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1. 如图所示为一张长8 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成一个底面积是$18\ \mathrm{cm^2}$的无盖长方体纸盒. 设剪去的正方形边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$x$满足的方程是（
A.$40-4x^2=18$
B.$(8-2x)(5-2x)=18$
C.$40-2(8x+5x)=18$
D.$(8-2x)(5-2x)=9$
B
）A.$40-4x^2=18$
B.$(8-2x)(5-2x)=18$
C.$40-2(8x+5x)=18$
D.$(8-2x)(5-2x)=9$
答案
1. B
∵剪去的正方形边长为$x$ cm，
∴长方体纸盒的底面的长为$(8-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(5-2x)\mathrm{cm}$. 根据底面积是$18\ \mathrm{cm}^2$即可列出方程为$(8-2x)(5-2x)=18$.
∵剪去的正方形边长为$x$ cm，
∴长方体纸盒的底面的长为$(8-2x)\mathrm{cm}$，宽为$(5-2x)\mathrm{cm}$. 根据底面积是$18\ \mathrm{cm}^2$即可列出方程为$(8-2x)(5-2x)=18$.
解析
【分析】
这道题是列一元二次方程解决实际折叠问题，我们的思考路径是：首先明确剪去四个角的正方形后，折成的无盖长方体纸盒的底面长和宽分别是多少：原纸板长为8cm，左右两个角各剪去一个边长为x的正方形，因此底面的长需要从原长里减去2个x，也就是(8-2x)cm；同理原纸板宽为5cm，上下两个角各剪去一个边长为x的正方形，底面的宽就是(5-2x)cm。已知纸盒底面积为18cm²，根据“矩形面积=长×宽”的公式，把底面的长和宽相乘等于底面积，就能直接列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知剪去的正方形边长为x cm，
1. 推导长方体底面的长：原矩形纸板长8cm，左右两侧各剪去边长为x的正方形，因此纸盒底面长为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$；
2. 推导长方体底面的宽：原矩形纸板宽5cm，上下两侧各剪去边长为x的正方形，因此纸盒底面宽为$(5-2x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据底面积为$18\ \mathrm{cm^2}$，结合矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(8-2x)(5-2x)=18$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，立体图形折叠
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心考点是无盖长方体纸盒的边长推导，易错点是容易误将底面的长/宽只减去1个x，忽略纸板的两个对应边都剪去了正方形，解题时只要明确折叠后底面的长和宽和原纸板尺寸的对应关系，结合面积条件即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
这道题是列一元二次方程解决实际折叠问题，我们的思考路径是：首先明确剪去四个角的正方形后，折成的无盖长方体纸盒的底面长和宽分别是多少：原纸板长为8cm，左右两个角各剪去一个边长为x的正方形，因此底面的长需要从原长里减去2个x，也就是(8-2x)cm；同理原纸板宽为5cm，上下两个角各剪去一个边长为x的正方形，底面的宽就是(5-2x)cm。已知纸盒底面积为18cm²，根据“矩形面积=长×宽”的公式，把底面的长和宽相乘等于底面积，就能直接列出对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：已知剪去的正方形边长为x cm，
1. 推导长方体底面的长：原矩形纸板长8cm，左右两侧各剪去边长为x的正方形，因此纸盒底面长为$(8-2x)\ \mathrm{cm}$；
2. 推导长方体底面的宽：原矩形纸板宽5cm，上下两侧各剪去边长为x的正方形，因此纸盒底面宽为$(5-2x)\ \mathrm{cm}$；
3. 根据底面积为$18\ \mathrm{cm^2}$，结合矩形面积公式“面积=长×宽”，可列方程：
$(8-2x)(5-2x)=18$
对应选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，立体图形折叠
【点评】
本题属于一元二次方程实际应用的基础题型，核心考点是无盖长方体纸盒的边长推导，易错点是容易误将底面的长/宽只减去1个x，忽略纸板的两个对应边都剪去了正方形，解题时只要明确折叠后底面的长和宽和原纸板尺寸的对应关系，结合面积条件即可快速列出正确方程。
【难度系数】
0.8
2. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地的一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为$20\ \mathrm{m}^{2}$的矩形空地,则原正方形空地的边长是（
A.10 m
B.9 m
C.8 m
D.7 m
D
）A.10 m
B.9 m
C.8 m
D.7 m
答案
2. D 设原正方形的边长为$x$ m. 依题意,有$(x-3)(x-2)=20$,解得$x_1=7$,$x_2=-2$(不合题意,舍去).
∴原正方形的边长为7 m.
