登录
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(3，3)，C(5，1)，则四边形OABC的面积为 （
A.9
B.8.5
C.8
D.7.5
D
）A.9
B.8.5
C.8
D.7.5
答案
6. D
解析
【分析】
要计算坐标系中不规则四边形OABC的面积，适合用割补法求解。思路是先连接OB，将四边形分割为△OAB和△OBC两个规则三角形，再分别用“规则图形面积和差”的方法计算两个三角形的面积，最后相加得到四边形总面积，每一步都使用七年级已学的三角形、梯形面积公式计算，符合学段要求。
【解析】
解：连接OB，将四边形OABC分为△OAB和△OBC两部分。
1. 计算△OAB的面积：
分别过A、B作x轴的垂线，垂足为$A_1(1,0)$、$B_1(3,0)$。
$S_{△ OAA_1}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
$S_{梯形AA_1B_1B}=\frac{1}{2}×(2+3)×(3-1)=5$，
$S_{△ OBB_1}=\frac{1}{2}×3×3=4.5$，
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAA_1}+S_{梯形AA_1B_1B}-S_{△ OBB_1}=1+5-4.5=1.5$。
2. 计算△OBC的面积：
过C作x轴的垂线，垂足为$C_1(5,0)$。
$S_{梯形BB_1C_1C}=\frac{1}{2}×(3+1)×(5-3)=4$，
$S_{△ OCC_1}=\frac{1}{2}×5×1=2.5$，
因此$S_{△ OBC}=S_{△ OBB_1}+S_{梯形BB_1C_1C}-S_{△ OCC_1}=4.5+4-2.5=6$。
3. 计算四边形总面积：
$S_{四边形OABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}=1.5+6=7.5$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题是坐标系中不规则图形面积计算的典型题型，核心是通过割补思想将陌生的不规则图形转化为熟悉的三角形、梯形等规则图形，再套用面积公式求解，能有效锻炼学生的图形转化与运算能力。
【难度系数】
0.7
要计算坐标系中不规则四边形OABC的面积，适合用割补法求解。思路是先连接OB，将四边形分割为△OAB和△OBC两个规则三角形，再分别用“规则图形面积和差”的方法计算两个三角形的面积，最后相加得到四边形总面积，每一步都使用七年级已学的三角形、梯形面积公式计算，符合学段要求。
【解析】
解：连接OB，将四边形OABC分为△OAB和△OBC两部分。
1. 计算△OAB的面积：
分别过A、B作x轴的垂线，垂足为$A_1(1,0)$、$B_1(3,0)$。
$S_{△ OAA_1}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
$S_{梯形AA_1B_1B}=\frac{1}{2}×(2+3)×(3-1)=5$，
$S_{△ OBB_1}=\frac{1}{2}×3×3=4.5$，
因此$S_{△ OAB}=S_{△ OAA_1}+S_{梯形AA_1B_1B}-S_{△ OBB_1}=1+5-4.5=1.5$。
2. 计算△OBC的面积：
过C作x轴的垂线，垂足为$C_1(5,0)$。
$S_{梯形BB_1C_1C}=\frac{1}{2}×(3+1)×(5-3)=4$，
$S_{△ OCC_1}=\frac{1}{2}×5×1=2.5$，
因此$S_{△ OBC}=S_{△ OBB_1}+S_{梯形BB_1C_1C}-S_{△ OCC_1}=4.5+4-2.5=6$。
3. 计算四边形总面积：
$S_{四边形OABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}=1.5+6=7.5$。
【答案】
D
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题是坐标系中不规则图形面积计算的典型题型，核心是通过割补思想将陌生的不规则图形转化为熟悉的三角形、梯形等规则图形，再套用面积公式求解，能有效锻炼学生的图形转化与运算能力。
【难度系数】
0.7
7. 在平面直角坐标系中，已知点A(a，－1)，B(2，3－b)，C(－5，4)。若AB//x轴，AC//y轴，则a＋b＝
-1
。答案
7. -1
解析
【分析】
解题的核心是掌握平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。我们可以先根据AC//y轴的条件求出a的值，再根据AB//x轴的条件求出b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
