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一、选择题
1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶.下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是()
1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶.下面四幅作品分别代表“立春”“芒种”“白露”“大雪”，其中是轴对称图形的是()
答案
解：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。
观察四个选项的图形，A、B、C中的图形均无法找到符合要求的直线，只有选项D的雪花图形存在多条这样的直线，满足轴对称图形的特征。
故选：D。
观察四个选项的图形，A、B、C中的图形均无法找到符合要求的直线，只有选项D的雪花图形存在多条这样的直线，满足轴对称图形的特征。
故选：D。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确轴对称图形的判定标准：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。接下来我们只需要按照这个标准逐一判断四个选项的图形是否符合要求，就能选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。
对四个选项逐一分析：
选项A的图案：找不到能使图形折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形；
选项B的图案：不存在满足要求的折叠直线，不是轴对称图形；
选项C的图案：没有符合条件的折叠直线，不是轴对称图形；
选项D的雪花图案：存在多条过图形中心的直线，沿这类直线折叠后图形两侧能完全重合，是轴对称图形。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合“二十四节气”这一中华传统文化内容命题，既考查轴对称图形的基础概念，又体现了数学和传统文化的结合，题目侧重基础，形式新颖。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确轴对称图形的判定标准：一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。接下来我们只需要按照这个标准逐一判断四个选项的图形是否符合要求，就能选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。
对四个选项逐一分析：
选项A的图案：找不到能使图形折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形；
选项B的图案：不存在满足要求的折叠直线，不是轴对称图形；
选项C的图案：没有符合条件的折叠直线，不是轴对称图形；
选项D的雪花图案：存在多条过图形中心的直线，沿这类直线折叠后图形两侧能完全重合，是轴对称图形。
综上，符合要求的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合“二十四节气”这一中华传统文化内容命题，既考查轴对称图形的基础概念，又体现了数学和传统文化的结合，题目侧重基础，形式新颖。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算正确的是()
A.$a^2 + a^3 = a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
A.$a^2 + a^3 = a^5$
B.$a^2 · a^3 = a^5$
C.$(a^2)^3 = a^5$
D.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
答案
B
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，解题时需逐个对选项运用对应的运算法则进行判断：首先明确合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方的运算规则，再分别代入各选项验证对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，故A错误；
B选项：根据同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，故B正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，故C错误；
D选项：根据同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{10}÷ a^2=a^{10-2}=a^8≠ a^5$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时要注意区分不同运算中指数的运算规则，避免混淆指数的加减、乘运算导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，解题时需逐个对选项运用对应的运算法则进行判断：首先明确合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方的运算规则，再分别代入各选项验证对错即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$和$a^3$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，无法合并，故A错误；
B选项：根据同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2· a^3=a^{2+3}=a^5$，故B正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^3=a^{2×3}=a^6≠ a^5$，故C错误；
D选项：根据同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^{10}÷ a^2=a^{10-2}=a^8≠ a^5$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；同底数幂的除法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时要注意区分不同运算中指数的运算规则，避免混淆指数的加减、乘运算导致出错。
【难度系数】
0.8
3.人体内一种细胞的直径约为1.56 μm，相当于0.000 001 56 m. 用科学记数法表示0.000 001 56为()
A.$1.56× 10^{-5}$
B.$0.156× 10^{-5}$
C.$1.56× 10^{-6}$
D.$15.6× 10^{-7}$
A.$1.56× 10^{-5}$
B.$0.156× 10^{-5}$
C.$1.56× 10^{-6}$
D.$15.6× 10^{-7}$
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中必须满足$1≤|a|＜10$，当原数小于1时n为负整数。第一步先根据a的取值范围筛选选项：B选项$a=0.156＜1$、D选项$a=15.6＞10$，均不符合要求，直接排除；第二步确定负指数n的数值：n等于原数左起第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），数出0.00000156第一个非零数字1前面共有6个0，因此n=-6，即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤a＜10$，n为原数左起第一个非零数字前所有0的总个数（含小数点前的0）。
