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8. 如图,在平面直角坐标系中,过原点$O$的直线交反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象于$A$,$B$两点,$BC ⊥ y$轴于点$C$,$△ ABC$的面积为$6$,则$k$的值为
-6
.答案
由对称性可知，$OA=OB$，$\therefore$ 易得 $S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}$. $\because BC ⊥ y$ 轴，$△ ABC$ 的面积为 6，$\therefore S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} × 6=\dfrac{1}{2}|k|$. 又 $\because k＜0$，$\therefore k=-6$.
解析
【分析】
解题思路梳理：1. 首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象关于原点中心对称，过原点的直线与反比例函数图象的两个交点A、B必然关于原点对称，因此可得OA=OB。2. 由OA=OB可知，△AOC和△BOC同高、底边长度相等，因此二者面积相等，都等于△ABC面积的一半，由此算出S△BOC=3。3. 接下来利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上的点B作y轴的垂线BC，得到的Rt△BOC的面积等于$\frac{1}{2}|k|$，代入面积数值可求出|k|=6。4. 最后根据图象分布在第二、四象限，判断k为负数，即可得到k的最终取值。
【解析】
解：
1. 由反比例函数图象的中心对称性可知，点A与点B关于原点O对称，因此$OA=OB$。
2. 由于$OA=OB$，△AOC和△BOC共享顶点C，底边OA、OB在同一直线上且长度相等，因此两个三角形面积相等，即：
$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=6$，代入得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因为$BC⊥ y$轴，设点B坐标为$(x,y)$，则$BC=|x|$，$OC=|y|$，因此：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· BC· OC=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$
又因为点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，因此$xy=k$，即$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|k|$。
4. 代入$S_{△ BOC}=3$，得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图象可知反比例函数图象分布在第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数对称性，k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，核心考点是k的几何意义，解题的关键是利用原点对称的性质将已知的大三角形面积转化为符合k的几何意义的小直角三角形面积，易错点是忽略图象所在象限，误将k取正值得到6，需要注意根据函数图象位置判断k的符号。
【难度系数】
0.6
解题思路梳理：1. 首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数的图象关于原点中心对称，过原点的直线与反比例函数图象的两个交点A、B必然关于原点对称，因此可得OA=OB。2. 由OA=OB可知，△AOC和△BOC同高、底边长度相等，因此二者面积相等，都等于△ABC面积的一半，由此算出S△BOC=3。3. 接下来利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上的点B作y轴的垂线BC，得到的Rt△BOC的面积等于$\frac{1}{2}|k|$，代入面积数值可求出|k|=6。4. 最后根据图象分布在第二、四象限，判断k为负数，即可得到k的最终取值。
【解析】
解：
1. 由反比例函数图象的中心对称性可知，点A与点B关于原点O对称，因此$OA=OB$。
2. 由于$OA=OB$，△AOC和△BOC共享顶点C，底边OA、OB在同一直线上且长度相等，因此两个三角形面积相等，即：
$S_{△ AOC}=S_{△ BOC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=6$，代入得$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因为$BC⊥ y$轴，设点B坐标为$(x,y)$，则$BC=|x|$，$OC=|y|$，因此：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· BC· OC=\frac{1}{2}|x|·|y|=\frac{1}{2}|xy|$
又因为点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，因此$xy=k$，即$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}|k|$。
4. 代入$S_{△ BOC}=3$，得$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
由图象可知反比例函数图象分布在第二、四象限，因此$k＜0$，故$k=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数对称性，k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的经典基础题型，核心考点是k的几何意义，解题的关键是利用原点对称的性质将已知的大三角形面积转化为符合k的几何意义的小直角三角形面积，易错点是忽略图象所在象限，误将k取正值得到6，需要注意根据函数图象位置判断k的符号。
【难度系数】
0.6
9. 已知 $A(4,2)$ 为函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上一点，$P$ 为该函数图象上不与点 $A$ 重合的另一个点，且满足 $OA=OP$，则所有可能的点 $P$ 的坐标为
(2,4)或(-2,-4)或(-4,-2)
.答案
$\because OA=OP$，点 $A$ 的坐标为 $(4,2)$，双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 关于原点成中心对称，关于直线 $y=x$ 成轴对称，$\therefore$ 若点 $P$ 在第一象限，其坐标为 $(2,4)$；若点 $P$ 在第三象限，其坐标为 $(-2,-4)$ 或 $(-4,-2)$. 综上所述，点 $P$ 的坐标可能是 $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$ 或 $(-4,-2)$.
