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【变式】两个连续正整数的积等于12，其中较小的一个正整数是$x$，则可列方程为（
A.$x(x+1)=12$
B.$x(x+2)=12$
C.$x(x-1)=12$
D.$x(x-2)=12$
A
）A.$x(x+1)=12$
B.$x(x+2)=12$
C.$x(x-1)=12$
D.$x(x-2)=12$
答案
【变式】 A
解析
【分析】
首先从题干提取关键信息：已知较小的正整数为x，两个数是连续正整数，连续正整数的差值为1，因此先推导出较大正整数的表达式，再结合“两个数的积为12”的等量关系列出方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 较小的正整数是x，两个数为连续正整数，
∴ 较大的正整数为$x+1$，
又
∵ 两个连续正整数的积等于12，
∴ 可列方程为$x(x+1)=12$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
连续整数的表示；根据实际问题列一元二次方程
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是掌握连续正整数之间的数量关系，再结合题干给出的等量关系列方程即可，是方程实际应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
首先从题干提取关键信息：已知较小的正整数为x，两个数是连续正整数，连续正整数的差值为1，因此先推导出较大正整数的表达式，再结合“两个数的积为12”的等量关系列出方程，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 较小的正整数是x，两个数为连续正整数，
∴ 较大的正整数为$x+1$，
又
∵ 两个连续正整数的积等于12，
∴ 可列方程为$x(x+1)=12$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
连续整数的表示；根据实际问题列一元二次方程
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的关键是掌握连续正整数之间的数量关系，再结合题干给出的等量关系列方程即可，是方程实际应用的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
1. (2026 张家界期末)下列四个方程中，是一元二次方程的是（
A.$y+3=x+5$
B.$x^2=4$
C.$\frac{5}{x}=3$
D.$x+2=6-x$
B
）A.$y+3=x+5$
B.$x^2=4$
C.$\frac{5}{x}=3$
D.$x+2=6-x$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将四个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：方程只含未知数x，x的最高次数是2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
C选项：方程分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：整理后可得$2x=4$，未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元二次方程的三个判定要素，排查选项时要注意先判断是否为整式方程，再看未知数的个数和最高次数，避免因忽略分母含未知数的情况出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的判定标准，需同时满足三个条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程（分母不含未知数）。解题时只需将四个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：方程含有x、y两个未知数，属于二元一次方程，不符合一元二次方程定义，排除；
B选项：方程只含未知数x，x的最高次数是2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
C选项：方程分母含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：整理后可得$2x=4$，未知数x的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合要求，排除。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程判定、方程类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握一元二次方程的三个判定要素，排查选项时要注意先判断是否为整式方程，再看未知数的个数和最高次数，避免因忽略分母含未知数的情况出错。
【难度系数】
0.9
2. (2026郴州期中)关于x的方程$x^m - mx -1=0$是一元二次方程，则$m=$（
A.2或-2
B.2
C.-2
D.0
B
）A.2或-2
B.2
C.-2
D.0
答案
2. B
解析
【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先根据“未知数最高次数为2”得到m的可能取值，再结合“整式方程”“二次项系数不为0”的要求排除错误取值，最终确定m的正确值。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^m - mx -1=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下要求：
