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8. 若点$P(-1,m-3)$在第三象限，则反比例函数$y=\dfrac{m-4}{x}$的图象在第
二、四
象限.答案
8. 二、四 $\because$ 点 $P(-1,m-3)$ 在第三象限,$\therefore m-3＜0$,解得 $m＜3$. $\therefore m-4＜0$. $\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{m-4}{x}$ 的图象在第二、四象限.
解析
【分析】
解题时我们可以分两步走：第一步先根据第三象限内点的坐标特征，得到点P的纵坐标小于0，列出不等式求出m的取值范围；第二步根据得到的m的范围，推导反比例函数的比例系数k=m-4的正负，再结合反比例函数的图象性质，就能直接判断出函数图象所在的象限。
【解析】
解：
1. 利用第三象限点的坐标性质求m的范围
平面直角坐标系中，第三象限内所有点的横、纵坐标均为负数，已知点$P(-1,m-3)$在第三象限，其横坐标-1已经为负，因此纵坐标满足：
$m-3 ＜ 0$
解得：$m ＜ 3$
2. 判断反比例函数比例系数的符号
由$m ＜ 3$，两边同时减去4可得：
$m-4 ＜ 3-4$，即$m-4 ＜ 0$
3. 根据反比例函数性质判断图象象限
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当比例系数$k＜0$时，函数的图象分布在第二、第四象限。本题中反比例函数的比例系数$k=m-4＜0$，因此该函数的图象在第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
象限内点的坐标特征，反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题型，将平面直角坐标系点的坐标特征和反比例函数基础性质结合考察，解题的核心逻辑是通过点的位置先锁定参数的取值范围，再推导反比例比例系数的正负，整体难度低，能帮助学生巩固两个基础知识点的关联应用。
【难度系数】
0.8
解题时我们可以分两步走：第一步先根据第三象限内点的坐标特征，得到点P的纵坐标小于0，列出不等式求出m的取值范围；第二步根据得到的m的范围，推导反比例函数的比例系数k=m-4的正负，再结合反比例函数的图象性质，就能直接判断出函数图象所在的象限。
【解析】
解：
1. 利用第三象限点的坐标性质求m的范围
平面直角坐标系中，第三象限内所有点的横、纵坐标均为负数，已知点$P(-1,m-3)$在第三象限，其横坐标-1已经为负，因此纵坐标满足：
$m-3 ＜ 0$
解得：$m ＜ 3$
2. 判断反比例函数比例系数的符号
由$m ＜ 3$，两边同时减去4可得：
$m-4 ＜ 3-4$，即$m-4 ＜ 0$
3. 根据反比例函数性质判断图象象限
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当比例系数$k＜0$时，函数的图象分布在第二、第四象限。本题中反比例函数的比例系数$k=m-4＜0$，因此该函数的图象在第二、四象限。
【答案】
二、四
【知识点】
象限内点的坐标特征，反比例函数的性质
【点评】
本题属于基础综合题型，将平面直角坐标系点的坐标特征和反比例函数基础性质结合考察，解题的核心逻辑是通过点的位置先锁定参数的取值范围，再推导反比例比例系数的正负，整体难度低，能帮助学生巩固两个基础知识点的关联应用。
【难度系数】
0.8
9. 在平面直角坐标系中,点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限.若反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象经过其中两点,则$m$的值为
-1
.答案
9. $-1$ $\because$ 点 $A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$ 分别在三个不同的象限,点 $A(-2,1)$ 在第二象限,点 $B(3,2)$ 在第一象限,$-6＜0$,$\therefore$ 点 $C(-6,m)$ 一定在第三象限. $\because$ 点 $B(3,2)$ 在第一象限,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过其中两点,$\therefore$ 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过点 $B(3,2),C(-6,m)$. $\therefore$ 易得 $3×2=-6m$. $\therefore m=-1$.