对于0.00000156：
1. 确定a：将原数的小数点向右移动到第一个非零数字1的后面，得到$a=1.56$，满足$1≤1.56＜10$；
2. 确定n：原数中1前面共有6个0，因此$n=6$，指数为$-6$；
因此0.00000156用科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是牢记科学记数法的格式要求，准确确定a的取值和负指数的数值，常见易错点是数错原数中0的个数导致指数错误，或a的取值不符合规范。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中必须满足$1≤|a|＜10$，当原数小于1时n为负整数。第一步先根据a的取值范围筛选选项：B选项$a=0.156＜1$、D选项$a=15.6＞10$，均不符合要求，直接排除；第二步确定负指数n的数值：n等于原数左起第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），数出0.00000156第一个非零数字1前面共有6个0，因此n=-6，即可选出正确答案。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤a＜10$，n为原数左起第一个非零数字前所有0的总个数（含小数点前的0）。
对于0.00000156：
1. 确定a：将原数的小数点向右移动到第一个非零数字1的后面，得到$a=1.56$，满足$1≤1.56＜10$；
2. 确定n：原数中1前面共有6个0，因此$n=6$，指数为$-6$；
因此0.00000156用科学记数法表示为$1.56×10^{-6}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小的数
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是牢记科学记数法的格式要求，准确确定a的取值和负指数的数值，常见易错点是数错原数中0的个数导致指数错误，或a的取值不符合规范。
【难度系数】
0.8
4.若三角形三边的垂直平分线的交点在三角形的某一边上(不包含三角形的顶点),则该三角形是()
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是先明确三角形三边垂直平分线交点的性质：该交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，不同形状的三角形外心位置存在固定规律。首先回忆三类三角形（锐角、直角、钝角）的外心位置特征，再结合题目“交点在三角形某一边上（不含顶点）”的条件逐一匹配排除，即可得到正确答案。
【解析】
三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆的圆心），不同三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形的外心在三角形内部，不符合题意；
2. 钝角三角形的外心在三角形外部，不符合题意；
3. 直角三角形的外心在斜边的中点处，恰好位于斜边上且不属于三角形顶点，符合题目条件。
因此该三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形外心定义
2.外心位置规律
3.直角三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察不同类型三角形外心的位置特征，只要牢记各类三角形外心的位置规律就能快速解题，学习时要注意区分三角形外心、内心、重心等特殊点的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确三角形三边垂直平分线交点的性质：该交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，不同形状的三角形外心位置存在固定规律。首先回忆三类三角形（锐角、直角、钝角）的外心位置特征，再结合题目“交点在三角形某一边上（不含顶点）”的条件逐一匹配排除，即可得到正确答案。
【解析】
三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心（外接圆的圆心），不同三角形的外心位置如下：
1. 锐角三角形的外心在三角形内部，不符合题意；
2. 钝角三角形的外心在三角形外部，不符合题意；
3. 直角三角形的外心在斜边的中点处，恰好位于斜边上且不属于三角形顶点，符合题目条件。
因此该三角形是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
1.三角形外心定义
2.外心位置规律
3.直角三角形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察不同类型三角形外心的位置特征，只要牢记各类三角形外心的位置规律就能快速解题，学习时要注意区分三角形外心、内心、重心等特殊点的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.8
5.如图，$△ ABC$的三边$AB$，$BC$，$CA$的长分别是20，30，40.若它的三条角平分线将$△ ABC$分成三个三角形，则$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}$等于()
A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
A.$1:1:1$
B.$1:2:3$
C.$2:3:4$
D.$3:4:5$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中点O是三角形三条角平分线的交点，因此点O到三角形三边AB、BC、CA的距离相等，即三个三角形△ABO、△BCO、△CAO分别以AB、BC、CA为底时，高是相等的。根据三角形面积公式，当高相同时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需计算三边的长度比即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×20×h$，
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×30×h$，
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h=\frac{1}{2}×40×h$，
因此$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=20:30:40=2:3:4$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，解题时牢记角平分线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中点O是三角形三条角平分线的交点，因此点O到三角形三边AB、BC、CA的距离相等，即三个三角形△ABO、△BCO、△CAO分别以AB、BC、CA为底时，高是相等的。根据三角形面积公式，当高相同时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此只需计算三边的长度比即可得到三个三角形的面积比。