1. 方程为整式方程：未知数x的次数必须为非负整数，因此m不能为负数，排除$m=-2$的情况；
2. 未知数x的最高次数为2，因此$m=2$；
3. 二次项系数不为0：本题中$x^m$的系数为1，$1≠0$，符合要求。
当$m=2$时，方程为$x^2 -2x -1=0$，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一元二次方程必须为整式方程的要求，误将$m=-2$也作为正确答案，解题时要完整对应一元二次方程的所有判定条件逐一验证，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确一元二次方程的判定条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时先根据“未知数最高次数为2”得到m的可能取值，再结合“整式方程”“二次项系数不为0”的要求排除错误取值，最终确定m的正确值。
【解析】
解：
∵ 关于x的方程$x^m - mx -1=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下要求：
1. 方程为整式方程：未知数x的次数必须为非负整数，因此m不能为负数，排除$m=-2$的情况；
2. 未知数x的最高次数为2，因此$m=2$；
3. 二次项系数不为0：本题中$x^m$的系数为1，$1≠0$，符合要求。
当$m=2$时，方程为$x^2 -2x -1=0$，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一元二次方程必须为整式方程的要求，误将$m=-2$也作为正确答案，解题时要完整对应一元二次方程的所有判定条件逐一验证，避免漏判出错。
【难度系数】
0.7
3. (2025邵阳期中)一元二次方程$x^2 - 2(x - 1)=2$的一般形式是（
A.$x^2 - 2x + 1=0$
B.$x^2 - 2x -1=0$
C.$x^2 -2x=0$
D.$(x-1)^2=0$
C
）A.$x^2 - 2x + 1=0$
B.$x^2 - 2x -1=0$
C.$x^2 -2x=0$
D.$(x-1)^2=0$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项整理为一般形式，最后对应选项即可，运算时注意去括号的符号规则和移项要变号。
【解析】
原方程为：$x^2 - 2(x - 1)=2$
1. 去括号：根据去括号法则，括号前为负号时括号内各项变号，得$x^2 - 2x + 2 = 2$
2. 移项：将等号右侧的2移到左侧，符号变为负，得$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$
3. 合并同类项：常数项$+2$和$-2$抵消，整理得$x^2 - 2x = 0$，即为原方程的一般形式。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号与合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，只要熟练掌握整式运算的基本规则，注意运算过程中的符号变化，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题时先对原方程去括号，再将所有项移到等号左侧，合并同类项整理为一般形式，最后对应选项即可，运算时注意去括号的符号规则和移项要变号。
【解析】
原方程为：$x^2 - 2(x - 1)=2$
1. 去括号：根据去括号法则，括号前为负号时括号内各项变号，得$x^2 - 2x + 2 = 2$
2. 移项：将等号右侧的2移到左侧，符号变为负，得$x^2 - 2x + 2 - 2 = 0$
3. 合并同类项：常数项$+2$和$-2$抵消，整理得$x^2 - 2x = 0$，即为原方程的一般形式。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 去括号与合并同类项
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程一般形式的整理方法，只要熟练掌握整式运算的基本规则，注意运算过程中的符号变化，就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
4.将下列一元二次方程化为一般形式,指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$5x-8=3x^2$；
(2)$2x(x-1)=3(x+5)+3.$
(1)$5x-8=3x^2$；
(2)$2x(x-1)=3(x+5)+3.$
答案
4. 解:(1)$\because 5x-8=3x^2$,
$\therefore 3x^2 -5x +8=0$,
∴方程的一般形式为 $3x^2 -5x +8=0$,二次项系数为 3,一次项系数为-5,常数项为 8.
(2)$\because 2x(x-1)=3(x+5)+3$,
$\therefore 2x^2 -2x =3x +15 +3$,
$\therefore 2x^2 -5x -18=0$,
∴方程的一般形式为 $2x^2 -5x -18=0$,二次项系数为 2,一次项系数为-5,常数项为-18.
$\therefore 3x^2 -5x +8=0$,
∴方程的一般形式为 $3x^2 -5x +8=0$,二次项系数为 3,一次项系数为-5,常数项为 8.
(2)$\because 2x(x-1)=3(x+5)+3$,
$\therefore 2x^2 -2x =3x +15 +3$,
$\therefore 2x^2 -5x -18=0$,
∴方程的一般形式为 $2x^2 -5x -18=0$,二次项系数为 2,一次项系数为-5,常数项为-18.