解析
【分析】
解题思路分三步：1. 先将已知点A代入反比例函数解析式，求出k的值，确定完整的反比例函数表达式；2. 题目要求OA=OP，说明点P到原点的距离与点A到原点的距离相等，即P同时落在反比例函数图像、以原点为圆心OA为半径的圆上，且不能与A重合；3. 既可以通过设点坐标联立方程求解，也可以利用反比例函数关于原点中心对称、关于直线y=x轴对称的性质，快速找出所有满足到原点距离等于OA的点，排除点A后即可得到所有符合要求的P点。
【解析】
解：
① 求反比例函数解析式：
将A(4,2)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，因此反比例函数为$y=\dfrac{8}{x}$。
② 计算OA的长度：
由两点间距离公式，$OA=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$，由OA=OP可得$OP^2=x^2+y^2=20$。
③ 设P点坐标为$(x,\dfrac{8}{x})$，代入距离等式：
$x^2 + (\dfrac{8}{x})^2 = 20$，两边同乘$x^2$整理得：$x^4 -20x^2 +64=0$，
因式分解得$(x^2-16)(x^2-4)=0$，解得$x^2=16$或$x^2=4$，即$x=\pm4$、$x=\pm2$。
④ 排除重合点：
当$x=4$时，$y=2$，对应点A，不符合要求舍去；
剩余解对应点分别为：$x=2,y=4$即$(2,4)$；$x=-2,y=-4$即$(-2,-4)$；$x=-4,y=-2$即$(-4,-2)$，均满足条件。
【答案】
$(2,4)$或$(-2,-4)$或$(-4,-2)$
【知识点】
反比例函数对称性，两点间距离公式，高次方程求解
【点评】
本题属于反比例函数的多解问题，很容易出现漏解错误，多数同学仅能想到点A关于原点对称的点，忽略反比例函数关于y=x轴对称得到的点及其对称点，解题时结合图像性质分类讨论，可避免漏解。
【难度系数】
0.4
解题思路分三步：1. 先将已知点A代入反比例函数解析式，求出k的值，确定完整的反比例函数表达式；2. 题目要求OA=OP，说明点P到原点的距离与点A到原点的距离相等，即P同时落在反比例函数图像、以原点为圆心OA为半径的圆上，且不能与A重合；3. 既可以通过设点坐标联立方程求解，也可以利用反比例函数关于原点中心对称、关于直线y=x轴对称的性质，快速找出所有满足到原点距离等于OA的点，排除点A后即可得到所有符合要求的P点。
【解析】
解：
① 求反比例函数解析式：
将A(4,2)代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{4}$，解得$k=8$，因此反比例函数为$y=\dfrac{8}{x}$。
② 计算OA的长度：
由两点间距离公式，$OA=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$，由OA=OP可得$OP^2=x^2+y^2=20$。
③ 设P点坐标为$(x,\dfrac{8}{x})$，代入距离等式：
$x^2 + (\dfrac{8}{x})^2 = 20$，两边同乘$x^2$整理得：$x^4 -20x^2 +64=0$，
因式分解得$(x^2-16)(x^2-4)=0$，解得$x^2=16$或$x^2=4$，即$x=\pm4$、$x=\pm2$。
④ 排除重合点：
当$x=4$时，$y=2$，对应点A，不符合要求舍去；
剩余解对应点分别为：$x=2,y=4$即$(2,4)$；$x=-2,y=-4$即$(-2,-4)$；$x=-4,y=-2$即$(-4,-2)$，均满足条件。
【答案】
$(2,4)$或$(-2,-4)$或$(-4,-2)$
【知识点】
反比例函数对称性，两点间距离公式，高次方程求解
【点评】
本题属于反比例函数的多解问题，很容易出现漏解错误，多数同学仅能想到点A关于原点对称的点，忽略反比例函数关于y=x轴对称得到的点及其对称点，解题时结合图像性质分类讨论，可避免漏解。
【难度系数】
0.4
10. 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$在第一象限内的图象经过点$C$.已知点$A$的坐标为$(1,0)$,将线段$CA$绕点$C$按顺时针方向旋转$90°$,点$A$的对应点恰好落在$y$轴上的点$B(0,3)$处,过点$C$作$CD ⊥ x$轴于点$D$,作$CE ⊥ y$轴于点$E$.
