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1. 解一元二次方程的相关概念
(1)使一元二次方程左右两边的值
(2)把一元二次方程的
2. 直接开平方法
(1)概念:利用平方根的意义,直接将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法.
(2)若$x^2=a(a≥0)$,则$x$叫作$a$的平方根,表示为$x=\pm\sqrt{a}$.
(1)使一元二次方程左右两边的值
相等
的未知数的值叫作一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.(2)把一元二次方程的
所有根
都求出来,叫作解一元二次方程.2. 直接开平方法
(1)概念:利用平方根的意义,直接将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法.
(2)若$x^2=a(a≥0)$,则$x$叫作$a$的平方根,表示为$x=\pm\sqrt{a}$.
答案
1.(1) 相等 (2) 所有根
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基础概念，属于识记类题目，结合方程相关的通用定义即可推导作答：
1. 第(1)空：所有方程的解的共同特征都是能让方程左右两边数值相等的未知数的值，一元二次方程的解也符合这个通用定义，它的解也可称为根。
2. 第(2)空：解方程的本质是求出方程所有符合要求的未知数的值，对应一元二次方程来说就是求出它的所有根，这个过程就叫作解一元二次方程。
【解析】
(1) 根据方程解的通用定义，能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就是一元二次方程的解，因此此处填“相等”。
(2) 按照解一元二次方程的定义，把一元二次方程的所有根都求出来的过程叫作解一元二次方程，因此此处填“所有根”。
【答案】
1.(1) 相等 (2) 所有根
【知识点】
一元二次方程的解的概念；解一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对教材基础定义的记忆和理解，熟练掌握基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基础概念，属于识记类题目，结合方程相关的通用定义即可推导作答：
1. 第(1)空：所有方程的解的共同特征都是能让方程左右两边数值相等的未知数的值，一元二次方程的解也符合这个通用定义，它的解也可称为根。
2. 第(2)空：解方程的本质是求出方程所有符合要求的未知数的值，对应一元二次方程来说就是求出它的所有根，这个过程就叫作解一元二次方程。
【解析】
(1) 根据方程解的通用定义，能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就是一元二次方程的解，因此此处填“相等”。
(2) 按照解一元二次方程的定义，把一元二次方程的所有根都求出来的过程叫作解一元二次方程，因此此处填“所有根”。
【答案】
1.(1) 相等 (2) 所有根
【知识点】
一元二次方程的解的概念；解一元二次方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对教材基础定义的记忆和理解，熟练掌握基础定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9
【例1】若$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x+m-1=0$的一个根，求$m$的值.
方法技巧 已知一元二次方程的一个根，求待定字母的值时，只要将这个根代入一元二次方程计算即可，但要保证二次项系数不为0.
方法技巧 已知一元二次方程的一个根，求待定字母的值时，只要将这个根代入一元二次方程计算即可，但要保证二次项系数不为0.
答案
解:将 $x=1$ 代入原方程,得 $1^2+2×1+m-1=0$,
$\therefore m+2=0$,
$\therefore m=-2$.
$\therefore m+2=0$,
$\therefore m=-2$.
解析
【分析】
解题时先明确一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知$x=1$是方程的根，因此将$x=1$代入原方程，就能得到仅含未知数$m$的一元一次方程，求解该方程即可得到$m$的值。本题二次项系数为1，天然满足不为0的要求，无需额外验证限制条件。
【解析】
将 $x=1$ 代入原方程，得：
$1^2+2×1+m-1=0$
化简得：$m+2=0$
解得：$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，核心考查“方程的根满足对应方程”的性质，将参数求解问题转化为一元一次方程求解即可，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.9
解题时先明确一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根。已知$x=1$是方程的根，因此将$x=1$代入原方程，就能得到仅含未知数$m$的一元一次方程，求解该方程即可得到$m$的值。本题二次项系数为1，天然满足不为0的要求，无需额外验证限制条件。
【解析】
将 $x=1$ 代入原方程，得：
$1^2+2×1+m-1=0$
化简得：$m+2=0$
解得：$m=-2$
【答案】
$m=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，核心考查“方程的根满足对应方程”的性质，将参数求解问题转化为一元一次方程求解即可，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.9
【变式1】关于x的一元二次方程$x^2 + bx -10=0$的一个根为2，则b的值为（
A.－3
B.2
C.3
D.7
C
）A.－3
B.2
C.3
D.7
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程的一个根为2，我们只需将x=2代入原方程，就能得到一个只含有未知数b的一元一次方程，解这个方程即可求出b的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$x^2 + bx -10=0$，可得：
$2^2 + 2b -10 = 0$
计算得：$4 + 2b -10 = 0$
化简得：$2b - 6 = 0$
移项求解得：$2b = 6$，即$b=3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，学会用代入法将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知方程的一个根为2，我们只需将x=2代入原方程，就能得到一个只含有未知数b的一元一次方程，解这个方程即可求出b的值。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=2代入方程$x^2 + bx -10=0$，可得：
$2^2 + 2b -10 = 0$
计算得：$4 + 2b -10 = 0$
化简得：$2b - 6 = 0$
移项求解得：$2b = 6$，即$b=3$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握方程根的定义，学会用代入法将已知根代入方程转化为关于参数的方程求解。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2026湘西期中)若$m$是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，则$2m^2 -6m$的值为（
A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
B
）A.1
B.2
C.$-1$
D.$-2$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入方程等式成立。先把x=m代入原方程得到关于m的等式，再观察待求代数式2m²-6m的结构，发现它是m²-3m的2倍，因此无需计算m的具体值，对得到的等式变形后整体代入即可求出结果。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程，得：$m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$，
对待求式变形可得：$2m^2 - 6m = 2(m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入上式，得：$2×1=2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，运用整体代入的思想可以避免求解方程根的复杂运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，那么将这个数代入方程等式成立。先把x=m代入原方程得到关于m的等式，再观察待求代数式2m²-6m的结构，发现它是m²-3m的2倍，因此无需计算m的具体值，对得到的等式变形后整体代入即可求出结果。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 3x -1=0$的一个根，
∴将x=m代入方程，得：$m^2 - 3m - 1 = 0$，
移项可得：$m^2 - 3m = 1$，
对待求式变形可得：$2m^2 - 6m = 2(m^2 - 3m)$，
将$m^2 - 3m = 1$代入上式，得：$2×1=2$。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的典型基础题，核心考查对一元二次方程根的定义的理解，运用整体代入的思想可以避免求解方程根的复杂运算，有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
【例2】解下列方程：
(1)$x^2 - 1 = 2$；
(2)$25x^2 - 16 = 0$；
(3)$(x - 1)^2 = 1$；
(4)$-\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$。
规律总结 用平方根的意义解一元二次方程，要通过移项、化简等步骤，把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式。
(1)$x^2 - 1 = 2$；
(2)$25x^2 - 16 = 0$；
(3)$(x - 1)^2 = 1$；
(4)$-\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$。
规律总结 用平方根的意义解一元二次方程，要通过移项、化简等步骤，把方程整理成左边是完全平方式、右边是常数的形式。
答案
解:(1)$x^2 - 1 = 2$,
$x^2 = 3$,
$x = \pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(2)$25x^2 = 16$,
$x^2 = \frac{16}{25}$,
$\therefore x_1=\frac{4}{5}$或$x_2=-\frac{4}{5}$.
