质；二次根式化简
【点评】
本题核心考查平方根、立方根的基本运算规则，易错点在于混淆算术平方根和平方根的结果范围，以及计算带分数开方时未先转化为假分数，掌握基础性质即可准确解题。
【难度系数】
0.7

4.填空。
(1)64 的立方根是 ；
(2)$-\dfrac{1}{125}$的立方根是 ；
(3)$2^6$ 的立方根是 。

(1)4
(2)$-\frac{1}{5}$
(3)4

【分析】
解答本题需要结合立方根的定义思考：如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么这个数x就叫做a的立方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时分别找到每个小题中对应数是哪个数的立方，即可求出立方根：
(1) 找立方等于64的数即可；
(2) 找立方等于$-\dfrac{1}{125}$的数，注意负数的立方根为负数；
(3) 可先计算$2^6$的结果，再求其立方根，也可以利用幂的运算性质直接计算。
【解析】
(1) 因为$4^3=4×4×4=64$，所以64的立方根是4；
(2) 因为$(-\dfrac{1}{5})^3=(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})×(-\dfrac{1}{5})=-\dfrac{1}{125}$，所以$-\dfrac{1}{125}$的立方根是$-\dfrac{1}{5}$；
(3) 先计算$2^6=64$，由(1)可知64的立方根是4，因此$2^6$的立方根是4。
【答案】
(1)4；(2)$-\dfrac{1}{5}$；(3)4
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；幂的运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查立方根的相关计算，解题时要牢记立方根的符号规律：正数的立方根为正，负数的立方根为负，避免符号出错；对于底数是幂的形式的数求立方根，可以先化简幂再计算，也可以通过幂的运算性质快速求解。
【难度系数】
0.9

5.若$8x^3=-27$,则$x$的值为。

$-\frac{3}{2}$

【分析】
本题需要求解一元三次方程中x的值，解题思路分为两步：第一步利用等式的基本性质将x³的系数化为1，得到x³的具体数值；第二步根据立方根的定义，找到立方等于该数值的数，即为x的值，注意负数的立方根是负数，避免符号错误。
【解析】
解：已知$8x^3=-27$，
第一步：等式两边同时除以8，将$x^3$的系数化为1，可得：
$x^3 = -\frac{27}{8}$
第二步：根据立方根的定义，若$a^3=b$，则a是b的立方根，
因为$(-\frac{3}{2})^3 = \frac{(-3)^3}{2^3} = -\frac{27}{8}$，
所以$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
立方根的计算、等式的基本性质
【点评】
本题属于立方根的基础应用题型，解题核心是熟练掌握立方根的运算规则，尤其要注意负数立方根的符号特征，不要和平方根的符号规则混淆。
【难度系数】
0.9

6.若x是4的算术平方根，y是-8的立方根，则xy的值为。

$-4$

【分析】
解题时先分别根据算术平方根、立方根的定义求出x和y的值，再将两个值代入计算xy的乘积即可。首先回忆算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，4的算术平方根是其正的平方根；再回忆立方根的性质：负数的立方根是负数，据此求出y的值，最后做乘法运算得到结果。
【解析】
第一步：求x的值
因为x是4的算术平方根，且$2^2=4$，正数的算术平方根为正数，所以$x=2$。
第二步：求y的值
因为y是-8的立方根，且$(-2)^3=-8$，所以$y=-2$。
第三步：计算xy的值
将$x=2$，$y=-2$代入得：$xy=2×(-2)=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；有理数的乘法
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确区分算术平方根与平方根的差异，明确算术平方根的非负性，同时掌握立方根的符号与被开方数符号一致的性质，避免混淆概念导致计算错误。
【难度系数】
0.9