(1) 求证:四边形$ODCE$为正方形.
(2) 求反比例函数的表达式.
(1) 求证:四边形$ODCE$为正方形.
(2) 求反比例函数的表达式.
答案
(1) $\because CD ⊥ x$ 轴于点 $D$，$CE ⊥ y$ 轴于点 $E$，$\therefore ∠ CDO=∠ CEO=90°=∠ EOD$. $\therefore$ 四边形 $ODCE$ 为矩形. $\therefore ∠ ECD = 90°$. 由旋转的性质，得 $BC = AC$，$∠ BCA = 90°$，$\therefore ∠ BCA - ∠ ECA = ∠ ECD - ∠ ECA$，即 $∠ BCE = ∠ ACD$. $\because ∠ BEC = ∠ ADC = 90°$，$BC = AC$，$\therefore △ BEC ≌ △ ADC$ (AAS). $\therefore EC = DC$. $\therefore$ 四边形 $ODCE$ 为正方形. (2) 设正方形 $ODCE$ 的边长为 $a$. $\because A(1,0),B(0,3)$，$\therefore OA=1,OB=3$. $\therefore AD=a-1$. 由(1)知，$△ BEC≌△ ADC$，$\therefore BE = AD = a - 1$. $\therefore OB = OE + BE = a + a - 1 = 3$. $\therefore a = 2$. $\therefore EC = DC = 2$. $\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(2,2)$. 把 $C(2,2)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，得 $2=\dfrac{k}{2}$，解得 $k=4$. $\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问要证明四边形ODCE是正方形，首先从已知的垂直条件入手：CD垂直x轴、CE垂直y轴，加上x轴y轴本身垂直，可先判定四边形ODCE是矩形，接下来只需要证明一组邻边相等即可。题目给出线段CA绕点C顺时针旋转90°得到CB，根据旋转性质可得AC=BC，∠ACB=90°，由此可推导出∠BCE=∠ACD，进而证明Rt△BEC和Rt△ADC全等，得到CE=CD，矩形邻边相等即可证得是正方形。第二问求反比例函数表达式，只需要求出点C的坐标即可，设正方形ODCE的边长为a，结合已知A(1,0)、B(0,3)的坐标，利用全等得到的BE=AD的线段关系列方程，解出a的值就能得到C点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k，得到最终表达式。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD ⊥ x 轴于点 D，CE ⊥ y 轴于点 E，
∴ ∠CDO=∠CEO=∠EOD=90°，
∴ 四边形ODCE为矩形，
∴ ∠ECD = 90°。
由旋转的性质可得：BC = AC，∠BCA = 90°，
∴ ∠BCA - ∠ECA = ∠ECD - ∠ECA，即∠BCE = ∠ACD。
在△BEC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠ADC = 90° \\∠BCE = ∠ACD \\BC = AC\end{array} $
∴ △BEC ≌ △ADC (AAS)，
∴ EC = DC，
∴ 四边形ODCE为正方形。
(2) 解：
设正方形ODCE的边长为a，
已知A(1,0)，B(0,3)，可得OA=1，OB=3，
∴ AD = OD - OA = a - 1。
由(1)中△BEC≌△ADC，可得BE = AD = a - 1，
又
∵ OE = a，OB = OE + BE，
代入得：$a + (a - 1) = 3$，
解得a=2，
∴ EC = DC = 2，即点C的坐标为(2,2)。
将C(2,2)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，得：
$2=\dfrac{k}{2}$，解得k=4，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$
【知识点】
正方形的判定，旋转的性质，反比例函数
【点评】
本题是几何与反比例函数的基础综合题，将旋转全等、正方形判定和反比例函数求解结合起来，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，通过全等得到边相等的关系，先证出正方形再通过线段长度关系求出点C的坐标，整体逻辑连贯，考察学生对基础几何性质和反比例函数的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问要证明四边形ODCE是正方形，首先从已知的垂直条件入手：CD垂直x轴、CE垂直y轴，加上x轴y轴本身垂直，可先判定四边形ODCE是矩形，接下来只需要证明一组邻边相等即可。题目给出线段CA绕点C顺时针旋转90°得到CB，根据旋转性质可得AC=BC，∠ACB=90°，由此可推导出∠BCE=∠ACD，进而证明Rt△BEC和Rt△ADC全等，得到CE=CD，矩形邻边相等即可证得是正方形。第二问求反比例函数表达式，只需要求出点C的坐标即可，设正方形ODCE的边长为a，结合已知A(1,0)、B(0,3)的坐标，利用全等得到的BE=AD的线段关系列方程，解出a的值就能得到C点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k，得到最终表达式。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD ⊥ x 轴于点 D，CE ⊥ y 轴于点 E，
∴ ∠CDO=∠CEO=∠EOD=90°，
∴ 四边形ODCE为矩形，
∴ ∠ECD = 90°。
由旋转的性质可得：BC = AC，∠BCA = 90°，
