1. 若反比例函数$y=\dfrac{m-1}{x}$的图象在第二、四象限，则$m$的取值范围是（）

A.$m＞1$
B.$m≥ 1$
C.$m＜1$
D.$m≤ 1$

1. C 由题意,得 $m-1＜0$,解得 $m＜1$.

【分析】
这道题的核心考点是反比例函数的图像性质，解题思路如下：首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$）的图像分布规律：当比例系数$k＞0$时，图像位于第一、三象限；当比例系数$k＜0$时，图像位于第二、四象限。题目明确给出该反比例函数图像在第二、四象限，因此可以直接得到对应的比例系数$m-1$需要满足小于0的条件，同时反比例函数要求比例系数不能为0，因此不需要取等号，列出一元一次不等式求解即可得到$m$的取值范围，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$），其图像所在象限由比例系数$k$的符号决定：
已知该函数图像在第二、四象限，因此比例系数满足$k＜0$。
本题中反比例函数为$y=\dfrac{m-1}{x}$，对应比例系数$k=m-1$，因此列不等式：
$m-1＜0$
移项解得：$m＜1$。
因此$m$的取值范围是$m＜1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数性质，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，直接考察比例系数符号与图像象限的对应关系，易错点是误给不等式添加等号，要注意当$m=1$时，函数变为$y=0$，不再是反比例函数，因此$m$不能取1，不能错选D选项。
【难度系数】
0.9

2. [2025 浙江中考]已知反比例函数 $y=\dfrac{-7}{x}$. 下列选项中正确的是（）

A.函数图象在第一、三象限
B.$y$ 随 $x$ 的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$ 随 $x$ 的增大而增大

2. C $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{-7}{x}$,$k=-7＜0$,$\therefore$ 函数图象在第二、四象限,在每一象限内 $y$ 随 $x$ 的增大而增大.

【分析】
这道题考查反比例函数的基础性质，解题思路非常清晰：首先从给定的反比例函数解析式中确定比例系数k的取值，再对照反比例函数的图象分布、增减性的相关性质，逐一判断每个选项的正误即可。我们可以先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质：当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。同时要注意，反比例函数的增减性是分象限讨论的，不能脱离“同一象限”的前提直接描述整体的增减性，这是这类题最常见的易错点。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\dfrac{-7}{x}$，可得比例系数$k=-7$，显然$k=-7＜0$。
1. 判断图象分布：根据反比例函数性质，当$k＜0$时，函数图象分布在第二、四象限，因此选项A错误，选项C正确。
2. 判断增减性：对于$k＜0$的反比例函数，仅在每一个象限内满足y随x的增大而增大，不能脱离“同一象限”的前提直接描述整个定义域内y随x的变化规律：例如取$x_1=-1$，对应$y_1=7$；取$x_2=1$，对应$y_2=-7$，此时$x_2＞x_1$，但$y_2＜y_1$，并不满足y随x增大而增大。因此选项B、D的描述都缺少必要前提，均错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质；反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数的基础考题，核心易错点是很多同学会忽略反比例函数增减性的适用范围是“同一象限内”，误选D选项。解题时要牢记反比例函数的图象分布和增减性的对应规律，注意增减性描述的限定条件，避免概念理解疏漏。
【难度系数】
0.8

3. 易错题 点 $A(-2,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,当 $1＜x＜4$ 时,$y$ 的取值范围是.

3. $-2＜y＜-\dfrac{1}{2}$ $\because$ 点 $A(-2,1)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=-2×1=-2$. $\therefore y=-\dfrac{2}{x}$. 当 $x=1$ 时,$y=-2$;当 $x=4$ 时,$y=-\dfrac{1}{2}$. $\because k=-2＜0$,$\therefore$ 当 $x＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大. $\therefore$ 当 $1＜x＜4$ 时,$y$ 的取值范围是$-2＜y＜-\dfrac{1}{2}$.