【解析】
∵O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABO}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×20×h$，
$S_{△BCO}=\frac{1}{2}×BC×h=\frac{1}{2}×30×h$，
$S_{△CAO}=\frac{1}{2}×CA×h=\frac{1}{2}×40×h$，
因此$S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO}=20:30:40=2:3:4$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，解题时牢记角平分线的性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.货车行驶25 km与小车行驶35 km所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20 km，求两车的速度各为多少.设货车的速度为x km/h，依题意，列方程正确的是()
A.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x-20}$
B.$\frac{25}{x-20}=\frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$
D.$\frac{25}{x+20}=\frac{35}{x}$
A.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x-20}$
B.$\frac{25}{x-20}=\frac{35}{x}$
C.$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$
D.$\frac{25}{x+20}=\frac{35}{x}$
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是抓住“货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同”这个等量关系。首先回忆行程问题的基本公式：$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。第一步先明确两车的速度：已知设货车速度为$x$ km/h，小车每小时比货车多行驶20km，因此小车速度为$(x+20)$ km/h；第二步分别表示出两车的行驶时间；第三步根据时间相等列出等式，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：已知货车的速度为$x$ km/h，由小车每小时比货车多行驶20 km，可得小车的速度为$(x+20)$ km/h。
根据$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，可得：
货车行驶25 km的时间为$\frac{25}{x}$ h，
小车行驶35 km的时间为$\frac{35}{x+20}$ h，
由两者行驶时间相同，可列方程：$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系，分式方程的实际应用
【点评】
本题是行程类分式方程应用的基础题型，解题关键是准确找到等量关系，正确表示两个运动对象的速度，再根据相等的量列等式，注意不要混淆两车的速度大小关系。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住“货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同”这个等量关系。首先回忆行程问题的基本公式：$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$。第一步先明确两车的速度：已知设货车速度为$x$ km/h，小车每小时比货车多行驶20km，因此小车速度为$(x+20)$ km/h；第二步分别表示出两车的行驶时间；第三步根据时间相等列出等式，对应选出正确选项即可。
【解析】
解：已知货车的速度为$x$ km/h，由小车每小时比货车多行驶20 km，可得小车的速度为$(x+20)$ km/h。
根据$\mathrm{时间}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{速度}}$，可得：
货车行驶25 km的时间为$\frac{25}{x}$ h，
小车行驶35 km的时间为$\frac{35}{x+20}$ h，
由两者行驶时间相同，可列方程：$\frac{25}{x}=\frac{35}{x+20}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系，分式方程的实际应用
【点评】
本题是行程类分式方程应用的基础题型，解题关键是准确找到等量关系，正确表示两个运动对象的速度，再根据相等的量列等式，注意不要混淆两车的速度大小关系。
【难度系数】
0.8
7. 分解因式：$(a-b)^2 - 4b^2 =$
答案
解：
原式$=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$
原式$=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a+b)(a-3b)$
解析
【分析】
本题考查因式分解，首先观察式子结构，发现原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的特征。解题思路为：第一步先将$4b^2$变形为$(2b)^2$，对应平方差公式里的$y^2$，将$(a-b)^2$对应$x^2$；第二步直接套用平方差公式展开；第三步合并两个括号内的同类项，得到最终分解结果，注意分解要彻底。
【解析】
解：
原式$=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a-b+2b)(a-b-2b)$
$=(a+b)(a-3b)$
【答案】
$(a+b)(a-3b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题关键是准确识别式子的平方差结构，套用公式后要注意合并同类项，保证因式分解结果彻底。
【难度系数】
0.8
本题考查因式分解，首先观察式子结构，发现原式是两个平方项作差的形式，符合平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$的特征。解题思路为：第一步先将$4b^2$变形为$(2b)^2$，对应平方差公式里的$y^2$，将$(a-b)^2$对应$x^2$；第二步直接套用平方差公式展开；第三步合并两个括号内的同类项，得到最终分解结果，注意分解要彻底。
【解析】
解：
原式$=(a-b)^2-(2b)^2$
$=[(a-b)+2b][(a-b)-2b]$
$=(a-b+2b)(a-b-2b)$
$=(a+b)(a-3b)$
【答案】
$(a+b)(a-3b)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的常规基础题，解题关键是准确识别式子的平方差结构，套用公式后要注意合并同类项，保证因式分解结果彻底。
【难度系数】
0.8
8.若分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，则$x=$.