解析
【分析】
解题时首先先根据已知点的坐标特征判断A、B所在的象限，结合“三个点分别在三个不同的象限”的条件，推导点C所在的象限，排除不符合要求的情况；再利用反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于定值k的性质，判断反比例函数经过的两个点，最后通过横纵坐标乘积相等列方程求解m的值。
首先第一步：点A(-2,1)横坐标为负、纵坐标为正，可直接确定在第二象限；点B(3,2)横纵坐标都为正，确定在第一象限。第二步：点C的横坐标是-6＜0，说明它只能在第二或者第三象限，但A已经在第二象限，三个点要分属三个不同象限，因此C只能在第三象限，即m＜0。第三步：反比例函数y=k/x上的点满足xy=k，若函数经过A点，那么k=(-2)×1=-2，此时另一个点不可能是第一象限的B，若另一个点是C，算出的m为正数，此时C在第二象限，和A同象限，不符合条件，因此反比例函数不可能经过A，只能经过第一象限的B和第三象限的C，利用两点的xy乘积相等即可算出m。
【解析】
1. 判断已知点的象限：
点A(-2,1)的横坐标＜0，纵坐标＞0，因此点A在第二象限；
点B(3,2)的横坐标＞0，纵坐标＞0，因此点B在第一象限。
2. 推导点C的象限：
已知点C的横坐标为-6＜0，因此点C仅可能在第二象限或第三象限，又因为A、B、C分别在三个不同的象限，第二象限已经被点A占据，因此点C(-6,m)只能在第三象限，即m＜0。
3. 确定反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上的任意点满足横纵坐标的乘积等于定值k，若反比例函数经过点A，则$k=-2×1=-2$，若另一个点是B，$3×2=6≠-2$不成立；若另一个点是C，代入得$m=\dfrac{k}{-6}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}＞0$，此时点C在第二象限，与A同象限，不符合“三个不同象限”的条件，因此反比例函数不可能经过点A，只能经过点B和点C。
4. 列方程求解m：
由反比例函数点的坐标特征，两点横纵坐标乘积相等，可得：
$3×2 = -6× m$
解得$m=-1$，符合m＜0的要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
点的象限判断；反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题的核心陷阱是容易忽略“三个点分别在三个不同象限”的约束，直接默认反比例函数过A、C两点得到错误结果，解题时需要先通过象限分布的条件缩小范围，再结合反比例函数的性质筛选出符合要求的点组合，避免逻辑疏漏。
【难度系数】
0.6
解题时首先先根据已知点的坐标特征判断A、B所在的象限，结合“三个点分别在三个不同的象限”的条件，推导点C所在的象限，排除不符合要求的情况；再利用反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于定值k的性质，判断反比例函数经过的两个点，最后通过横纵坐标乘积相等列方程求解m的值。
首先第一步：点A(-2,1)横坐标为负、纵坐标为正，可直接确定在第二象限；点B(3,2)横纵坐标都为正，确定在第一象限。第二步：点C的横坐标是-6＜0，说明它只能在第二或者第三象限，但A已经在第二象限，三个点要分属三个不同象限，因此C只能在第三象限，即m＜0。第三步：反比例函数y=k/x上的点满足xy=k，若函数经过A点，那么k=(-2)×1=-2，此时另一个点不可能是第一象限的B，若另一个点是C，算出的m为正数，此时C在第二象限，和A同象限，不符合条件，因此反比例函数不可能经过A，只能经过第一象限的B和第三象限的C，利用两点的xy乘积相等即可算出m。
【解析】
1. 判断已知点的象限：
点A(-2,1)的横坐标＜0，纵坐标＞0，因此点A在第二象限；
点B(3,2)的横坐标＞0，纵坐标＞0，因此点B在第一象限。
2. 推导点C的象限：
已知点C的横坐标为-6＜0，因此点C仅可能在第二象限或第三象限，又因为A、B、C分别在三个不同的象限，第二象限已经被点A占据，因此点C(-6,m)只能在第三象限，即m＜0。
3. 确定反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上的任意点满足横纵坐标的乘积等于定值k，若反比例函数经过点A，则$k=-2×1=-2$，若另一个点是B，$3×2=6≠-2$不成立；若另一个点是C，代入得$m=\dfrac{k}{-6}=\dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3}＞0$，此时点C在第二象限，与A同象限，不符合“三个不同象限”的条件，因此反比例函数不可能经过点A，只能经过点B和点C。
4. 列方程求解m：
由反比例函数点的坐标特征，两点横纵坐标乘积相等，可得：
$3×2 = -6× m$
解得$m=-1$，符合m＜0的要求。
【答案】
$-1$
【知识点】
点的象限判断；反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题的核心陷阱是容易忽略“三个点分别在三个不同象限”的约束，直接默认反比例函数过A、C两点得到错误结果，解题时需要先通过象限分布的条件缩小范围，再结合反比例函数的性质筛选出符合要求的点组合，避免逻辑疏漏。
【难度系数】
0.6
10. 设函数 $y_{1}=\dfrac{k}{x},y_{2}=-\dfrac{k}{x}(k＞0).$
（1）当 $2≤ x≤ 3$ 时，函数 $y_1$ 的最大值是 $a$，函数 $y_2$ 的最小值是 $a-4$，求 $a$ 和 $k$ 的值.