因为AC//y轴，平行于y轴的直线上各点横坐标相同，所以点A的横坐标与点C的横坐标相等，即$a = -5$。
2. 求b的值：
因为AB//x轴，平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，所以点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$-1 = 3 - b$。
解这个方程：移项得$b = 3 + 1 = 4$。
3. 计算a+b：
把$a=-5$，$b=4$代入得$a + b = -5 + 4 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，代数式求值
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题时注意区分平行于x轴、y轴分别对应的是纵坐标相等还是横坐标相等，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等。我们可以先根据AC//y轴的条件求出a的值，再根据AB//x轴的条件求出b的值，最后代入计算a+b的结果即可。
【解析】
1. 求a的值：
因为AC//y轴，平行于y轴的直线上各点横坐标相同，所以点A的横坐标与点C的横坐标相等，即$a = -5$。
2. 求b的值：
因为AB//x轴，平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，所以点A的纵坐标与点B的纵坐标相等，即$-1 = 3 - b$。
解这个方程：移项得$b = 3 + 1 = 4$。
3. 计算a+b：
把$a=-5$，$b=4$代入得$a + b = -5 + 4 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
平行于坐标轴的点的坐标特征，代数式求值
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查平行于坐标轴的直线上点的坐标规律，解题时注意区分平行于x轴、y轴分别对应的是纵坐标相等还是横坐标相等，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $ x $，$ y $ 满足 $ |x| = 5 $，$ |x - y| = 8 $，那么有序实数对 $ (x, y) $ 共有
4
个。答案
8. 4
解析
【分析】
解题时先依据绝对值的性质确定x的所有可能取值，再根据|x-y|=8推导出y与x的关系，分情况代入x的取值求出对应的y值，最后统计不同有序实数对的数量即可。要注意绝对值等于正数的结果有两个，分类讨论时不要漏解，有序实数对的x、y顺序固定，不同顺序代表不同数对。
【解析】
解：① 由|x|=5，根据绝对值的定义可得：x=5或x=-5，共2种取值；
② 由|x-y|=8，根据绝对值的定义可得：x-y=8或x-y=-8，整理得y=x-8或y=x+8；
③ 分情况代入求有序数对：
当x=5时，y=5-8=-3，或y=5+8=13，对应有序数对为(5,-3)、(5,13)，共2个；
当x=-5时，y=-5-8=-13，或y=-5+8=3，对应有序数对为(-5,-13)、(-5,3)，共2个；
综上，有序实数对总共有2+2=4个。
【答案】
4
【知识点】
1. 绝对值的性质 2. 分类讨论思想 3. 有序实数对概念
【点评】
本题核心考查绝对值的性质应用，解题的关键是掌握绝对值等于正数的数有两个，分类讨论时做到不重不漏，同时明确有序实数对的顺序特征。
【难度系数】
0.7
解题时先依据绝对值的性质确定x的所有可能取值，再根据|x-y|=8推导出y与x的关系，分情况代入x的取值求出对应的y值，最后统计不同有序实数对的数量即可。要注意绝对值等于正数的结果有两个，分类讨论时不要漏解，有序实数对的x、y顺序固定，不同顺序代表不同数对。
【解析】
解：① 由|x|=5，根据绝对值的定义可得：x=5或x=-5，共2种取值；
② 由|x-y|=8，根据绝对值的定义可得：x-y=8或x-y=-8，整理得y=x-8或y=x+8；
③ 分情况代入求有序数对：
当x=5时，y=5-8=-3，或y=5+8=13，对应有序数对为(5,-3)、(5,13)，共2个；
当x=-5时，y=-5-8=-13，或y=-5+8=3，对应有序数对为(-5,-13)、(-5,3)，共2个；
综上，有序实数对总共有2+2=4个。
【答案】
4
【知识点】
1. 绝对值的性质 2. 分类讨论思想 3. 有序实数对概念
【点评】