答案
解：
要使分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 1 = 0 \\x + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 -1=0$，解得$x=\pm1$，
由$x+1≠0$，解得$x≠-1$，
综上，$x=1$。
要使分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，需满足：
$\begin{cases}x^2 - 1 = 0 \\x + 1 ≠ 0\end{cases}$
由$x^2 -1=0$，解得$x=\pm1$，
由$x+1≠0$，解得$x≠-1$，
综上，$x=1$。
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（若分母为0，分式无意义，不存在对应的数值）。解题时先分别列出对应分子为0的方程和分母不为0的不等式，分别求解后取同时满足两个条件的x的取值，就是最终结果。
【解析】
要使分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
$\begin{cases}x^2 - 1 = 0 \\x + 1 ≠ 0\end{cases}$
1. 解方程$x^2 -1=0$：移项得$x^2=1$，开平方解得$x=\pm1$；
2. 解不等式$x+1≠0$：移项解得$x≠-1$；
结合两个条件，只有$x=1$同时满足分子为0且分母不为0。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件，解一元二次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的限制，直接根据分子为0得出$x=\pm1$的错误结论，求解这类问题要牢记两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需要同时满足两个必要条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0（若分母为0，分式无意义，不存在对应的数值）。解题时先分别列出对应分子为0的方程和分母不为0的不等式，分别求解后取同时满足两个条件的x的取值，就是最终结果。
【解析】
要使分式$\frac{x^2 -1}{x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
$\begin{cases}x^2 - 1 = 0 \\x + 1 ≠ 0\end{cases}$
1. 解方程$x^2 -1=0$：移项得$x^2=1$，开平方解得$x=\pm1$；
2. 解不等式$x+1≠0$：移项解得$x≠-1$；
结合两个条件，只有$x=1$同时满足分子为0且分母不为0。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件，解一元二次方程，分式有意义的条件
【点评】
本题是分式部分的基础常考题，易错点是容易忽略分母不为0的限制，直接根据分子为0得出$x=\pm1$的错误结论，求解这类问题要牢记两个条件缺一不可。
【难度系数】
0.7
9.如图，$∠ 1=∠ 2$，要使$△ ABE ≌ △ ACE$，还需添加一个条件：（填上你认为适当的一个条件即可）。
（第9题）（第10题）
（第9题）（第10题）
答案
$\boldsymbol{BE=CE}$（答案不唯一，也可填$∠B=∠C$、$∠BAE=∠CAE$等）
解析
【分析】
要判定$△ ABE ≌ △ ACE$，首先从已知条件推导隐含的相等关系：已知$∠ 1=∠ 2$，根据邻补角的性质可得$∠ AEB=∠ AEC$，同时两个三角形有公共边$AE=AE$，此时已具备一组边、一组角对应相等，接下来结合全等三角形的判定定理，补充缺少的对应边或对应角相等的条件即可：添加对应边$BE=CE$可通过SAS判定全等，添加$∠ B=∠ C$可通过AAS判定全等，添加$∠ BAE=∠ CAE$可通过ASA判定全等。
【解析】
已知$∠ 1=∠ 2$，
$\because ∠ AEB+∠ 1=180°$，$∠ AEC+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEC$（等角的补角相等），
又$\because AE$是$△ ABE$和$△ ACE$的公共边，$\therefore AE=AE$。
以添加$BE=CE$为例：
在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AE=AE(\mathrm{公共边})\\∠ AEB=∠ AEC(\mathrm{已证})\\BE=CE(\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
也可添加$∠ B=∠ C$（AAS判定）、$∠ BAE=∠ CAE$（ASA判定），均满足要求。
【答案】
$BE=CE$（答案不唯一，也可填$∠ B=∠ C$、$∠ BAE=∠ CAE$等）
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.补角的性质
3.公共边的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题关键是先从已知条件推导出隐含的边、角相等关系，再结合判定规则补充合适的条件，注意不要添加不符合判定逻辑的无效条件。