解析
【分析】
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先处理带括号的方程：根据去括号法则去掉括号，再把所有项移到等号的左侧，使等号右侧为0，合并同类项后按$x$的降幂排列得到一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含前面的正负符号。
【解析】
(1) 已知$5x-8=3x^2$，
移项得$3x^2 -5x +8=0$，
即方程的一般形式为$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为8。
(2) 已知$2x(x-1)=3(x+5)+3$，
先去括号得：$2x^2 -2x =3x +15 +3$，
移项、合并同类项得：$2x^2 -5x -18=0$，
即方程的一般形式为$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-18。
【答案】
(1) 一般形式：$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数3，一次项系数-5，常数项8；
(2) 一般形式：$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数2，一次项系数-5，常数项-18。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式化简运算；移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察一般形式的转化规范，解题时需注意移项要变号，去括号不要漏乘项，确定系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先处理带括号的方程：根据去括号法则去掉括号，再把所有项移到等号的左侧，使等号右侧为0，合并同类项后按$x$的降幂排列得到一般形式，最后对应提取各项系数即可，注意系数要包含前面的正负符号。
【解析】
(1) 已知$5x-8=3x^2$，
移项得$3x^2 -5x +8=0$，
即方程的一般形式为$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为8。
(2) 已知$2x(x-1)=3(x+5)+3$，
先去括号得：$2x^2 -2x =3x +15 +3$，
移项、合并同类项得：$2x^2 -5x -18=0$，
即方程的一般形式为$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数为2，一次项系数为-5，常数项为-18。
【答案】
(1) 一般形式：$3x^2 -5x +8=0$，二次项系数3，一次项系数-5，常数项8；
(2) 一般形式：$2x^2 -5x -18=0$，二次项系数2，一次项系数-5，常数项-18。
【知识点】
一元二次方程的一般形式；整式化简运算；移项法则
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，重点考察一般形式的转化规范，解题时需注意移项要变号，去括号不要漏乘项，确定系数时不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9
5. 从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽$\frac{4}{3}$ m，竖着比城门高$\frac{2}{3}$ m，一个聪明人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，求竹竿的长度. 若设竹竿长$x$ m，则根据题意可列方程为 （
A.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
B.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
C.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
D.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
B
）A.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
B.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
C.$(x-\frac{4}{3})^2 + (x+\frac{2}{3})^2 = x^2$
D.$(x+\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
答案
5. B
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的勾股定理应用类题目，解题思路分三步：第一步先明确各量之间的数量关系，第二步确定直角三角形的三边对应量，第三步根据勾股定理列方程。首先，竹竿横着比城门宽多$\frac{4}{3}$m，说明城门的宽 = 竹竿长度 - $\frac{4}{3}$m；竖着比城门高多$\frac{2}{3}$m，说明城门的高 = 竹竿长度 - $\frac{2}{3}$m。其次，长方形城门的对角线、宽、高刚好构成直角三角形，斜着拿竹竿刚好进去，说明竹竿长度就是对角线长度，也就是直角三角形的斜边。最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
设竹竿长为$x$ m：
1. 求城门宽：因为竹竿横拿比城门宽多$\frac{4}{3}$ m，所以城门宽为$(x-\frac{4}{3})$ m；
2. 求城门高：因为竹竿竖拿比城门高多$\frac{2}{3}$ m，所以城门高为$(x-\frac{2}{3})$ m；
3. 斜拿竹竿刚好进城，说明竹竿长度等于长方形城门的对角线长度，城门的宽、高与对角线构成直角三角形，宽和高为直角边，对角线为斜边。根据勾股定理可得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
因此符合题意的方程是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；根据实际问题列方程
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础题型，解题核心是准确梳理出城门宽、高与竹竿长度的数量关系，再结合直角三角形的三边关系列方程即可，只要审题时不搞反数量的大小关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
这是一道结合生活场景的勾股定理应用类题目，解题思路分三步：第一步先明确各量之间的数量关系，第二步确定直角三角形的三边对应量，第三步根据勾股定理列方程。首先，竹竿横着比城门宽多$\frac{4}{3}$m，说明城门的宽 = 竹竿长度 - $\frac{4}{3}$m；竖着比城门高多$\frac{2}{3}$m，说明城门的高 = 竹竿长度 - $\frac{2}{3}$m。其次，长方形城门的对角线、宽、高刚好构成直角三角形，斜着拿竹竿刚好进去，说明竹竿长度就是对角线长度，也就是直角三角形的斜边。最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
设竹竿长为$x$ m：
1. 求城门宽：因为竹竿横拿比城门宽多$\frac{4}{3}$ m，所以城门宽为$(x-\frac{4}{3})$ m；
2. 求城门高：因为竹竿竖拿比城门高多$\frac{2}{3}$ m，所以城门高为$(x-\frac{2}{3})$ m；
3. 斜拿竹竿刚好进城，说明竹竿长度等于长方形城门的对角线长度，城门的宽、高与对角线构成直角三角形，宽和高为直角边，对角线为斜边。根据勾股定理可得：
$(x-\frac{4}{3})^2 + (x-\frac{2}{3})^2 = x^2$
因此符合题意的方程是B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的应用；根据实际问题列方程
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础题型，解题核心是准确梳理出城门宽、高与竹竿长度的数量关系，再结合直角三角形的三边关系列方程即可，只要审题时不搞反数量的大小关系就不易出错。
【难度系数】
0.8
6. 根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式.