本题核心考查绝对值的性质应用，解题的关键是掌握绝对值等于正数的数有两个，分类讨论时做到不重不漏，同时明确有序实数对的顺序特征。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中，一只电子青蛙从点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，那么点$A_{222}$的坐标是
(111, 1)
。答案
9. (111, 1)
解析
【分析】
首先观察电子青蛙的移动规律，可知它每4次移动为一个循环周期，每个周期依次完成向上、向右、向下、向右各移动1个单位，每个周期结束后横坐标增加2，纵坐标回到0。我们可以先计算222除以4的商和余数，根据余数判断A₂₂₂在周期中的位置，再结合周期的横坐标变化规律计算对应坐标。
【解析】
先列举前几个点的坐标总结规律：
A₁(0,1)，A₂(1,1)，A₃(1,0)，A₄(2,0)，
A₅(2,1)，A₆(3,1)，A₇(3,0)，A₈(4,0)，
……
可得规律：设k为非负整数，
①当下标n=4k+1时，坐标为(2k,1)；
②当下标n=4k+2时，坐标为(2k+1,1)；
③当下标n=4k+3时，坐标为(2k+1,0)；
④当下标n=4k+4时，坐标为(2k+2,0)。
计算222除以4的结果：222÷4=55……2，即k=55，余数为2，符合上述第②种情况。
代入计算横坐标：2×55+1=111，纵坐标为1。
【答案】
(111, 1)
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 规律探究
3. 周期问题
【点评】
本题是坐标系中的规律类基础题，解题核心是找到移动的循环周期，再结合余数判断对应点的位置，掌握找周期的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
首先观察电子青蛙的移动规律，可知它每4次移动为一个循环周期，每个周期依次完成向上、向右、向下、向右各移动1个单位，每个周期结束后横坐标增加2，纵坐标回到0。我们可以先计算222除以4的商和余数，根据余数判断A₂₂₂在周期中的位置，再结合周期的横坐标变化规律计算对应坐标。
【解析】
先列举前几个点的坐标总结规律：
A₁(0,1)，A₂(1,1)，A₃(1,0)，A₄(2,0)，
A₅(2,1)，A₆(3,1)，A₇(3,0)，A₈(4,0)，
……
可得规律：设k为非负整数，
①当下标n=4k+1时，坐标为(2k,1)；
②当下标n=4k+2时，坐标为(2k+1,1)；
③当下标n=4k+3时，坐标为(2k+1,0)；
④当下标n=4k+4时，坐标为(2k+2,0)。
计算222除以4的结果：222÷4=55……2，即k=55，余数为2，符合上述第②种情况。
代入计算横坐标：2×55+1=111，纵坐标为1。
【答案】
(111, 1)
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 规律探究
3. 周期问题
【点评】
本题是坐标系中的规律类基础题，解题核心是找到移动的循环周期，再结合余数判断对应点的位置，掌握找周期的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 在平面直角坐标系中，对于点$ A(x, y) $，若点$ B $的坐标为$ (x + ay, ax + y) $，则称点$ B $是点$ A $的“$ a $倍相关点”. 例如，点$ A(1, 3) $的“2倍相关点”$ B $的横坐标为：$ 1 + 2×3 = 7 $，纵坐标为：$ 2×1 + 3 = 5 $，所以点$ A $的“2倍相关点”$ B $的坐标为$ (7, 5) $.
(1) 已知点$ P(-2, 3) $的“3倍相关点”是点$ Q(s, t) $，求$ s + t $的值；
(2) 已知点$ M(1, 2m) $的“$-2$倍相关点”是点$ N $，且点$ N $位于$ y $轴上，求点$ N $到$ x $轴的距离.
10. 在平面直角坐标系中，对于点$ A(x, y) $，若点$ B $的坐标为$ (x + ay, ax + y) $，则称点$ B $是点$ A $的“$ a $倍相关点”. 例如，点$ A(1, 3) $的“2倍相关点”$ B $的横坐标为：$ 1 + 2×3 = 7 $，纵坐标为：$ 2×1 + 3 = 5 $，所以点$ A $的“2倍相关点”$ B $的坐标为$ (7, 5) $.
(1) 已知点$ P(-2, 3) $的“3倍相关点”是点$ Q(s, t) $，求$ s + t $的值；
(2) 已知点$ M(1, 2m) $的“$-2$倍相关点”是点$ N $，且点$ N $位于$ y $轴上，求点$ N $到$ x $轴的距离.
答案
10. 解: (1) 因为点 $P(-2, 3)$ 的 “3 倍相关点” 是点 $Q(s, t)$, 所以 $s = -2+3×3=7$, $t=3×(-2)+3=-3$. 所以 $s + t=7+(-3)=4$.