【难度系数】
0.7
要判定$△ ABE ≌ △ ACE$，首先从已知条件推导隐含的相等关系：已知$∠ 1=∠ 2$，根据邻补角的性质可得$∠ AEB=∠ AEC$，同时两个三角形有公共边$AE=AE$，此时已具备一组边、一组角对应相等，接下来结合全等三角形的判定定理，补充缺少的对应边或对应角相等的条件即可：添加对应边$BE=CE$可通过SAS判定全等，添加$∠ B=∠ C$可通过AAS判定全等，添加$∠ BAE=∠ CAE$可通过ASA判定全等。
【解析】
已知$∠ 1=∠ 2$，
$\because ∠ AEB+∠ 1=180°$，$∠ AEC+∠ 2=180°$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AEC$（等角的补角相等），
又$\because AE$是$△ ABE$和$△ ACE$的公共边，$\therefore AE=AE$。
以添加$BE=CE$为例：
在$△ ABE$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AE=AE(\mathrm{公共边})\\∠ AEB=∠ AEC(\mathrm{已证})\\BE=CE(\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$。
也可添加$∠ B=∠ C$（AAS判定）、$∠ BAE=∠ CAE$（ASA判定），均满足要求。
【答案】
$BE=CE$（答案不唯一，也可填$∠ B=∠ C$、$∠ BAE=∠ CAE$等）
【知识点】
1.全等三角形的判定
2.补角的性质
3.公共边的性质
【点评】
本题是开放性基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题关键是先从已知条件推导出隐含的边、角相等关系，再结合判定规则补充合适的条件，注意不要添加不符合判定逻辑的无效条件。
【难度系数】
0.7
10.如图,在 Rt△ABC 中,∠B=30°,以点 A 为圆心,AC 长为半径作弧,交直线 AB 于点 D,连接 DC.若 AB=4 cm,则 CD 为 cm.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题思路：首先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出AC的长度，再计算出∠A的度数；结合圆的半径相等可知AD=AC，可判定△ACD为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等即可求出CD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4cm，
根据直角三角形30°角的性质，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
且$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
∵以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，
∴AD=AC=2cm，
∴△ACD是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ACD是等边三角形，
∴CD=AC=2cm。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直角三角形30°角性质，等边三角形判定，圆半径的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合已知条件推导出△ACD为等边三角形，也可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解，方法灵活，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半，求出AC的长度，再计算出∠A的度数；结合圆的半径相等可知AD=AC，可判定△ACD为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等即可求出CD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4cm，
根据直角三角形30°角的性质，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\mathrm{cm}$，
且$∠ A=90°-∠ B=90°-30°=60°$，
∵以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，
∴AD=AC=2cm，
∴△ACD是有一个内角为60°的等腰三角形，即△ACD是等边三角形，
∴CD=AC=2cm。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
直角三角形30°角性质，等边三角形判定，圆半径的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是结合已知条件推导出△ACD为等边三角形，也可利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解，方法灵活，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