(1)一个聊天群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生了132条消息，求x的值.
(2)某超市营业员在卖某种零食时发现，当这种零食以每盒50元销售时，每天可以售出30盒.若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知这种零食的成本是每盒30元，如果超市卖这种零食一天能盈利1 000元，求这种零食每盒降低的价格x元.
(1)一个聊天群里共有x个好友，每个好友都分别给其他好友发了一条消息，这样一共产生了132条消息，求x的值.
(2)某超市营业员在卖某种零食时发现，当这种零食以每盒50元销售时，每天可以售出30盒.若单价每降低1元，每天就可以多售出4盒，已知这种零食的成本是每盒30元，如果超市卖这种零食一天能盈利1 000元，求这种零食每盒降低的价格x元.
答案
6. 解:(1)根据题意,得 $x(x-1)=132$,
化为一般形式为 $x^2 -x -132=0$.
(2)根据题意,得$(50-30-x)(30+4x)=1000$,
化为一般形式为 $2x^2 -25x +200=0$.
化为一般形式为 $x^2 -x -132=0$.
(2)根据题意,得$(50-30-x)(30+4x)=1000$,
化为一般形式为 $2x^2 -25x +200=0$.
解析
【分析】
（1）解决第一问需先理清数量关系：每个好友需要给除自己外的其余$(x-1)$个好友发消息，$x$个好友发送的总消息数等于132，据此列方程后整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
（2）解决第二问要用到销售问题核心等量关系：总盈利=每盒利润×销售总数量。先表示出降价$x$元后每盒的利润为$(50-30-x)$元，再表示出降价后的日销量为$(30+4x)$盒，两者乘积等于总盈利1000元，列方程后展开、移项整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 每个好友发送$(x-1)$条消息，总共有$x$个好友，依题意得：
$x(x-1)=132$
展开移项化为一般形式：
$x^2 -x -132=0$
(2) 降价$x$元后，每盒零食的利润为$(50-30-x)$元，每天的销量为$(30+4x)$盒，根据总盈利=单盒利润×销量得：
$(50-30-x)(30+4x)=1000$
先展开左边：$20×30 + 20×4x - 30x - 4x^2 = 600 + 50x - 4x^2$
移项、合并同类项后整理为一般形式：
$2x^2 -25x +200=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-1)=132$，一般形式为$x^2 -x -132=0$；
(2) 所列方程为$(50-30-x)(30+4x)=1000$，一般形式为$2x^2 -25x +200=0$。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的一般形式，销售利润问题
【点评】
本题属于基础应用类题型，重点考查从实际场景中提取等量关系列写一元二次方程的能力，只要找准数量关系，掌握一元二次方程一般形式的化简规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需先理清数量关系：每个好友需要给除自己外的其余$(x-1)$个好友发消息，$x$个好友发送的总消息数等于132，据此列方程后整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
（2）解决第二问要用到销售问题核心等量关系：总盈利=每盒利润×销售总数量。先表示出降价$x$元后每盒的利润为$(50-30-x)$元，再表示出降价后的日销量为$(30+4x)$盒，两者乘积等于总盈利1000元，列方程后展开、移项整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 每个好友发送$(x-1)$条消息，总共有$x$个好友，依题意得：
$x(x-1)=132$
展开移项化为一般形式：
$x^2 -x -132=0$
(2) 降价$x$元后，每盒零食的利润为$(50-30-x)$元，每天的销量为$(30+4x)$盒，根据总盈利=单盒利润×销量得：
$(50-30-x)(30+4x)=1000$
先展开左边：$20×30 + 20×4x - 30x - 4x^2 = 600 + 50x - 4x^2$
移项、合并同类项后整理为一般形式：
$2x^2 -25x +200=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-1)=132$，一般形式为$x^2 -x -132=0$；
(2) 所列方程为$(50-30-x)(30+4x)=1000$，一般形式为$2x^2 -25x +200=0$。
【知识点】
一元二次方程的应用，一元二次方程的一般形式，销售利润问题
【点评】
本题属于基础应用类题型，重点考查从实际场景中提取等量关系列写一元二次方程的能力，只要找准数量关系，掌握一元二次方程一般形式的化简规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