(3)$(x-1)^2 = 1$,
$x-1 = \pm1$,
$\therefore x_1=0,x_2=2$.
(4)$-\frac{1}{3}(x-3)^2 = -4$,
$(x-3)^2 = 12$,
$x-3 = \pm2\sqrt{3}$,
$x = \pm2\sqrt{3}+3$,
$\therefore x_1=2\sqrt{3}+3,x_2=-2\sqrt{3}+3$.
$x^2 = 3$,
$x = \pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$.
(2)$25x^2 = 16$,
$x^2 = \frac{16}{25}$,
$\therefore x_1=\frac{4}{5}$或$x_2=-\frac{4}{5}$.
(3)$(x-1)^2 = 1$,
$x-1 = \pm1$,
$\therefore x_1=0,x_2=2$.
(4)$-\frac{1}{3}(x-3)^2 = -4$,
$(x-3)^2 = 12$,
$x-3 = \pm2\sqrt{3}$,
$x = \pm2\sqrt{3}+3$,
$\therefore x_1=2\sqrt{3}+3,x_2=-2\sqrt{3}+3$.
解析
【分析】
这4道一元二次方程都可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式；再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别解一元一次方程即可得到原方程的两个根，注意开平方时要同时考虑正、负两个平方根，避免漏解。
【解析】
(1) $x^2 - 1 = 2$，
移项得$x^2 = 3$，
根据平方根的意义，得$x = \pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
(2) $25x^2 - 16 = 0$，
移项得$25x^2 = 16$，
系数化为1得$x^2 = \frac{16}{25}$，
根据平方根的意义，得$x=\pm\frac{4}{5}$，
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$。
(3) $(x - 1)^2 = 1$，
根据平方根的意义，得$x-1 = \pm1$，
即$x-1=1$或$x-1=-1$，
解得$\therefore x_1=0,x_2=2$。
(4) $-\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$，
移项得$-\frac{1}{3}(x-3)^2 = -4$，
两边同乘$-3$得$(x-3)^2 = 12$，
根据平方根的意义，得$x-3 = \pm2\sqrt{3}$，
解得$x = 3\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3)$x_1=0,x_2=2$；
(4)$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的意义、一元二次方程的解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，核心是掌握“先将方程整理为完全平方式等于非负常数的形式，再开平方降次求解”的步骤，解题时注意不要漏掉负平方根，避免出现丢解的错误。
【难度系数】
0.8
这4道一元二次方程都可采用直接开平方法求解，解题思路如下：首先通过移项、系数化为1等操作，将方程变形为“完全平方式=非负常数”的形式；再根据平方根的定义，对等式两边同时开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程；最后分别解一元一次方程即可得到原方程的两个根，注意开平方时要同时考虑正、负两个平方根，避免漏解。
【解析】
(1) $x^2 - 1 = 2$，
移项得$x^2 = 3$，
根据平方根的意义，得$x = \pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
(2) $25x^2 - 16 = 0$，
移项得$25x^2 = 16$，
系数化为1得$x^2 = \frac{16}{25}$，
根据平方根的意义，得$x=\pm\frac{4}{5}$，
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$。
(3) $(x - 1)^2 = 1$，
根据平方根的意义，得$x-1 = \pm1$，
即$x-1=1$或$x-1=-1$，
解得$\therefore x_1=0,x_2=2$。
(4) $-\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 4 = 0$，
移项得$-\frac{1}{3}(x-3)^2 = -4$，
两边同乘$-3$得$(x-3)^2 = 12$，
根据平方根的意义，得$x-3 = \pm2\sqrt{3}$，
解得$x = 3\pm2\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；
(2)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{4}{5}$；
(3)$x_1=0,x_2=2$；
(4)$x_1=3+2\sqrt{3},x_2=3-2\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的意义、一元二次方程的解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，核心是掌握“先将方程整理为完全平方式等于非负常数的形式，再开平方降次求解”的步骤，解题时注意不要漏掉负平方根，避免出现丢解的错误。
【难度系数】
0.8