∴ ∠BCA - ∠ECA = ∠ECD - ∠ECA，即∠BCE = ∠ACD。
在△BEC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}∠BEC = ∠ADC = 90° \\∠BCE = ∠ACD \\BC = AC\end{array} $
∴ △BEC ≌ △ADC (AAS)，
∴ EC = DC，
∴ 四边形ODCE为正方形。
(2) 解：
设正方形ODCE的边长为a，
已知A(1,0)，B(0,3)，可得OA=1，OB=3，
∴ AD = OD - OA = a - 1。
由(1)中△BEC≌△ADC，可得BE = AD = a - 1，
又
∵ OE = a，OB = OE + BE，
代入得：$a + (a - 1) = 3$，
解得a=2，
∴ EC = DC = 2，即点C的坐标为(2,2)。
将C(2,2)代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，得：
$2=\dfrac{k}{2}$，解得k=4，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\dfrac{4}{x}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{4}{x}}$
【知识点】
正方形的判定，旋转的性质，反比例函数
【点评】
本题是几何与反比例函数的基础综合题，将旋转全等、正方形判定和反比例函数求解结合起来，解题核心是利用旋转的性质构造全等三角形，通过全等得到边相等的关系，先证出正方形再通过线段长度关系求出点C的坐标，整体逻辑连贯，考察学生对基础几何性质和反比例函数的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
11. 已知点 $P(m,n)$ 在直线 $y=-x+2$ 上, 也在双曲线 $y=-\dfrac{1}{x}$ 上, 则 $m^2+n^2=$
6
.答案
$\because$ 点 $P(m,n)$ 在直线 $y=-x+2$ 上，$\therefore m+n=2$.又 $\because$ 点 $P(m,n)$ 也在双曲线 $y=-\dfrac{1}{x}$ 上，$\therefore mn=-1$.$\therefore m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=2^2-2×(-1)=4+2=6$.
解析
【分析】
首先我们要明确：若点在函数图像上，该点的横纵坐标一定满足对应函数的解析式。所以第一步先把点P(m,n)分别代入直线和双曲线的解析式，就能直接得到m+n的和、mn的乘积这两个整体关系式。接下来观察所求的代数式m²+n²，回忆完全平方公式的变形，不需要单独求出m和n的具体值，直接把得到的m+n、mn整体代入计算，就能快速得到结果，运算更简便也不容易出错。
【解析】
解：
1. 将点P(m,n)代入直线y=-x+2的解析式，可得：
$n = -m + 2$，整理后得到 $m + n = 2$；
2. 将点P(m,n)代入双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$的解析式，可得：
$n = -\dfrac{1}{m}$，两边同乘m整理后得到 $mn = -1$；
3. 利用完全平方公式的恒等变形$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，将$m+n=2$、$mn=-1$代入：
$m^2 + n^2 = 2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数点坐标特征；反比例函数点坐标特征；完全平方公式
【点评】
本题是整体代换思想的典型考查题型，不需要单独求解m、n的具体数值，通过点在函数图像上的性质直接得到两个整体关系式，结合完全平方公式变形即可快速算出结果，避免了解方程组求参数的繁琐运算，侧重锻炼学生的整体代换思维。
【难度系数】
0.7
首先我们要明确：若点在函数图像上，该点的横纵坐标一定满足对应函数的解析式。所以第一步先把点P(m,n)分别代入直线和双曲线的解析式，就能直接得到m+n的和、mn的乘积这两个整体关系式。接下来观察所求的代数式m²+n²，回忆完全平方公式的变形，不需要单独求出m和n的具体值，直接把得到的m+n、mn整体代入计算，就能快速得到结果，运算更简便也不容易出错。
【解析】
解：
1. 将点P(m,n)代入直线y=-x+2的解析式，可得：
$n = -m + 2$，整理后得到 $m + n = 2$；
2. 将点P(m,n)代入双曲线$y=-\dfrac{1}{x}$的解析式，可得：
$n = -\dfrac{1}{m}$，两边同乘m整理后得到 $mn = -1$；
3. 利用完全平方公式的恒等变形$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$，将$m+n=2$、$mn=-1$代入：
$m^2 + n^2 = 2^2 - 2×(-1) = 4 + 2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
一次函数点坐标特征；反比例函数点坐标特征；完全平方公式
【点评】
本题是整体代换思想的典型考查题型，不需要单独求解m、n的具体数值，通过点在函数图像上的性质直接得到两个整体关系式，结合完全平方公式变形即可快速算出结果，避免了解方程组求参数的繁琐运算，侧重锻炼学生的整体代换思维。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$M(0,m)$为$y$轴上一点，$m＜0$，过点$M$作$y$轴的垂线$l$，与反比例函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象交于点$P$.把直线$l$下方的反比例函数的图象沿着直线$l$翻折，其他部分保持不变，所形成的新图象称为“$G$图象”.