（2）设 $m≠ 0$，且 $m≠ -1$，当 $x=m$ 时，$y_1=p$；当 $x=m+1$ 时，$y_1=q$. 圆圆说：“$p$ 一定大于 $q$. ”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由.
（1）当 $2≤ x≤ 3$ 时，函数 $y_1$ 的最大值是 $a$，函数 $y_2$ 的最小值是 $a-4$，求 $a$ 和 $k$ 的值.
（2）设 $m≠ 0$，且 $m≠ -1$，当 $x=m$ 时，$y_1=p$；当 $x=m+1$ 时，$y_1=q$. 圆圆说：“$p$ 一定大于 $q$. ”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由.
答案
10. (1) $\because k＞0$,$2≤ x≤3$,$\therefore y_1$ 随 $x$ 的增大而减小,$y_2$ 随 $x$ 的增大而增大. $\therefore$ 当 $x=2$ 时,$y_1$ 的最大值为 $\dfrac{k}{2}=a$①;当 $x=2$ 时,$y_2$ 的最小值为 $-\dfrac{k}{2}=a-4$②. 联立①②,得 $\begin{cases}\dfrac{k}{2}=a,\\-\dfrac{k}{2}=a-4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\k=4.\end{cases}$
(2) 圆圆的说法不正确. 理由:$\because$ 当 $x=m$ 时,$p=y_1=\dfrac{k}{m}$,当 $x=m+1$ 时,$q=y_1=\dfrac{k}{m+1}$,$\therefore p-q=\dfrac{k}{m}-\dfrac{k}{m+1}=\dfrac{k}{m(m+1)}$. $\because k＞0$,$\therefore$ 当 $m＜-1$ 时,$p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＞0$. $\therefore p＞q$. 当 $-1＜m＜0$ 时,则 $p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＜0$,$\therefore p＜q$. 当 $m＞0$ 时,则 $p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＞0$,$\therefore p＞q$. $\therefore$ 圆圆的说法不正确.
(2) 圆圆的说法不正确. 理由:$\because$ 当 $x=m$ 时,$p=y_1=\dfrac{k}{m}$,当 $x=m+1$ 时,$q=y_1=\dfrac{k}{m+1}$,$\therefore p-q=\dfrac{k}{m}-\dfrac{k}{m+1}=\dfrac{k}{m(m+1)}$. $\because k＞0$,$\therefore$ 当 $m＜-1$ 时,$p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＞0$. $\therefore p＞q$. 当 $-1＜m＜0$ 时,则 $p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＜0$,$\therefore p＜q$. 当 $m＞0$ 时,则 $p-q=\dfrac{k}{m(m+1)}＞0$,$\therefore p＞q$. $\therefore$ 圆圆的说法不正确.