∴原正方形的边长为7 m.
解析
【分析】
这是典型的面积类一元二次方程实际应用题，我们可以先设原正方形空地的边长为x m，根据题意，正方形的一组对边减少2m，另一组对边减少3m后，剩余矩形的两条邻边长度就分别为(x-2)m和(x-3)m；已知剩余矩形面积为20m²，结合矩形面积=长×宽的公式就可以列出对应的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
解：设原正方形空地的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
根据剩余矩形面积为$ 20 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(x-3)(x-2) = 20$
展开并整理方程：
$x^2 -5x +6 = 20 \x^2 -5x -14 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+2) = 0$
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-2 $。
因为边长不能为负数，所以$ x=-2 $不符合实际意义，舍去。
因此原正方形空地的边长为7m。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础实际应用题，解题核心是准确表示出剩余矩形的长和宽，同时要注意几何类实际问题中边长必须为正，需要主动舍去不符合题意的负根，整体难度较低，是初中阶段的常考题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的面积类一元二次方程实际应用题，我们可以先设原正方形空地的边长为x m，根据题意，正方形的一组对边减少2m，另一组对边减少3m后，剩余矩形的两条邻边长度就分别为(x-2)m和(x-3)m；已知剩余矩形面积为20m²，结合矩形面积=长×宽的公式就可以列出对应的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到原正方形的边长。
【解析】
解：设原正方形空地的边长为$ x \, \mathrm{m} $，
根据剩余矩形面积为$ 20 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(x-3)(x-2) = 20$
展开并整理方程：
$x^2 -5x +6 = 20 \x^2 -5x -14 = 0$
因式分解得：
$(x-7)(x+2) = 0$
解得$ x_1=7 $，$ x_2=-2 $。
因为边长不能为负数，所以$ x=-2 $不符合实际意义，舍去。
因此原正方形空地的边长为7m。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算
【点评】
本题属于一元二次方程的基础实际应用题，解题核心是准确表示出剩余矩形的长和宽，同时要注意几何类实际问题中边长必须为正，需要主动舍去不符合题意的负根，整体难度较低，是初中阶段的常考题型。
【难度系数】
0.8
3. 易错题 如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上,修筑同样宽的道路(图中涂色部分),余下部分种植草坪.要使草坪的面积为$540\ \mathrm{m}^{2}$,则道路的宽为
2
m.答案
3. 2 设道路的宽为$x$ m.
∵种植草坪的部分可合成长为$(32-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形,
∴由题意,得$(32-x)(20-x)=540$,解得$x_1=2$,$x_2=50$(不合题意,舍去).
∴道路的宽为2 m.
∵种植草坪的部分可合成长为$(32-x)\mathrm{m}$、宽为$(20-x)\mathrm{m}$的矩形,
∴由题意,得$(32-x)(20-x)=540$,解得$x_1=2$,$x_2=50$(不合题意,舍去).
∴道路的宽为2 m.