【分析】
这道题的解题思路非常清晰：第一步，已知点在反比例函数图像上，直接将点的坐标代入解析式，用待定系数法求出k的值，确定反比例函数的完整表达式；第二步，观察给定的x的取值范围1＜x＜4，所有x都大于0，先判断k的正负，确定反比例函数在x＞0这个分支上的增减性；第三步，把x的两个边界值分别代入解析式，算出对应的y值，再结合函数的增减性，对应得到y的取值范围，这里要注意k为负时的增减规律，避免把y的范围写反。
【解析】
解：
1. 确定反比例函数解析式
将点A(-2,1)代入$y=\dfrac{k}{x}$，可得：
$1=\dfrac{k}{-2}$，解得$k=-2×1=-2$，
因此反比例函数的解析式为$y=-\dfrac{2}{x}$。
2. 判断指定区间的增减性
由于$k=-2＜0$，反比例函数图象分布在第二、四象限，且在$x＞0$的第四象限分支上，y随x的增大而增大。
3. 代入x的边界值计算对应y值
当$x=1$时，代入解析式得$y=-\dfrac{2}{1}=-2$；
当$x=4$时，代入解析式得$y=-\dfrac{2}{4}=-\dfrac{1}{2}$。
4. 推导y的取值范围
结合$1＜x＜4$，以及$x＞0$时y随x增大而增大的性质，可得y的取值范围。
【答案】
$-2＜y＜-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数；反比例函数增减性
【点评】
本题是反比例函数的典型易错题，不少同学会忽略k为负数时的增减规律，错误将y的取值范围写反，解题时要先明确自变量所在区间对应的函数分支，结合增减性推导因变量范围，不要直接对不等式做变形、忽略不等号方向的变化。
【难度系数】
0.6

4. (1) 若反比例函数 $y=(a-1) x^{a^{2}-5}$ 的图象在每个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 则 $a$ 的值是.
(2) [2025 武汉中考]在平面直角坐标系中, 某反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象分别位于第一、三象限.写出一个满足条件的 $k$ 的值:.

4. (1) $-2$ $\because$ 反比例函数 $y=(a-1) x^{a^{2}-5}$ 的图象在每个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore \begin{cases}a-1＜0,\\a^2-5=-1,\end{cases}$ 解得 $a=-2$. (2) 1(答案不唯一) $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象分别位于第一、三象限,$\therefore k＞0$. $\therefore k=1$(答案不唯一).

【分析】
我们分两小问来梳理解题思路：
1. 第(1)问首先要紧扣反比例函数的定义：反比例函数的自变量x的次数必须为-1，且比例系数不能为0；再结合题目给出的“每个象限内y随x增大而增大”的增减性条件，可推出比例系数为负数，联立方程和不等式求解后筛选出符合条件的a即可。
2. 第(2)问是开放题，根据反比例函数图象的分布规律，图象位于第一、三象限时比例系数k＞0，任意选取一个大于0的数都满足要求。
【解析】
(1) 已知$y=(a-1) x^{a^{2}-5}$是反比例函数，且在每个象限内y随x的增大而增大，根据反比例函数的定义和性质列约束条件：
$\begin{cases}a^2 - 5 = -1 \\a - 1 ＜ 0\end{cases}$
先求解方程$a^2 -5 = -1$，得$a^2=4$，即$a=2$或$a=-2$；
再结合不等式$a-1＜0$（即$a＜1$），排除不符合条件的$a=2$，最终得到$a=-2$。
(2) 已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分别位于第一、三象限，根据反比例函数的图象性质可得$k＞0$，任意取一个正数值都符合要求，例如取$k=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；(2) $\boldsymbol{1}$（答案不唯一，任意正实数均可）
【知识点】
反比例函数定义；反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，整体难度不高，易错点集中在第(1)问，部分同学容易只根据自变量次数为-1算出$a=\pm2$，忽略“y随x增大而增大”对应的比例系数小于0的限制条件，错写a=2，解题时要注意同时满足定义和性质的双重要求。
【难度系数】
0.8

5. [2024 盐城二模]画出反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象,并结合图象,求:
(1) 当$x=2$时,$y$的值.
(2) 当$1 ＜ x ≤ 4$时,$y$的取值范围.
(3) 当$-1 ≤ y ＜ 4$且$y ≠ 0$时,$x$的取值范围.

