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9.下面是某同学解分式方程$\frac{x-3}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}$的过程,请认真阅读解题过程并完成相应的学习任务.
解:去分母,得$x-3+2(x-2)=1$.
……第一步
去括号,得$x-3+2x-4=1$.
……第二步
移项、合并同类项,得$3x=8$.
……第三步
解得$x=\frac{8}{3}$.
……第四步
经检验,$x=\frac{8}{3}$是原分式方程的解.
……第五步
(1)上面的解题过程是从第步开始出现错误的,这一步错误的原因是;
(2)请你帮这名同学解出这个分式方程.
解:去分母,得$x-3+2(x-2)=1$.
……第一步
去括号,得$x-3+2x-4=1$.
……第二步
移项、合并同类项,得$3x=8$.
……第三步
解得$x=\frac{8}{3}$.
……第四步
经检验,$x=\frac{8}{3}$是原分式方程的解.
……第五步
(1)上面的解题过程是从第步开始出现错误的,这一步错误的原因是;
(2)请你帮这名同学解出这个分式方程.
答案
(1) $\boldsymbol{一}$； 去分母时，未注意到$2-x=-(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$x-2$后，右边的结果应为$-1$，该同学错误得到1，不符合等式的基本性质
(2) 解：方程两边同乘$x-2$，得
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得
$3x = 6$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
(2) 解：方程两边同乘$x-2$，得
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得
$3x = 6$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
解析
【分析】
对于第(1)问，我们按照分式方程的求解步骤逐行核验：分式方程去分母前要先确定最简公分母，本题中两个分母$x-2$和$2-x$互为相反数，最简公分母为$x-2$，根据等式的基本性质，方程两边同乘$x-2$时，右侧的$\frac{1}{2-x}$乘$x-2$后结果应为$-1$，原解题第一步右侧写为$1$，因此第一步就出现错误，错误原因是去分母时符号处理失误。
对于第(2)问，正确求解需遵循分式方程的规范步骤：先去分母（注意符号变化），再解整式方程，最后代入最简公分母检验，若公分母为0则该根为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 观察解题过程，去分母步骤中，原方程右侧$\frac{1}{2-x}$同乘$x-2$后应为$-1$，但同学第一步误写为$1$，因此从第一步开始出错，错误原因是去分母时未注意$2-x=-(x-2)$，右侧项乘$x-2$后符号未改变，违背了等式的基本性质。
(2) 正确求解过程如下：
方程两边同乘最简公分母$x-2$，得：
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得：
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根，原分式方程无实数解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{一}$； 去分母时，未注意到$2-x=-(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$x-2$后，右边的结果应为$-1$，该同学错误得到1，不符合等式的基本性质
(2) 解：方程两边同乘$x-2$，得
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得
$3x = 6$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法、等式的基本性质、增根的检验
【点评】
本题是分式方程的基础易错题，重点考查去分母时的符号处理和增根检验步骤，这两个点也是学生求解分式方程时的高频失分点，熟练掌握后可有效提升分式方程解题的正确率。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，我们按照分式方程的求解步骤逐行核验：分式方程去分母前要先确定最简公分母，本题中两个分母$x-2$和$2-x$互为相反数，最简公分母为$x-2$，根据等式的基本性质，方程两边同乘$x-2$时，右侧的$\frac{1}{2-x}$乘$x-2$后结果应为$-1$，原解题第一步右侧写为$1$，因此第一步就出现错误，错误原因是去分母时符号处理失误。
对于第(2)问，正确求解需遵循分式方程的规范步骤：先去分母（注意符号变化），再解整式方程，最后代入最简公分母检验，若公分母为0则该根为增根，原方程无解。
【解析】
(1) 观察解题过程，去分母步骤中，原方程右侧$\frac{1}{2-x}$同乘$x-2$后应为$-1$，但同学第一步误写为$1$，因此从第一步开始出错，错误原因是去分母时未注意$2-x=-(x-2)$，右侧项乘$x-2$后符号未改变，违背了等式的基本性质。
(2) 正确求解过程如下：
方程两边同乘最简公分母$x-2$，得：
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得：
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得：
$3x = 6$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根，原分式方程无实数解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{一}$； 去分母时，未注意到$2-x=-(x-2)$，方程两边同乘最简公分母$x-2$后，右边的结果应为$-1$，该同学错误得到1，不符合等式的基本性质
(2) 解：方程两边同乘$x-2$，得
$x-3 + 2(x-2) = -1$
去括号，得
$x-3 + 2x - 4 = -1$
移项、合并同类项，得
$3x = 6$
解得
$x=2$
检验：当$x=2$时，原分式方程的分母$x-2=0$，因此$x=2$是原方程的增根。
所以原分式方程无解。
【知识点】
分式方程的解法、等式的基本性质、增根的检验
【点评】
本题是分式方程的基础易错题，重点考查去分母时的符号处理和增根检验步骤，这两个点也是学生求解分式方程时的高频失分点，熟练掌握后可有效提升分式方程解题的正确率。
【难度系数】
0.7
10. 提升题 甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件。
(1)求这种商品的单价.