解析
【分析】
这道题的核心难点是不规则曲折道路的面积计算，如果直接拆分计算涂色道路的面积，很容易重复计算道路交叉重叠的部分，导致出错。我们可以利用平移的思路：把所有分散的草坪部分向矩形内部平移，最终四块草坪可以拼接成一个完整的新矩形，这个新矩形的长就是原矩形的长减去道路的宽度，新矩形的宽就是原矩形的宽减去道路的宽度，这样就直接把草坪面积转化为新矩形的面积，直接列一元二次方程求解即可，最后要注意舍去不符合实际长度意义的解。
【解析】
解：设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将图中曲折的道路分别沿水平、竖直方向平移后，四块草坪可以拼接为一个完整的矩形：
拼接后草坪矩形的长为$ (32 - x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $。
根据草坪面积为$ 540 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(32 - x)(20 - x) = 540$
展开整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$
因式分解得$ (x - 2)(x - 50) = 0 $，解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $。
由于原矩形的长为32m、宽为20m，道路宽度不可能超过矩形的短边长度20m，因此$ x=50 $不符合实际意义，舍去。
最终得到道路的宽为2m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程实际应用，平移的性质
【点评】
本题是典型的道路平移类易错题，很多同学直接计算道路总面积时容易忽略道路交叉处的重叠部分，导致重复计算重叠区域而出错，利用平移拼接草坪的方法可以巧妙避开重叠计算的问题，大幅简化运算，同时要注意一元二次方程的解需要结合实际场景验证，舍去不符合现实意义的根。
【难度系数】
0.7
这道题的核心难点是不规则曲折道路的面积计算，如果直接拆分计算涂色道路的面积，很容易重复计算道路交叉重叠的部分，导致出错。我们可以利用平移的思路：把所有分散的草坪部分向矩形内部平移，最终四块草坪可以拼接成一个完整的新矩形，这个新矩形的长就是原矩形的长减去道路的宽度，新矩形的宽就是原矩形的宽减去道路的宽度，这样就直接把草坪面积转化为新矩形的面积，直接列一元二次方程求解即可，最后要注意舍去不符合实际长度意义的解。
【解析】
解：设道路的宽为$ x \, \mathrm{m} $。
将图中曲折的道路分别沿水平、竖直方向平移后，四块草坪可以拼接为一个完整的矩形：
拼接后草坪矩形的长为$ (32 - x) \, \mathrm{m} $，宽为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $。
根据草坪面积为$ 540 \, \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$(32 - x)(20 - x) = 540$
展开整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$
因式分解得$ (x - 2)(x - 50) = 0 $，解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $。
由于原矩形的长为32m、宽为20m，道路宽度不可能超过矩形的短边长度20m，因此$ x=50 $不符合实际意义，舍去。
最终得到道路的宽为2m。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程实际应用，平移的性质
【点评】
本题是典型的道路平移类易错题，很多同学直接计算道路总面积时容易忽略道路交叉处的重叠部分，导致重复计算重叠区域而出错，利用平移拼接草坪的方法可以巧妙避开重叠计算的问题，大幅简化运算，同时要注意一元二次方程的解需要结合实际场景验证，舍去不符合现实意义的根。
【难度系数】
0.7
4. 为解决老小区停车难的问题,社区将一块矩形空地$ABCD$改造成了一个便民停车场.其布局如图所示,$AD=50\ \mathrm{m}$,$AB=32\ \mathrm{m}$,涂色部分设计为停车位,要铺花砖,其余部分均为宽度是$x\ \mathrm{m}$的道路.已知铺花砖的面积为$880\ \mathrm{m}^2$,求道路的宽是多少米.
答案
4. 由题意,得道路的宽是$x$ m,则停车位可合成长为$(50-2x)\mathrm{m}$,宽为$(32-2x)\mathrm{m}$的矩形.
∴$(50-2x)(32-2x)=880$. 整理,得$x^2-41x+180=0$,解得$x_1=5$,$x_2=36$(不符合题意,舍去). 答:道路的宽是5 m.
∴$(50-2x)(32-2x)=880$. 整理,得$x^2-41x+180=0$,解得$x_1=5$,$x_2=36$(不符合题意,舍去). 答:道路的宽是5 m.