（1）当$m=-1$时，求“$G$图象”与$x$轴交点的横坐标.
（2）过$y$轴上另一点$N(0,n)$作$y$轴的垂线，与“$G$图象”交于点$A$，$B$.
① 若$n=2$，且$AN=2BN$，求$m$的值.
② 若$AN=2BN$，求$m$与$n$之间的数量关系.
（1）当$m=-1$时，求“$G$图象”与$x$轴交点的横坐标.
（2）过$y$轴上另一点$N(0,n)$作$y$轴的垂线，与“$G$图象”交于点$A$，$B$.
① 若$n=2$，且$AN=2BN$，求$m$的值.
② 若$AN=2BN$，求$m$与$n$之间的数量关系.
答案
(1) 当 $m=-1$ 时，$M(0,-1)$，$\because$“$G$图象”与 $x$ 轴的交点的纵坐标为 0，$\therefore$ 它关于过点 $M$ 的直线 $l$ 对称的点的纵坐标为 $-2$. 由翻折，可得此对称点在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore$ 把 $y=-2$ 代入 $y=\dfrac{1}{x}$，得 $x=-\dfrac{1}{2}$. $\therefore$“$G$图象”与 $x$ 轴交点的横坐标为 $-\dfrac{1}{2}$. (2) ① 由题意知，$N(0,2)$，点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标都是 2. 当点 $A$ 在 $y$ 轴的右侧，点 $B$ 在 $y$ 轴的左侧时，点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2}$，则 $A(\dfrac{1}{2},2)$. $\therefore AN=\dfrac{1}{2}$.$\because AN=2BN$，$\therefore BN=\dfrac{1}{4}$. $\therefore$ 点 $B$ 的横坐标为 $-\dfrac{1}{4}$，则 $B(-\dfrac{1}{4},2)$. 由题易知，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{4},m-(2-m))$，即 $B'(-\dfrac{1}{4},2m-2)$，且点 $B'$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore -\dfrac{1}{4}×(2m-2)=1$，解得 $m=-1$. 当点 $A$ 在 $y$ 轴的左侧，点 $B$ 在 $y$ 轴的右侧时，点 $B$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore$ 点 $B$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2}$，则 $B(\dfrac{1}{2},2)$. $\therefore BN=\dfrac{1}{2}$. $\because AN=2BN=1$，$\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $-1$，则 $A(-1,2)$. 由题意易知，点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$ 的坐标为 $(-1,m-(2-m))$，即 $A'(-1,2m-2)$，且点 $A'$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore -1×(2m-2)=1$，解得 $m=\dfrac{1}{2}＞0$. 与题中的 $m＜0$ 的条件矛盾，$\therefore$ 不符合题意，舍去. 综上所述，$m$ 的值为 $-1$. ② 由题意知，$N(0,n)$，点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标都是 $n$. 当 $n＞0$，点 $A$ 在 $y$ 轴的右侧，点 $B$ 在 $y$ 轴的左侧时，点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{n}$，则 $A(\dfrac{1}{n},n)$.$\therefore AN=\dfrac{1}{n}$. $\because AN=2BN$，$\therefore BN=\dfrac{1}{2n}$. $\therefore$ 点 $B$ 的横坐标为 $-\dfrac{1}{2n}$，则 $B(-\dfrac{1}{2n},n)$. 