(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同.则甲两次购买这种商品的平均单价是元，乙两次购买这种商品的平均单价是元.
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同（填“金额”或“油量”）加油更合算.
(1)求这种商品的单价.
(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同.则甲两次购买这种商品的平均单价是元，乙两次购买这种商品的平均单价是元.
(3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合(2)的计算结果，建议按相同（填“金额”或“油量”）加油更合算.
答案
(2) $\boldsymbol{48}$，$\boldsymbol{50}$；(3) $\boldsymbol{金额}$
解析
【分析】
(1) 求解商品单价可设单价为未知数，利用“甲购买的商品数量比乙少10件”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验。
(2) 先算出第二次采购的单价，平均单价的计算规则是两次采购的总金额除以两次采购的总数量，分别代入甲、乙的采购数据计算即可。
(3) 对比甲、乙的平均单价，平均单价更低的采购方式更合算，对应到加油场景选择对应方式即可。
【解析】
(1) 设这种商品的单价为$x$元。
根据题意列方程：$\dfrac{2400}{x}=\dfrac{3000}{x}-10$
方程两边同乘$x$得：$2400=3000-10x$
移项解得：$10x=600$，$x=60$
检验：当$x=60$时，$x≠0$，符合实际意义，故$x=60$是原方程的解。
(2) 第二次采购单价：$60-20=40$元
① 甲的平均单价：
第一次购买数量：$2400÷60=40$件，第二次购买数量：$2400÷40=60$件
总金额：$2400×2=4800$元，总数量：$40+60=100$件
平均单价：$4800÷100=48$元
② 乙的平均单价：
第一次购买数量：$3000÷60=50$件，第二次购买数量也是50件
总金额：$3000+50×40=5000$元，总数量：$50×2=100$件
平均单价：$5000÷100=50$元
(3) 因为$48＜50$，按相同金额采购的平均单价更低，所以按相同金额加油更合算。
【答案】
(1) 这种商品的单价为60元；(2) $\boldsymbol{48}$，$\boldsymbol{50}$；(3) $\boldsymbol{金额}$
【知识点】
分式方程的应用，平均数计算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考察数学知识的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，牢记平均单价的计算逻辑，能帮助大家理解不同消费方式的成本差异，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求解商品单价可设单价为未知数，利用“甲购买的商品数量比乙少10件”的等量关系列分式方程求解，注意解完要检验。
(2) 先算出第二次采购的单价，平均单价的计算规则是两次采购的总金额除以两次采购的总数量，分别代入甲、乙的采购数据计算即可。
(3) 对比甲、乙的平均单价，平均单价更低的采购方式更合算，对应到加油场景选择对应方式即可。
【解析】
(1) 设这种商品的单价为$x$元。
根据题意列方程：$\dfrac{2400}{x}=\dfrac{3000}{x}-10$
方程两边同乘$x$得：$2400=3000-10x$
移项解得：$10x=600$，$x=60$
检验：当$x=60$时，$x≠0$，符合实际意义，故$x=60$是原方程的解。
(2) 第二次采购单价：$60-20=40$元
① 甲的平均单价：
第一次购买数量：$2400÷60=40$件，第二次购买数量：$2400÷40=60$件
总金额：$2400×2=4800$元，总数量：$40+60=100$件
平均单价：$4800÷100=48$元
② 乙的平均单价：
第一次购买数量：$3000÷60=50$件，第二次购买数量也是50件
总金额：$3000+50×40=5000$元，总数量：$50×2=100$件
平均单价：$5000÷100=50$元
(3) 因为$48＜50$，按相同金额采购的平均单价更低，所以按相同金额加油更合算。
【答案】
(1) 这种商品的单价为60元；(2) $\boldsymbol{48}$，$\boldsymbol{50}$；(3) $\boldsymbol{金额}$
【知识点】
分式方程的应用，平均数计算，最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考察数学知识的实际应用，解题核心是找准等量关系列方程，牢记平均单价的计算逻辑，能帮助大家理解不同消费方式的成本差异，实用性较强。
【难度系数】
0.7