(2) 因为点 $M(1, 2m)$ 的 “$-2$ 倍相关点” 是点 $N$, 所以点 $N$ 的横坐标为 $1+(-2)×2m=1-4m$, 点 $N$ 的纵坐标为 $-2×1+2m=-2+2m$. 因为点 $N$ 位于 $y$ 轴上, 所以 $1-4m=0$. 所以 $m=\frac{1}{4}$. 所以 $-2+2m=-2+2×\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$. 所以点 $N$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$.
(2) 因为点 $M(1, 2m)$ 的 “$-2$ 倍相关点” 是点 $N$, 所以点 $N$ 的横坐标为 $1+(-2)×2m=1-4m$, 点 $N$ 的纵坐标为 $-2×1+2m=-2+2m$. 因为点 $N$ 位于 $y$ 轴上, 所以 $1-4m=0$. 所以 $m=\frac{1}{4}$. 所以 $-2+2m=-2+2×\frac{1}{4}=-\frac{3}{2}$. 所以点 $N$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
(1) 解题时首先明确“a倍相关点”的定义：若原点点坐标为$(x,y)$，则其“a倍相关点”的横坐标为$x+ay$，纵坐标为$ax+y$。本题已知点P的坐标和a=3，直接代入定义即可算出点Q的横纵坐标s、t，再计算s+t的值即可。
(2) 先根据“a倍相关点”的定义，写出点M的“-2倍相关点”N的横、纵坐标的表达式；由于N在y轴上，根据y轴上点的横坐标为0的特征，列方程求出m的值，再代入纵坐标的表达式，最后根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求出结果。
【解析】
(1) 已知点$P(-2, 3)$的“3倍相关点”是点$Q(s, t)$，根据“a倍相关点”的定义可得：
横坐标$s = -2 + 3×3 = 7$，
纵坐标$t = 3×(-2) + 3 = -3$，
因此$s + t = 7 + (-3) = 4$。
(2) 点$M(1, 2m)$的“$-2$倍相关点”N的坐标计算如下：
横坐标为$1 + (-2)×2m = 1 - 4m$，
纵坐标为$-2×1 + 2m = -2 + 2m$。
因为点N位于y轴上，y轴上的点横坐标为0，所以$1 - 4m = 0$，解得$m = \frac{1}{4}$。
将$m = \frac{1}{4}$代入纵坐标表达式，得纵坐标为$-2 + 2×\frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$。
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，因此点N到x轴的距离为$\left|-\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，解题关键是准确理解“a倍相关点”的运算规则，再结合坐标轴上点的特征、点到坐标轴的距离的性质列式计算，整体难度较低，侧重对审题能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时首先明确“a倍相关点”的定义：若原点点坐标为$(x,y)$，则其“a倍相关点”的横坐标为$x+ay$，纵坐标为$ax+y$。本题已知点P的坐标和a=3，直接代入定义即可算出点Q的横纵坐标s、t，再计算s+t的值即可。
(2) 先根据“a倍相关点”的定义，写出点M的“-2倍相关点”N的横、纵坐标的表达式；由于N在y轴上，根据y轴上点的横坐标为0的特征，列方程求出m的值，再代入纵坐标的表达式，最后根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即可求出结果。
【解析】
(1) 已知点$P(-2, 3)$的“3倍相关点”是点$Q(s, t)$，根据“a倍相关点”的定义可得：
横坐标$s = -2 + 3×3 = 7$，
纵坐标$t = 3×(-2) + 3 = -3$，
因此$s + t = 7 + (-3) = 4$。
(2) 点$M(1, 2m)$的“$-2$倍相关点”N的坐标计算如下：
横坐标为$1 + (-2)×2m = 1 - 4m$，
纵坐标为$-2×1 + 2m = -2 + 2m$。
因为点N位于y轴上，y轴上的点横坐标为0，所以$1 - 4m = 0$，解得$m = \frac{1}{4}$。
将$m = \frac{1}{4}$代入纵坐标表达式，得纵坐标为$-2 + 2×\frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$。
点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，因此点N到x轴的距离为$\left|-\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系的基础知识点，解题关键是准确理解“a倍相关点”的运算规则，再结合坐标轴上点的特征、点到坐标轴的距离的性质列式计算，整体难度较低，侧重对审题能力和基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8