7.若一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长扩大为原来的倍。

2

【分析】
解题时首先回忆正方体体积和棱长的关系：正方体体积等于棱长的三次方，反过来棱长就是对应体积的立方根。我们可以先设出原正方体的棱长，求出原体积，再根据体积扩大8倍得到新体积，对新体积开立方得到新棱长，最后将新棱长和原棱长作比，就能得到棱长扩大的倍数。
【解析】
设原正方体的棱长为$a$，根据正方体体积公式可得原体积为：
$V_{\mathrm{原}}=a^3$
体积扩大为原来的8倍后，新体积为：
$V_{\mathrm{新}}=8V_{\mathrm{原}}=8a^3$
设新正方体的棱长为$b$，则$b^3=8a^3$，对等式两边开立方：
$b=\sqrt[3]{8a^3}=2a$
因此新棱长是原棱长的2倍，即棱长扩大为原来的2倍。
【答案】
2
【知识点】
正方体体积公式，开立方运算
【点评】
本题是基础运算题，核心是掌握正方体体积与棱长的三次方对应关系，结合立方根运算即可快速求解，注意不要将体积的三次方关系和面积的平方关系混淆。
【难度系数】
0.9

8. 求下列各数的立方根。
(1) $-125$；
(2) $\frac{1}{27}$；
(3) $0$；
(4) $-6$。

(1) 解:$\sqrt[3]{-125}=-5$。
(2) 解:$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$。
(3) 解:$\sqrt[3]{0}=0$。
(4) 解:$\sqrt[3]{-6}=-\sqrt[3]{6}$。

【分析】
要计算一个数的立方根，首先回忆立方根的定义：如果$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。同时立方根有固定性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。解题时对每个数，先找哪个有理数的立方等于这个数，就能直接写出立方根；如果没有有理数的立方等于该数，就保留立方根形式，负数的立方根可以把负号移到根号外面。
【解析】
(1) 计算可得$(-5)^3=-125$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{-125}=-5$；
(2) 计算可得$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}$；
(3) 计算可得$0^3=0$，根据立方根的定义，$\sqrt[3]{0}=0$；
(4) 根据负数的立方根是负数的性质，$\sqrt[3]{-6}=-\sqrt[3]{6}$，没有整数或分数的立方等于-6，因此结果保留根号形式即可。
【答案】
(1) $-5$；(2) $\frac{1}{3}$；(3) $0$；(4) $-\sqrt[3]{6}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质
【点评】
本题是立方根计算的基础题，重点考查对立方根定义和性质的理解应用，解题时注意区分立方根与平方根的符号差异，避免符号出错。
【难度系数】
0.85

9. 提升题 已知$\sqrt{x+1} + |y - 2| = 0$，且$\sqrt[3]{1 - 2z}$与$\sqrt[3]{3z - 5}$互为相反数，求$yz - x$的平方根。

解:因为 $\sqrt{x+1} + |y - 2| = 0$，
所以 $x+1=0$,$y-2=0$，
所以 $x=-1$,$y=2$。
因为 $\sqrt[3]{1 - 2z}$ 与 $\sqrt[3]{3z - 5}$ 互为相反数，
所以 $1-2z+3z-5=0$，
解得 $z=4$。
所以 $yz-x=2×4 - (-1)=9$，
所以 $yz-x$ 的平方根是$\pm3$。

【分析】
解题时先从非负数和为0的条件入手：算术平方根和绝对值都属于非负数，当几个非负数的和为0时，每个非负数都必须为0，据此可求出x和y的值；再根据立方根的性质：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数本身也互为相反数，即它们的和为0，列方程可求出z的值；最后将x、y、z代入$yz-x$计算出结果，再根据平方根的定义求出它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+1} ≥ 0$，$|y-2| ≥ 0$，且$\sqrt{x+1} + |y - 2| = 0$
∴ $x+1=0$，$y-2=0$
解得 $x=-1$，$y=2$
∵ $\sqrt[3]{1 - 2z}$与$\sqrt[3]{3z - 5}$互为相反数
∴ $(1-2z)+(3z-5)=0$
解得 $z=4$
代入计算得：
$yz - x = 2×4 - (-1) = 9$
∵ $(\pm3)^2=9$
∴ $yz-x$的平方根是$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
非负数的性质；立方根的性质；平方根的定义
【点评】
本题综合考查了非负数、立方根、平方根的相关知识，解题核心是熟练掌握各类性质准确求解未知数，注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负根。
【难度系数】
0.6