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用图形平移拼接简化面积计算：首先观察图形，三块涂色的停车位，将它们向左侧平移，总长度方向左右各留出宽度为x的道路，拼接后总长度就等于原矩形的长AD减去左右两段道路的宽度2x；再将三块涂色部分向下方平移，总宽度方向上下各留出宽度为x的道路，拼接后总宽度就等于原矩形的宽AB减去上下两段道路的宽度2x，这样所有涂色部分就合并成一个完整的大矩形，直接用大矩形面积公式就能列出方程。解出一元二次方程的两个根后，要结合实际意义检验：道路宽度不可能超过原空地的边长，不符合实际的根直接舍去，就能得到正确结果。
【解析】
解：设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$，
由图形平移拼接的性质，三块涂色停车位可合并为一个新的矩形，
该矩形的长为$(50-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(32-2x)\ \mathrm{m}$，
根据铺花砖的总面积为$880\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(50-2x)(32-2x)=880$
展开并整理方程：
$1600 - 164x +4x^2 = 880$
化简得：
$x^2 -41x +180=0$
因式分解求解方程：
$(x-5)(x-36)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=36$，
检验根的合理性：当$x=36$时，$32-2x=32-72=-40＜0$，矩形的宽不能为负数，不符合实际意义，因此舍去$x_2=36$。
答：道路的宽为5 m。
【答案】
道路的宽是5 m
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算，图形平移拼接
【点评】
本题的解题技巧在于通过平移分散的涂色区域，将原本不连续的三块图形合并为一个完整矩形，大幅简化了面积计算的步骤，避免了分别计算多个小矩形面积的繁琐；同时要注意在实际问题中，未知数的取值必须满足几何图形边长为正的要求，必须对求解得到的根进行合理性检验，排除不符合现实的解。
【难度系数】
0.7
这道题的核心思路是利用图形平移拼接简化面积计算：首先观察图形，三块涂色的停车位，将它们向左侧平移，总长度方向左右各留出宽度为x的道路，拼接后总长度就等于原矩形的长AD减去左右两段道路的宽度2x；再将三块涂色部分向下方平移，总宽度方向上下各留出宽度为x的道路，拼接后总宽度就等于原矩形的宽AB减去上下两段道路的宽度2x，这样所有涂色部分就合并成一个完整的大矩形，直接用大矩形面积公式就能列出方程。解出一元二次方程的两个根后，要结合实际意义检验：道路宽度不可能超过原空地的边长，不符合实际的根直接舍去，就能得到正确结果。
【解析】
解：设道路的宽为$x\ \mathrm{m}$，
由图形平移拼接的性质，三块涂色停车位可合并为一个新的矩形，
该矩形的长为$(50-2x)\ \mathrm{m}$，宽为$(32-2x)\ \mathrm{m}$，
根据铺花砖的总面积为$880\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$(50-2x)(32-2x)=880$
展开并整理方程：
$1600 - 164x +4x^2 = 880$
化简得：
$x^2 -41x +180=0$
因式分解求解方程：
$(x-5)(x-36)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=36$，
检验根的合理性：当$x=36$时，$32-2x=32-72=-40＜0$，矩形的宽不能为负数，不符合实际意义，因此舍去$x_2=36$。
答：道路的宽为5 m。
【答案】
道路的宽是5 m
【知识点】
一元二次方程实际应用，矩形面积计算，图形平移拼接
【点评】
本题的解题技巧在于通过平移分散的涂色区域，将原本不连续的三块图形合并为一个完整矩形，大幅简化了面积计算的步骤，避免了分别计算多个小矩形面积的繁琐；同时要注意在实际问题中，未知数的取值必须满足几何图形边长为正的要求，必须对求解得到的根进行合理性检验，排除不符合现实的解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为（
A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})\mathrm{m}$
C.$(5+3\sqrt{2})\mathrm{m}$
D.$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$
D
）A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})\mathrm{m}$
C.$(5+3\sqrt{2})\mathrm{m}$
D.$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$
答案
5. D 设小圆形场地的半径为$x$ m,则大圆形场地的半径为$(x+5)\mathrm{m}$. 根据题意,得$π(x+5)^2=2π x^2$,解得$x=5+5\sqrt{2}$或$x=5-5\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
∴小圆形场地的半径为$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$.