解析
【分析】
先处理第(1)问：已知k＞0，首先回忆反比例函数的增减性规律，y₁=k/x在x＞0的区间内，y随x的增大而减小，因此在2≤x≤3的范围内，x取最小值2时y₁取得最大值，对应得到第一个等式；而y₂=-k/x，k＞0时它在x＞0的区间内y随x的增大而增大，因此x取最小值2时y₂取得最小值，对应得到第二个等式，联立两个等式即可解出a和k的值。
再处理第(2)问：要判断p是否一定大于q，先把p、q用含m的代数式表示，用作差法计算p-q的结果，结合k＞0的条件，对m的取值范围分类讨论，覆盖m≠0且m≠-1的所有情况，就能发现存在p＜q的反例，即可判断圆圆的说法错误。
【解析】
(1) 已知k＞0，且自变量范围是2≤x≤3＞0：
对于y₁=k/x，k＞0时在x＞0区间y随x增大而减小，因此当x=2时，y₁取得最大值，即$\frac{k}{2}=a$ ①；
对于y₂=-k/x，k＞0时在x＞0区间y随x增大而增大，因此当x=2时，y₂取得最小值，即$-\frac{k}{2}=a-4$ ②。
将①②联立得到方程组：
$\begin{cases}\dfrac{k}{2}=a\\-\dfrac{k}{2}=a-4\end{cases}$
两式相加得0=2a-4，解得a=2，代入①得k=4。
(2) 圆圆的说法不正确，理由如下：
当x=m时，$p=y_1=\frac{k}{m}$；当x=m+1时，$q=y_1=\frac{k}{m+1}$，计算两数的差：
$p-q=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+1}=\frac{k(m+1)-km}{m(m+1)}=\frac{k}{m(m+1)}$
已知k＞0，结合m≠0且m≠-1分三类讨论：
1. 当m＞0时，m＞0，m+1＞0，因此m(m+1)＞0，可得p-q＞0，即p＞q；
2. 当-1＜m＜0时，m＜0，m+1＞0，因此m(m+1)＜0，可得p-q＜0，即p＜q；
3. 当m＜-1时，m＜0，m+1＜0，因此m(m+1)＞0，可得p-q＞0，即p＞q。
可见存在p＜q的情况，因此p不一定大于q，圆圆的说法错误。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=2\\k=4\end{cases}$；(2) 圆圆的说法不正确，理由如上。
【知识点】
反比例函数性质，作差法比较大小
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，第二问很容易遗漏-1＜m＜0的分类情况，需要熟练掌握分类讨论思想，全面覆盖自变量的所有合法取值范围，才能得到完整的结论。
【难度系数】
0.6
先处理第(1)问：已知k＞0，首先回忆反比例函数的增减性规律，y₁=k/x在x＞0的区间内，y随x的增大而减小，因此在2≤x≤3的范围内，x取最小值2时y₁取得最大值，对应得到第一个等式；而y₂=-k/x，k＞0时它在x＞0的区间内y随x的增大而增大，因此x取最小值2时y₂取得最小值，对应得到第二个等式，联立两个等式即可解出a和k的值。
再处理第(2)问：要判断p是否一定大于q，先把p、q用含m的代数式表示，用作差法计算p-q的结果，结合k＞0的条件，对m的取值范围分类讨论，覆盖m≠0且m≠-1的所有情况，就能发现存在p＜q的反例，即可判断圆圆的说法错误。
【解析】
(1) 已知k＞0，且自变量范围是2≤x≤3＞0：
对于y₁=k/x，k＞0时在x＞0区间y随x增大而减小，因此当x=2时，y₁取得最大值，即$\frac{k}{2}=a$ ①；
对于y₂=-k/x，k＞0时在x＞0区间y随x增大而增大，因此当x=2时，y₂取得最小值，即$-\frac{k}{2}=a-4$ ②。
将①②联立得到方程组：
$\begin{cases}\dfrac{k}{2}=a\\-\dfrac{k}{2}=a-4\end{cases}$
两式相加得0=2a-4，解得a=2，代入①得k=4。
(2) 圆圆的说法不正确，理由如下：
当x=m时，$p=y_1=\frac{k}{m}$；当x=m+1时，$q=y_1=\frac{k}{m+1}$，计算两数的差：
$p-q=\frac{k}{m}-\frac{k}{m+1}=\frac{k(m+1)-km}{m(m+1)}=\frac{k}{m(m+1)}$
已知k＞0，结合m≠0且m≠-1分三类讨论：
1. 当m＞0时，m＞0，m+1＞0，因此m(m+1)＞0，可得p-q＞0，即p＞q；
2. 当-1＜m＜0时，m＜0，m+1＞0，因此m(m+1)＜0，可得p-q＜0，即p＜q；
3. 当m＜-1时，m＜0，m+1＜0，因此m(m+1)＞0，可得p-q＞0，即p＞q。
可见存在p＜q的情况，因此p不一定大于q，圆圆的说法错误。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=2\\k=4\end{cases}$；(2) 圆圆的说法不正确，理由如上。
【知识点】
反比例函数性质，作差法比较大小
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，第二问很容易遗漏-1＜m＜0的分类情况，需要熟练掌握分类讨论思想，全面覆盖自变量的所有合法取值范围，才能得到完整的结论。
【难度系数】
0.6
11. 新考向 探究题 研究反比例函数图象平移后的性质.