由题意易知，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B''$ 的坐标为 $(-\dfrac{1}{2n},m-(n-m))$，即 $B''(-\dfrac{1}{2n},2m-n)$，且点 $B''$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore -\dfrac{1}{2n}·(2m-n)=1$，解得 $m=-\dfrac{1}{2}n$. 当 $n＞0$，点 $A$ 在 $y$ 轴的左侧，点 $B$ 在 $y$ 轴的右侧时，点 $B$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore$ 点 $B$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{n}$，则 $B(\dfrac{1}{n},n)$.$\therefore BN=\dfrac{1}{n}$. $\because AN=2BN=\dfrac{2}{n}$，$\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $-\dfrac{2}{n}$，则 $A(-\dfrac{2}{n},n)$. 由题意易知，点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A''$ 的坐标为 $(-\dfrac{2}{n},m-(n-m))$，即 $A''(-\dfrac{2}{n},2m-n)$，且点 $A''$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore -\dfrac{2}{n}(2m-n)=1$，解得 $m=\dfrac{1}{4}n$. $\because n＞0$，$\therefore m＞0$. 这与题中的 $m＜0$ 的条件矛盾，$\therefore$ 不符合题意，舍去. 当 $m＜n＜0$ 时，点 $A$ 和点 $B$ 在第三象限. $\because AN=2BN$，$\therefore$ 易得点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上. $\therefore$ 点 $A$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{n}$，则 $A(\dfrac{1}{n},n)$.$\because n＜0$，$\therefore AN=-\dfrac{1}{n}$. $\because AN=2BN$，$\therefore BN=-\dfrac{1}{2n}$.$\therefore$ 点 $B$ 的横坐标为 $\dfrac{1}{2n}$，则 $B(\dfrac{1}{2n},n)$. 由题易知，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B'''$ 的坐标为 $(\dfrac{1}{2n},m-(n-m))$，即 $B'''(\dfrac{1}{2n},2m-n)$，且点 $B'''$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上，$\therefore \dfrac{1}{2n}(2m-n)=1$，解得 $m=\dfrac{3}{2}n$. 综上所述，$m$ 与 $n$ 之间的数量关系为 $m=-\dfrac{1}{2}n$ 或 $m=\dfrac{3}{2}n$.
解析
【分析】
解题的核心是先明确轴对称变换的规律：直线l是过M(0,m)且垂直于y轴的水平线，方程为y=m，任意点(x,y)关于直线y=m对称的点横坐标不变，纵坐标满足两点纵坐标的平均值等于m，即对称点坐标为(x, 2m - y)，且所有翻折得到的点对应的原像都在反比例函数y=1/x的图象上。
1. 第(1)问：G图象与x轴交点的纵坐标为0，该点是原反比例函数上的点沿直线l翻折得到的，先求出其对应原像的纵坐标，代入反比例函数解析式即可得到交点横坐标。
2. 第(2)①问：水平线y=2与G图象交于A、B两点，y=2＞0，y轴右侧y＞0的部分属于原反比例函数无需翻折，y轴左侧y＞0的部分是原第三象限的反比例图象翻折得到的，分A在y轴右侧、B在y轴左侧和A在y轴左侧、B在y轴右侧两种情况，结合AN=2BN得到两点坐标，再利用对称点在原反比例函数上求解m，舍去不符合m＜0的解即可。
3. 第(2)②问：推广到任意n的场景，分n＞0、m＜n＜0两种符合m＜0的情况讨论，排除得到m＞0的不合理解，最终得到m和n的全部数量关系。
【解析】
(1) 当m=-1时，M(0,-1)，直线l的方程为y=-1。