∴小圆形场地的半径为$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路解题：第一步先明确题目核心等量关系：半径增加5m后的大圆场地面积是原来小圆场地面积的2倍，也就是面积扩大一倍。第二步设未知量，设小圆形场地的半径为x m，那么大圆形场地的半径就可以表示为(x+5)m。第三步结合圆的面积公式S=πr²，把两个圆的面积代入等量关系列出方程，方程两边的π可以直接约去，简化计算得到一元二次方程。第四步解出方程的两个根，结合实际场景中半径必须为正数的要求，舍去不符合实际的负根，最终得到小圆形场地的半径，选出对应选项。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$x\ \mathrm{m}$，则大圆形场地的半径为$(x+5)\ \mathrm{m}$。
根据“场地面积扩大了一倍”，可知大圆面积是小圆面积的2倍，结合圆的面积公式列方程：
$π(x+5)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$π$，化简得：
$(x+5)^2 = 2x^2$
展开并整理方程：
$x^2 +10x +25 = 2x^2$
$x^2 -10x -25 = 0$
用求根公式求解一元二次方程：
$x=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2 -4×1×(-25)}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{200}}{2}=5\pm5\sqrt{2}$
因为半径为正数，$5-5\sqrt{2}＜0$，不符合实际意义，舍去该解。
因此小圆形场地的半径为$(5+5\sqrt{2})\ \mathrm{m}$。
【答案】
D.$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积公式，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是圆的面积与一元二次方程结合的基础应用题，核心考点是利用方程建模解决几何实际问题，易错点一是误解“面积扩大一倍”的含义，二是忘记舍去不符合实际意义的负根，整体难度适中，属于初中几何代数结合的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
我们可以按照以下思路解题：第一步先明确题目核心等量关系：半径增加5m后的大圆场地面积是原来小圆场地面积的2倍，也就是面积扩大一倍。第二步设未知量，设小圆形场地的半径为x m，那么大圆形场地的半径就可以表示为(x+5)m。第三步结合圆的面积公式S=πr²，把两个圆的面积代入等量关系列出方程，方程两边的π可以直接约去，简化计算得到一元二次方程。第四步解出方程的两个根，结合实际场景中半径必须为正数的要求，舍去不符合实际的负根，最终得到小圆形场地的半径，选出对应选项。
【解析】
解：设小圆形场地的半径为$x\ \mathrm{m}$，则大圆形场地的半径为$(x+5)\ \mathrm{m}$。
根据“场地面积扩大了一倍”，可知大圆面积是小圆面积的2倍，结合圆的面积公式列方程：
$π(x+5)^2 = 2π x^2$
两边同时除以$π$，化简得：
$(x+5)^2 = 2x^2$
展开并整理方程：
$x^2 +10x +25 = 2x^2$
$x^2 -10x -25 = 0$
用求根公式求解一元二次方程：
$x=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2 -4×1×(-25)}}{2}=\frac{10\pm\sqrt{200}}{2}=5\pm5\sqrt{2}$
因为半径为正数，$5-5\sqrt{2}＜0$，不符合实际意义，舍去该解。
因此小圆形场地的半径为$(5+5\sqrt{2})\ \mathrm{m}$。
【答案】
D.$(5+5\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积公式，一元二次方程应用，实际问题验根
【点评】
本题是圆的面积与一元二次方程结合的基础应用题，核心考点是利用方程建模解决几何实际问题，易错点一是误解“面积扩大一倍”的含义，二是忘记舍去不符合实际意义的负根，整体难度适中，属于初中几何代数结合的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,将边长为 12 cm 的正方形$ABCD$沿其对角线$AC$剪开,再把$△ ABC$沿着$AD$方向平移,得到$△ A'B'C'$.若两个三角形重叠部分的面积为$32\ \mathrm{cm}^2$,则$△ ABC$移动的距离$AA'$等于 （
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
D
）A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$8\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$或$8\ \mathrm{cm}$
答案
6. D 如图,设$AA'=x$ cm,则$A'D=(12-x)\mathrm{cm}$.
∵四边形$ABCD$是正方形,
∴$∠ D=90°$,$AD=CD$.
∴$∠ DAC=45°$. 同理,$∠ B'A'C'=45°$.
∵$△ A'B'C'$由$△ ABC$沿着$AD$方向平移得到,
∴$A'B'⊥ AD$,$A'B'// DC$.
∴$∠ A'EA=45°$.
∴$∠ B'A'C'=∠ A'EA=∠ DAC$.
∴$A'F// EC$,$A'E=AA'=x$ cm.
∵$A'E// CF$,
∴四边形$A'ECF$为平行四边形.
∴易得$S_{□ A'ECF}=A'E· A'D$.
∴$x(12-x)=32$,解得$x_1=4$,$x_2=8$.
∴$△ ABC$移动的距离$AA'$等于4 cm或8 cm.
∵四边形$ABCD$是正方形,
∴$∠ D=90°$,$AD=CD$.
∴$∠ DAC=45°$. 同理,$∠ B'A'C'=45°$.
∵$△ A'B'C'$由$△ ABC$沿着$AD$方向平移得到,
∴$A'B'⊥ AD$,$A'B'// DC$.
∴$∠ A'EA=45°$.
∴$∠ B'A'C'=∠ A'EA=∠ DAC$.
∴$A'F// EC$,$A'E=AA'=x$ cm.
∵$A'E// CF$,
∴四边形$A'ECF$为平行四边形.
∴易得$S_{□ A'ECF}=A'E· A'D$.