【初步探究】
(1) 将反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象向右平移 1 个单位长度, 可以得到函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$ 的图象. 关于函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$, 给出下列结论: ① 该函数图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,6)$; ② 该函数图象是中心对称图形, 对称中心是点 $(-1,0)$; ③ 该函数图象关于直线 $y=x-1$ 对称; ④ 当 $x＜0$ 时, $y$ 随$x$ 的增大而减小. 其中, 正确的有
(2) 画出函数 $y=2-\dfrac{6}{x-1}$ 的图象, 并根据图象写出该函数两条不同类型的性质.
【问题解决】
(3) 若函数 $y=\dfrac{3x+k}{x+1}$ 的图象可以由函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象通过平移得到, 求 $k$ 的值.
【深入思考】
(4) 已知当 $a＞0$ 时, 对于任意正数 $k$, 方程 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}$ 均无解, 求出 $a,b,k$ 满足的数量关系.
【初步探究】
(1) 将反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象向右平移 1 个单位长度, 可以得到函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$ 的图象. 关于函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$, 给出下列结论: ① 该函数图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,6)$; ② 该函数图象是中心对称图形, 对称中心是点 $(-1,0)$; ③ 该函数图象关于直线 $y=x-1$ 对称; ④ 当 $x＜0$ 时, $y$ 随$x$ 的增大而减小. 其中, 正确的有
③④
(填序号).(2) 画出函数 $y=2-\dfrac{6}{x-1}$ 的图象, 并根据图象写出该函数两条不同类型的性质.
【问题解决】
(3) 若函数 $y=\dfrac{3x+k}{x+1}$ 的图象可以由函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象通过平移得到, 求 $k$ 的值.
【深入思考】
(4) 已知当 $a＞0$ 时, 对于任意正数 $k$, 方程 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}$ 均无解, 求出 $a,b,k$ 满足的数量关系.
答案
11. (1) ③④. 当 $x=0$ 时,$y=\dfrac{6}{0-1}=-6$,$\therefore$ 该函数图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,-6)$. 故①错误. $\because$ 函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象的对称中心是点 $(0,0)$,函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$ 的图象是由函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象向右平移 1 个单位长度得到的,$\therefore$ 函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$ 的图象的对称中心是点 $(1,0)$. 故②错误. $\because$ 函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象关于直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 对称,$\therefore$ 函数 $y=\dfrac{6}{x-1}$ 的图象关于直线 $y=x-1$ 和 $y=-x+1$ 对称. 故③正确. 由题意,得当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 故④正确. 综上所述,正确的有③④.
(2) 作出函数 $y=2-\dfrac{6}{x-1}$ 的图象如图①所示. 图象关于直线 $y=-x+3$ 对称;当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大(答案不唯一).
(3) $y=\dfrac{3x+k}{x+1}=\dfrac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\dfrac{k-3}{x+1}$. $\because$ 函数 $y=\dfrac{3x+k}{x+1}$ 的图象可以由函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象通过平移得到,$\therefore k-3=6$. $\therefore k=9$.
(4) 由题意,得 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}=\dfrac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\dfrac{a}{x+1}$. $\therefore kx+b-a=\dfrac{-a}{x+1}$. $\because$ 当 $a＞0$ 时,对于任意正数 $k$,方程 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}$ 均无解,$\therefore$ 函数 $y=kx+b-a$ 的图象与函数 $y=\dfrac{-a}{x+1}$ 的图象没有交点. 结合图象(如图②)易得,当直线 $y=kx+b-a$ 过点 $(-1,0)$ 时,符合题意,$\therefore -k+b-a=0$. 即 $k+a-b=0$.
（第11题）
(2) 作出函数 $y=2-\dfrac{6}{x-1}$ 的图象如图①所示. 图象关于直线 $y=-x+3$ 对称;当 $x＜1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,当 $x＞1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大(答案不唯一).
(3) $y=\dfrac{3x+k}{x+1}=\dfrac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\dfrac{k-3}{x+1}$. $\because$ 函数 $y=\dfrac{3x+k}{x+1}$ 的图象可以由函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象通过平移得到,$\therefore k-3=6$. $\therefore k=9$.
(4) 由题意,得 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}=\dfrac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\dfrac{a}{x+1}$. $\therefore kx+b-a=\dfrac{-a}{x+1}$. $\because$ 当 $a＞0$ 时,对于任意正数 $k$,方程 $kx+b=\dfrac{ax}{x+1}$ 均无解,$\therefore$ 函数 $y=kx+b-a$ 的图象与函数 $y=\dfrac{-a}{x+1}$ 的图象没有交点. 结合图象(如图②)易得,当直线 $y=kx+b-a$ 过点 $(-1,0)$ 时,符合题意,$\therefore -k+b-a=0$. 即 $k+a-b=0$.