5. 作出反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象如图所示. （1）把 $x=2$ 代入 $y=-\dfrac{4}{x}$,得 $y=-\dfrac{4}{2}=-2$. （2）当 $x=1$ 时,$y=-4$;当 $x=4$ 时,$y=-1$. 由图象可知,当 $1＜x≤4$ 时,$y$ 的取值范围是$-4＜y≤-1$. （3）当 $y=-1$ 时,$x=4$;当 $y=4$ 时,$x=-1$. 由图象可知,当 $-1≤ y＜4$ 且 $y≠0$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜-1$ 或 $x≥4$.
（第5题）

【分析】
我们可以按照从画图到分步求解的思路来解题：首先回忆反比例函数图象的绘制方法，通过列表、描点、连线画出$y=-\dfrac{4}{x}$的双曲线图象。接下来逐个处理三个问题：
1. 第一问已知x的值求y，直接将x代入函数解析式做基础的代入计算即可。
2. 第二问已知x的区间求y的范围，先算出区间两个端点对应的y值，再结合该反比例函数k=-4＜0的性质，它在每个象限内y随x增大而增大，对应匹配x的开闭区间，就能得到y的取值范围，注意等号要和原x的可取值端点对应。
3. 第三问反过来已知y的范围求x的范围，先算出边界y值对应的x值，由于该函数的两个分支分别在第二、第四象限，y的范围同时覆盖了正、负两段非零区间，需要分别在两个分支上分析对应的x范围，最后合并得到完整结果。
【解析】
首先绘制反比例函数$y=-\dfrac{4}{x}$的图象：
① 列表：选取非零的x值如-4、-2、-1、1、2、4，计算得到对应y值为1、2、4、-4、-2、-1；
② 描点：在平面直角坐标系中标出上述坐标点；
③ 连线：分别在第二象限、第四象限用平滑曲线连接对应点，得到两支双曲线，即为所求函数图象。
接下来求解三个小问：
(1) 将$x=2$代入解析式$y=-\dfrac{4}{x}$，计算得：
$y=-\dfrac{4}{2}=-2$。
(2) 计算区间端点的函数值：
当$x=1$时，$y=-\dfrac{4}{1}=-4$；
当$x=4$时，$y=-\dfrac{4}{4}=-1$。
由于$k=-4＜0$，该函数在第四象限内y随x增大而增大，结合条件$1＜x≤4$，可得y的取值范围为$-4＜y≤-1$。
(3) 计算边界y值对应的x值：
当$y=-1$时，代入解析式得$-1=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=4$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=-\dfrac{4}{x}$，解得$x=-1$。
结合图象分分支分析：
第四象限分支中y取$[-1,0)$时，对应$x≥4$；
第二象限分支中y取$(0,4)$时，对应$x＜-1$；
合并后得到x的取值范围是$x＜-1$或$x≥4$。
【答案】
作出反比例函数 $y=-\dfrac{4}{x}$ 的图象如图所示. （1）$y=-2$. （2）当 $1＜x≤4$ 时,$y$ 的取值范围是$-4＜y≤-1$. （3）当$-1≤ y＜4$ 且 $y ≠ 0$ 时,$x$ 的取值范围是 $x＜-1$ 或 $x≥4$.
【知识点】
反比例函数图象绘制
反比例函数增减性
函数范围对应转换
【点评】
本题属于反比例函数的基础常规题型，重点考察对反比例函数图象和性质的掌握，要注意k＜0时的增减性仅在同一象限内成立，不能跨象限套用规律，第三问已知y的范围求x的范围时，要拆分两个象限的分支分别分析，避免漏解或者等号标注错误，是学生容易出现失误的考点。
【难度系数】
0.7

6. 在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx+3$和$y=\dfrac{k}{x}$的图象大致是（）

6. B 当 $k＞0$ 时,函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象位于第一、三象限,函数 $y=kx+3$ 的图象经过第一、二、三象限,故选项 B 符合题意,选项 C 不符合题意. 当 $k＜0$ 时,函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象位于第二、四象限,函数 $y=kx+3$ 的图象经过第一、二、四象限,故选项 A,D 都不符合题意.