G图象与x轴交点的纵坐标为0，该点是原反比例函数图象上的点沿y=-1翻折得到的，设该交点对应的原像点纵坐标为y'，由翻折性质得：$\frac{0+y'}{2}=-1$，解得$y'=-2$。
将y=-2代入反比例函数$y=\frac{1}{x}$，得$-2=\frac{1}{x}$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
因此G图象与x轴交点的横坐标为$-\frac{1}{2}$。
(2) ① 由题意得N(0,2)，直线y=2与G图象的交点A、B纵坐标均为2。
情况1：点A在y轴右侧，点B在y轴左侧。
此时点A在原反比例函数$y=\frac{1}{x}$上，代入y=2得$x=\frac{1}{2}$，即$A(\frac{1}{2},2)$，因此$AN=\frac{1}{2}$。
由$AN=2BN$得$BN=\frac{1}{4}$，点B在y轴左侧，故B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，即$B(-\frac{1}{4},2)$。
点B关于直线l:y=m的对称点为$B'(-\frac{1}{4},2m-2)$，该点在原反比例函数上，代入解析式得：
$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$，解得$m=-1$，符合m＜0的条件。
情况2：点A在y轴左侧，点B在y轴右侧。
此时点B在原反比例函数$y=\frac{1}{x}$上，代入y=2得$x=\frac{1}{2}$，即$B(\frac{1}{2},2)$，因此$BN=\frac{1}{2}$。
由$AN=2BN=1$，点A在y轴左侧，故A的横坐标为-1，即$A(-1,2)$。
点A关于直线l:y=m的对称点为$A'(-1,2m-2)$，该点在原反比例函数上，代入解析式得：
$-1×(2m-2)=1$，解得$m=\frac{1}{2}$，与题设m＜0矛盾，舍去该情况。
综上，m的值为-1。
② 由题意得N(0,n)，直线y=n与G图象的交点A、B纵坐标均为n，分两类讨论：
第一类：n＞0
同理①的推导，A在y轴右侧、B在y轴左侧时，点A在原反比例函数上，代入y=n得$x=\frac{1}{n}$，即$A(\frac{1}{n},n)$，$AN=\frac{1}{n}$。
由$AN=2BN$得$BN=\frac{1}{2n}$，点B横坐标为$-\frac{1}{2n}$，即$B(-\frac{1}{2n},n)$。
点B的对称点$B''(-\frac{1}{2n},2m-n)$在原反比例函数上，代入得：
$-\frac{1}{2n}·(2m-n)=1$，解得$m=-\frac{1}{2}n$，符合m＜0。
若A在y轴左侧、B在y轴右侧，解得$m=\frac{1}{4}n＞0$，与m＜0矛盾，舍去。
第二类：m＜n＜0
此时y=n位于x轴下方、直线l上方，点A在y轴右侧，点B在y轴左侧，点B在原反比例函数上，代入y=n得$x=\frac{1}{n}$，即$B(\frac{1}{n},n)$，$BN=-\frac{1}{n}$。
由$AN=2BN$得$AN=-\frac{2}{n}$，点A横坐标为$\frac{2}{n}$，即$A(\frac{2}{n},n)$。
点A的对称点$A'''(\frac{2}{n},2m-n)$在原反比例函数上，代入得：
$\frac{2}{n}·(2m-n)=1$，解得$m=\frac{3}{2}n$，此时n＜0，故m＜0，符合题设条件。
综上，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) ① $m=-1$；② $m=-\dfrac{1}{2}n$或$m=\dfrac{3}{2}n$
【知识点】
反比例函数性质，坐标轴对称变换，新定义问题
【点评】
本题以新定义“G图象”为载体，综合考察反比例函数与轴对称变换的综合应用，解题的核心是掌握水平直线翻折的坐标变换规律，需要对交点的不同位置进行分类讨论，同时结合题设m＜0的条件排除不合理解，容易遗漏m＜n＜0的场景导致漏解，对学生的分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题的核心是先明确轴对称变换的规律：直线l是过M(0,m)且垂直于y轴的水平线，方程为y=m，任意点(x,y)关于直线y=m对称的点横坐标不变，纵坐标满足两点纵坐标的平均值等于m，即对称点坐标为(x, 2m - y)，且所有翻折得到的点对应的原像都在反比例函数y=1/x的图象上。
1. 第(1)问：G图象与x轴交点的纵坐标为0，该点是原反比例函数上的点沿直线l翻折得到的，先求出其对应原像的纵坐标，代入反比例函数解析式即可得到交点横坐标。