∴$x(12-x)=32$,解得$x_1=4$,$x_2=8$.
∴$△ ABC$移动的距离$AA'$等于4 cm或8 cm.
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步解题：1. 先设平移距离AA'为x cm，已知原正方形边长为12cm，因此AD=12cm，可直接用x表示出A'D的长度为(12-x)cm。2. 结合正方形对角线的性质，可知沿对角线剪开得到的两个三角形都是等腰直角三角形，∠DAC=45°，再利用平移的性质：平移前后对应边平行，可推导出重叠部分是平行四边形，且该平行四边形的底边长等于AA'=x，底边上的高恰好等于A'D的长度(12-x)。3. 已知重叠部分面积为32cm²，根据平行四边形面积公式“底×高”列出一元二次方程，求解后得到的两个正根都符合平移的实际取值范围，即可得到AA'的所有可能值。
【解析】
设$AA'=x\ \mathrm{cm}$，由正方形$ABCD$边长为12cm，可得$A'D=(12-x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ D=90°$，$AD=CD=12\ \mathrm{cm}$，$△ ADC$是等腰直角三角形，$∠ DAC=45°$。
∵ $△ A'B'C'$由$△ ABC$沿$AD$方向平移得到，
∴ 平移前后对应边平行，$A'B'⊥ AD$，且$∠ B'A'C'=∠ BAC=45°$，
由此可证重叠部分四边形$A'ECF$是平行四边形，结合45°角的等腰直角三角形性质，可得平行四边形的底边长$A'E=AA'=x\ \mathrm{cm}$，底边上的高等于$A'D=(12-x)\ \mathrm{cm}$。
根据平行四边形面积公式列方程：
$x(12-x)=32$
整理得$x^2-12x+32=0$，因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$，两个解均满足$0＜x＜12$的实际平移范围，因此$AA'$的长度为4cm或8cm。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，正方形性质，一元二次方程应用
【点评】
本题是平移变换结合几何面积计算的典型题型，核心难点是准确识别重叠平行四边形的边长关系，利用等腰直角三角形45°的特征得到底和高的表达式，列方程求解时注意两个正根都符合实际场景，避免漏解。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路逐步解题：1. 先设平移距离AA'为x cm，已知原正方形边长为12cm，因此AD=12cm，可直接用x表示出A'D的长度为(12-x)cm。2. 结合正方形对角线的性质，可知沿对角线剪开得到的两个三角形都是等腰直角三角形，∠DAC=45°，再利用平移的性质：平移前后对应边平行，可推导出重叠部分是平行四边形，且该平行四边形的底边长等于AA'=x，底边上的高恰好等于A'D的长度(12-x)。3. 已知重叠部分面积为32cm²，根据平行四边形面积公式“底×高”列出一元二次方程，求解后得到的两个正根都符合平移的实际取值范围，即可得到AA'的所有可能值。
【解析】
设$AA'=x\ \mathrm{cm}$，由正方形$ABCD$边长为12cm，可得$A'D=(12-x)\ \mathrm{cm}$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $∠ D=90°$，$AD=CD=12\ \mathrm{cm}$，$△ ADC$是等腰直角三角形，$∠ DAC=45°$。
∵ $△ A'B'C'$由$△ ABC$沿$AD$方向平移得到，
∴ 平移前后对应边平行，$A'B'⊥ AD$，且$∠ B'A'C'=∠ BAC=45°$，
由此可证重叠部分四边形$A'ECF$是平行四边形，结合45°角的等腰直角三角形性质，可得平行四边形的底边长$A'E=AA'=x\ \mathrm{cm}$，底边上的高等于$A'D=(12-x)\ \mathrm{cm}$。
根据平行四边形面积公式列方程：
$x(12-x)=32$
整理得$x^2-12x+32=0$，因式分解得$(x-4)(x-8)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=8$，两个解均满足$0＜x＜12$的实际平移范围，因此$AA'$的长度为4cm或8cm。
【答案】
D
【知识点】
平移的性质，正方形性质，一元二次方程应用
【点评】
本题是平移变换结合几何面积计算的典型题型，核心难点是准确识别重叠平行四边形的边长关系，利用等腰直角三角形45°的特征得到底和高的表达式，列方程求解时注意两个正根都符合实际场景，避免漏解。
【难度系数】
0.6