（第11题）
解析
【分析】
我们可以按照题目设置的梯度逐步思考：
1. 第(1)问逐个验证四个结论：①求y轴交点直接代入x=0计算y值即可判断对错；②根据函数平移的性质，原反比例$y=\frac{6}{x}$的对称中心是原点，图象向右平移1个单位，对称中心也同步向右平移1个单位，就能得到新的对称中心，判断正误；③原反比例$y=\frac{6}{x}$的对称轴是$y=x$和$y=-x$，图象向右平移1个单位后，对称轴也同步向右平移1个单位，即可得到新的对称轴，验证结论；④反比例系数为正，在$x＜1$的区间内y随x增大而减小，$x＜0$属于该区间，即可判断单调性结论是否正确。
2. 第(2)问先将函数$y=2-\frac{6}{x-1}$对应到$y=-\frac{6}{x}$的平移：向右平移1个单位、向上平移2个单位，确定对称中心$(1,2)$后描点画图，从单调性、对称性、渐近线等不同维度写出两类不同性质即可。
3. 第(3)问用分离常数法把给定的分式函数整理成“常数+$y=\frac{6}{x}$平移后的形式”，要满足是$y=\frac{6}{x}$平移得到，那么分式部分的分子必须为6，即可列方程求出k。
4. 第(4)问先对方程两边变形，转化为一次函数和变形后的反比例函数无交点的问题，结合对任意正数k都无解的条件，推导得到对应的数量关系。
【解析】
(1) 逐个验证结论：
① 令$x=0$，代入$y=\frac{6}{x-1}$得$y=\frac{6}{0-1}=-6$，因此与y轴交点为$(0,-6)$，①错误；
② 原函数$y=\frac{6}{x}$对称中心为$(0,0)$，图象向右平移1个单位后，对称中心同步右移1个单位，得到对称中心为$(1,0)$，②错误；
③ 原函数$y=\frac{6}{x}$的对称轴为$y=x$、$y=-x$，图象向右平移1个单位后，对称轴也向右平移1个单位，得到对称轴为$y=x-1$、$y=-x+1$，因此该函数图象关于直线$y=x-1$对称，③正确；
④ 该函数的反比例系数$6＞0$，在区间$x＜1$上y随x的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的区间，因此当$x＜0$时，y随x的增大而减小，④正确。
综上正确的是③④。
(2) 函数$y=2-\frac{6}{x-1}$是由反比例函数$y=-\frac{6}{x}$向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，对称中心为$(1,2)$，据此描点即可画出图象。可写出的不同类型性质示例：图象关于点$(1,2)$中心对称；当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）。
(3) 对函数分离常数：
$y=\frac{3x+k}{x+1}=\frac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\frac{k-3}{x+1}$
因为该函数图象可由$y=\frac{6}{x}$平移得到，因此分式部分的分子必须为6，即$k-3=6$，解得$k=9$。
(4) 先对方程变形：
$kx+b=\frac{ax}{x+1}$
将右侧分离常数得$\frac{ax}{x+1}=\frac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\frac{a}{x+1}$，移项整理得：
$kx+b-a=\frac{-a}{x+1}$
题目要求$a＞0$时，对任意正数k，方程均无解，即一次函数$y=kx+b-a$的图象和反比例型函数$y=\frac{-a}{x+1}$的图象没有交点，结合图象性质可知，当直线$y=kx+b-a$过该反比例型函数的对称中心$(-1,0)$时，对任意正k都无交点，代入得：
$-k + b -a = 0$
整理得$k+a-b=0$。
【答案】
(1) ③④；
(2) 图象略，性质示例：图象关于直线$y=-x+3$对称；当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
(3) $k=9$；
(4) $k+a-b=0$
【知识点】
反比例函数图象平移，分式分离常数，函数与方程关系
【点评】
本题属于反比例函数平移的探究类新题型，设问梯度清晰，从初步判断性质到画图应用，再到参数求解、深入探究恒成立条件，层层递进，重点考察学生对函数平移规律的迁移应用能力，渗透转化与化归的数学思想，帮助学生理解分式型函数和反比例函数的内在联系，区分度较好。