【分析】
这道题需要同时判断一次函数和反比例函数的图像，核心是两个函数里的参数k是同一个值，符号必须保持一致。我们可以按如下思路解题：首先观察一次函数y=kx+3的常数项是3，说明它和y轴的交点一定在y轴正半轴，先快速排除明显不符合的选项；之后再分别假设k＞0和k＜0，对应判断反比例函数的图像所在象限，验证是否和一次函数体现的k的符号一致，矛盾的选项直接排除，剩下的就是正确答案。
【解析】
我们分两种情况对参数k的符号进行讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx+3$中，$k＞0$说明直线从左下向右上倾斜，截距$3＞0$说明直线与y轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、三象限，对比选项，此时B符合特征，C不符合。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx+3$中，$k＜0$说明直线从左上向右下倾斜，截距$3＞0$说明直线与y轴交于正半轴，因此一次函数图象经过第一、二、四象限，对比选项，A中直线与y轴交于负半轴、D中直线与y轴交于负半轴，均不符合该特征，排除A、D。
综上只有选项B满足所有条件。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图像性质，反比例函数图像性质
【点评】
本题是两类函数图像的综合判断题，核心利用分类讨论思想，抓住两个函数中参数k的符号一致性作为判断依据，还可以通过一次函数的y轴截距为正这个隐含条件快速排除A、D两个错误选项，有效提升解题效率，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

7. 已知反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$-2≤ x≤-1$时，$y$的最大值是$6$，则当$x≥2$时，$y$有 （）

A.最小值$-6$
B.最小值$-3$
C.最大值$-6$
D.最大值$-3$

7. B $\because$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,当 $-2≤ x≤-1$ 时,$y$ 的最大值是 $6$,$\therefore$ 此函数图象的一个分支在第二象限,$y$ 随 $x$ 的增大而增大. $\therefore$ 当 $x=-1$ 时,$y=6$. $\therefore k=-1×6=-6$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{6}{x}$. $\because$ 当 $x≥2$ 时,函数图象位于第四象限,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ 当 $x≥2$ 时,$y$ 有最小值,$y_{\mathrm{最小}}=-\dfrac{6}{2}=-3$.

【分析】
解题时首先要判断反比例函数系数k的正负：已知给定的x范围是-2≤x≤-1，所有x均为负数，这个区间内y的最大值是6（正数），说明x为负时y为正，因此k=xy＜0。接下来根据k＜0时反比例函数的性质：在每个象限内，y随x的增大而增大，所以在[-2,-1]这个区间里，最大的y值对应区间里最大的x，也就是x=-1时y=6，代入解析式就能求出k的值，得到完整的反比例函数表达式。之后再分析x≥2的区间，此时x均为正数，对应函数图像在第四象限，再结合k＜0时的增减性，就能推出这个区间内y的最值情况，算出最终结果。
【解析】
解：①判断k的符号与对应分支性质：
已知当$-2≤ x≤-1$时，y的最大值为6＞0，该区间内x全为负数，说明x＜0时y＞0，因此$k=xy＜0$，反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大。
②求k的值：
在区间$-2≤ x≤-1$中，x的最大值为-1，结合y随x增大而增大，可知当x=-1时，y取得最大值6，将x=-1，y=6代入$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$6=\dfrac{k}{-1}$，解得$k=-6$，因此反比例函数解析式为$y=-\dfrac{6}{x}$。
③分析$x≥2$时的最值：
当$x≥2$时，x全为正数，对应函数图象的分支在第四象限，该分支内y随x的增大而增大，因此当x取区间最小值2时，y取得最小值，代入x=2得：
$y_{\mathrm{最小}}=-\dfrac{6}{2}=-3$，即当$x≥2$时，y有最小值-3。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数增减性，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题核心考察反比例函数的性质应用，易错点有两个：一是容易忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，错把区间端点对应的最值位置搞反；二是容易误判k的正负，导致后续增减性分析完全错误。解题时要先根据给定区间的x、y符号判断k的正负，再结合对应分支的增减性确定最值对应的自变量取值，避免跨象限误用增减性。
【难度系数】
0.6