2. 第(2)①问：水平线y=2与G图象交于A、B两点，y=2＞0，y轴右侧y＞0的部分属于原反比例函数无需翻折，y轴左侧y＞0的部分是原第三象限的反比例图象翻折得到的，分A在y轴右侧、B在y轴左侧和A在y轴左侧、B在y轴右侧两种情况，结合AN=2BN得到两点坐标，再利用对称点在原反比例函数上求解m，舍去不符合m＜0的解即可。
3. 第(2)②问：推广到任意n的场景，分n＞0、m＜n＜0两种符合m＜0的情况讨论，排除得到m＞0的不合理解，最终得到m和n的全部数量关系。
【解析】
(1) 当m=-1时，M(0,-1)，直线l的方程为y=-1。
G图象与x轴交点的纵坐标为0，该点是原反比例函数图象上的点沿y=-1翻折得到的，设该交点对应的原像点纵坐标为y'，由翻折性质得：$\frac{0+y'}{2}=-1$，解得$y'=-2$。
将y=-2代入反比例函数$y=\frac{1}{x}$，得$-2=\frac{1}{x}$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
因此G图象与x轴交点的横坐标为$-\frac{1}{2}$。
(2) ① 由题意得N(0,2)，直线y=2与G图象的交点A、B纵坐标均为2。
情况1：点A在y轴右侧，点B在y轴左侧。
此时点A在原反比例函数$y=\frac{1}{x}$上，代入y=2得$x=\frac{1}{2}$，即$A(\frac{1}{2},2)$，因此$AN=\frac{1}{2}$。
由$AN=2BN$得$BN=\frac{1}{4}$，点B在y轴左侧，故B的横坐标为$-\frac{1}{4}$，即$B(-\frac{1}{4},2)$。
点B关于直线l:y=m的对称点为$B'(-\frac{1}{4},2m-2)$，该点在原反比例函数上，代入解析式得：
$-\frac{1}{4}×(2m-2)=1$，解得$m=-1$，符合m＜0的条件。
情况2：点A在y轴左侧，点B在y轴右侧。
此时点B在原反比例函数$y=\frac{1}{x}$上，代入y=2得$x=\frac{1}{2}$，即$B(\frac{1}{2},2)$，因此$BN=\frac{1}{2}$。
由$AN=2BN=1$，点A在y轴左侧，故A的横坐标为-1，即$A(-1,2)$。
点A关于直线l:y=m的对称点为$A'(-1,2m-2)$，该点在原反比例函数上，代入解析式得：
$-1×(2m-2)=1$，解得$m=\frac{1}{2}$，与题设m＜0矛盾，舍去该情况。
综上，m的值为-1。
② 由题意得N(0,n)，直线y=n与G图象的交点A、B纵坐标均为n，分两类讨论：
第一类：n＞0
同理①的推导，A在y轴右侧、B在y轴左侧时，点A在原反比例函数上，代入y=n得$x=\frac{1}{n}$，即$A(\frac{1}{n},n)$，$AN=\frac{1}{n}$。
由$AN=2BN$得$BN=\frac{1}{2n}$，点B横坐标为$-\frac{1}{2n}$，即$B(-\frac{1}{2n},n)$。
点B的对称点$B''(-\frac{1}{2n},2m-n)$在原反比例函数上，代入得：
$-\frac{1}{2n}·(2m-n)=1$，解得$m=-\frac{1}{2}n$，符合m＜0。
若A在y轴左侧、B在y轴右侧，解得$m=\frac{1}{4}n＞0$，与m＜0矛盾，舍去。
第二类：m＜n＜0
此时y=n位于x轴下方、直线l上方，点A在y轴右侧，点B在y轴左侧，点B在原反比例函数上，代入y=n得$x=\frac{1}{n}$，即$B(\frac{1}{n},n)$，$BN=-\frac{1}{n}$。
由$AN=2BN$得$AN=-\frac{2}{n}$，点A横坐标为$\frac{2}{n}$，即$A(\frac{2}{n},n)$。
点A的对称点$A'''(\frac{2}{n},2m-n)$在原反比例函数上，代入得：
$\frac{2}{n}·(2m-n)=1$，解得$m=\frac{3}{2}n$，此时n＜0，故m＜0，符合题设条件。
综上，m与n的数量关系为$m=-\frac{1}{2}n$或$m=\frac{3}{2}n$。
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) ① $m=-1$；② $m=-\dfrac{1}{2}n$或$m=\dfrac{3}{2}n$
【知识点】
反比例函数性质，坐标轴对称变换，新定义问题
【点评】
本题以新定义“G图象”为载体，综合考察反比例函数与轴对称变换的综合应用，解题的核心是掌握水平直线翻折的坐标变换规律，需要对交点的不同位置进行分类讨论，同时结合题设m＜0的条件排除不合理解，容易遗漏m＜n＜0的场景导致漏解，对学生的分类讨论能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