【难度系数】
0.4
我们可以按照题目设置的梯度逐步思考：
1. 第(1)问逐个验证四个结论：①求y轴交点直接代入x=0计算y值即可判断对错；②根据函数平移的性质，原反比例$y=\frac{6}{x}$的对称中心是原点，图象向右平移1个单位，对称中心也同步向右平移1个单位，就能得到新的对称中心，判断正误；③原反比例$y=\frac{6}{x}$的对称轴是$y=x$和$y=-x$，图象向右平移1个单位后，对称轴也同步向右平移1个单位，即可得到新的对称轴，验证结论；④反比例系数为正，在$x＜1$的区间内y随x增大而减小，$x＜0$属于该区间，即可判断单调性结论是否正确。
2. 第(2)问先将函数$y=2-\frac{6}{x-1}$对应到$y=-\frac{6}{x}$的平移：向右平移1个单位、向上平移2个单位，确定对称中心$(1,2)$后描点画图，从单调性、对称性、渐近线等不同维度写出两类不同性质即可。
3. 第(3)问用分离常数法把给定的分式函数整理成“常数+$y=\frac{6}{x}$平移后的形式”，要满足是$y=\frac{6}{x}$平移得到，那么分式部分的分子必须为6，即可列方程求出k。
4. 第(4)问先对方程两边变形，转化为一次函数和变形后的反比例函数无交点的问题，结合对任意正数k都无解的条件，推导得到对应的数量关系。
【解析】
(1) 逐个验证结论：
① 令$x=0$，代入$y=\frac{6}{x-1}$得$y=\frac{6}{0-1}=-6$，因此与y轴交点为$(0,-6)$，①错误；
② 原函数$y=\frac{6}{x}$对称中心为$(0,0)$，图象向右平移1个单位后，对称中心同步右移1个单位，得到对称中心为$(1,0)$，②错误；
③ 原函数$y=\frac{6}{x}$的对称轴为$y=x$、$y=-x$，图象向右平移1个单位后，对称轴也向右平移1个单位，得到对称轴为$y=x-1$、$y=-x+1$，因此该函数图象关于直线$y=x-1$对称，③正确；
④ 该函数的反比例系数$6＞0$，在区间$x＜1$上y随x的增大而减小，$x＜0$属于$x＜1$的区间，因此当$x＜0$时，y随x的增大而减小，④正确。
综上正确的是③④。
(2) 函数$y=2-\frac{6}{x-1}$是由反比例函数$y=-\frac{6}{x}$向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，对称中心为$(1,2)$，据此描点即可画出图象。可写出的不同类型性质示例：图象关于点$(1,2)$中心对称；当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）。
(3) 对函数分离常数：
$y=\frac{3x+k}{x+1}=\frac{3(x+1)+k-3}{x+1}=3+\frac{k-3}{x+1}$
因为该函数图象可由$y=\frac{6}{x}$平移得到，因此分式部分的分子必须为6，即$k-3=6$，解得$k=9$。
(4) 先对方程变形：
$kx+b=\frac{ax}{x+1}$
将右侧分离常数得$\frac{ax}{x+1}=\frac{a(x+1)-a}{x+1}=a-\frac{a}{x+1}$，移项整理得：
$kx+b-a=\frac{-a}{x+1}$
题目要求$a＞0$时，对任意正数k，方程均无解，即一次函数$y=kx+b-a$的图象和反比例型函数$y=\frac{-a}{x+1}$的图象没有交点，结合图象性质可知，当直线$y=kx+b-a$过该反比例型函数的对称中心$(-1,0)$时，对任意正k都无交点，代入得：
$-k + b -a = 0$
整理得$k+a-b=0$。
【答案】
(1) ③④；
(2) 图象略，性质示例：图象关于直线$y=-x+3$对称；当$x＜1$时，y随x的增大而增大，当$x＞1$时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
(3) $k=9$；
(4) $k+a-b=0$
【知识点】
反比例函数图象平移，分式分离常数，函数与方程关系
【点评】
本题属于反比例函数平移的探究类新题型，设问梯度清晰，从初步判断性质到画图应用，再到参数求解、深入探究恒成立条件，层层递进，重点考察学生对函数平移规律的迁移应用能力，渗透转化与化归的数学思想，帮助学生理解分式型函数和反比例函数的内在联系，区分度较好。
【难度系数】
0.4
