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1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为
(
A.6
B.5
C.4
D.3
(
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形对角线的性质，根据矩形对角线相等且互相平分可推出OA=OB；再结合∠AOB=60°的条件，可判定△AOB是等边三角形，得到OA的长度后，结合AC=2OA就能求出AC的总长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OA=AB=2$，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，考查矩形性质和等边三角形判定的综合应用，掌握矩形对角线相等且互相平分的特征是解题的关键，是矩形相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形对角线的性质，根据矩形对角线相等且互相平分可推出OA=OB；再结合∠AOB=60°的条件，可判定△AOB是等边三角形，得到OA的长度后，结合AC=2OA就能求出AC的总长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴对角线AC、BD相等且互相平分，即$AC=BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$OA=OB$，
又
∵$∠ AOB=60°$，
∴$△ AOB$是等边三角形，
∴$OA=AB=2$，
∴$AC=2OA=2×2=4$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，考查矩形性质和等边三角形判定的综合应用，掌握矩形对角线相等且互相平分的特征是解题的关键，是矩形相关考点的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE=3，则菱形的边长为（
A.6
B.8
C.10
D.12
A
）A.6
B.8
C.10
D.12
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此可得△AOB是直角三角形；再结合E是AB中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质，即可建立OE和菱形边长AB的数量关系，进而求出边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形
又
∵E是AB的中点，OE是Rt△AOB斜边AB上的中线
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$OE=\frac{1}{2}AB$
已知$OE=3$，代入得$AB=2OE=2×3=6$
即菱形的边长为6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是基础几何题，将菱形的对角线性质和直角三角形的中线性质结合考查，难度较低，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，因此可得△AOB是直角三角形；再结合E是AB中点的条件，联想到直角三角形斜边中线的性质，即可建立OE和菱形边长AB的数量关系，进而求出边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形
又
∵E是AB的中点，OE是Rt△AOB斜边AB上的中线
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$OE=\frac{1}{2}AB$
已知$OE=3$，代入得$AB=2OE=2×3=6$
即菱形的边长为6，故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是基础几何题，将菱形的对角线性质和直角三角形的中线性质结合考查，难度较低，掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，$△ ACE$为等边三角形.若$AB=4$，则OE的长为（
A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
B
）A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{6}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题思路如下：①首先根据正方形的边长，利用勾股定理求出正方形对角线AC的长度；②已知O是AC中点，结合△ACE是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，可得OE垂直平分AC，同时得到AE=AC；③最后在直角三角形AOE中，利用勾股定理计算OE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∵O是AC的中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$，
∵△ACE是等边三角形，
∴$AE=AC=4\sqrt{2}$，且$OE⊥AC$（等边三角形三线合一），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2 - AO^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32 - 8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将正方形、等边三角形的性质与勾股定理相结合，解题的关键是熟练掌握特殊图形的性质，准确利用三线合一得到直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先根据正方形的边长，利用勾股定理求出正方形对角线AC的长度；②已知O是AC中点，结合△ACE是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，可得OE垂直平分AC，同时得到AE=AC；③最后在直角三角形AOE中，利用勾股定理计算OE的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，
∵O是AC的中点，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$，
∵△ACE是等边三角形，
∴$AE=AC=4\sqrt{2}$，且$OE⊥AC$（等边三角形三线合一），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{AE^2 - AO^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{32 - 8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，将正方形、等边三角形的性质与勾股定理相结合，解题的关键是熟练掌握特殊图形的性质，准确利用三线合一得到直角三角形，再通过勾股定理计算线段长度。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,已知$DE// AC$,$DF// AB$,添加下列条件后,不能判断四边形$AEDF$为菱形的是 (
A.$AD$平分$∠ BAC$
B.$AB=AC$且$BD=CD$
C.$AD$为中线
D.$EF⊥ AD$
C
)A.$AD$平分$∠ BAC$
B.$AB=AC$且$BD=CD$
C.$AD$为中线
D.$EF⊥ AD$
答案
4.C
解析
【分析】
首先根据已知条件DE//AC、DF//AB，可先判定四边形AEDF是平行四边形，菱形的判定定理为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来只需逐一分析各选项是否能满足上述菱形判定条件即可，找出无法满足的选项就是答案。
【解析】
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A选项：若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
∵DF//AB，
∴∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故A不符合题意；
B选项：若AB=AC且BD=CD，根据等腰三角形三线合一，可得AD平分∠BAC，
同A选项的推导，可证平行四边形AEDF是菱形，故B不符合题意；
C选项：若AD为中线，仅能说明D是BC的中点，无法推出平行四边形AEDF的一组邻边相等，也无法推出对角线互相垂直，不能判定其为菱形，故C符合题意；
D选项：若EF⊥AD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形AEDF是菱形，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，解题的关键是先确定四边形AEDF的形状为平行四边形，再结合菱形的判定条件对每个选项进行验证，注意审题要清晰，明确题目要求选“不能判断”的选项。
【难度系数】
0.7
首先根据已知条件DE//AC、DF//AB，可先判定四边形AEDF是平行四边形，菱形的判定定理为：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。接下来只需逐一分析各选项是否能满足上述菱形判定条件即可，找出无法满足的选项就是答案。
【解析】
∵DE//AC，DF//AB，
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
接下来分析各选项：
A选项：若AD平分∠BAC，则∠EAD=∠FAD，
∵DF//AB，
∴∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=DF，
∴平行四边形AEDF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），故A不符合题意；
B选项：若AB=AC且BD=CD，根据等腰三角形三线合一，可得AD平分∠BAC，
同A选项的推导，可证平行四边形AEDF是菱形，故B不符合题意；
C选项：若AD为中线，仅能说明D是BC的中点，无法推出平行四边形AEDF的一组邻边相等，也无法推出对角线互相垂直，不能判定其为菱形，故C符合题意；
D选项：若EF⊥AD，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定平行四边形AEDF是菱形，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题考查菱形的判定，解题的关键是先确定四边形AEDF的形状为平行四边形，再结合菱形的判定条件对每个选项进行验证，注意审题要清晰，明确题目要求选“不能判断”的选项。
【难度系数】
0.7
5.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且$BC=\sqrt{5}$,则点A的坐标是
(2,0)
.答案
5.(2,0)
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从菱形的性质出发思考：首先菱形的对角线互相垂直且平分，四条边长度相等，因此△BOC是直角三角形。已知BC和OB的长度，可先用勾股定理求出OC的长度，再根据原点是对角线中点、点A在x轴正半轴的特征，即可得到点A的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，对角线交点为O(0,0)
∴AC⊥BD，BC=√5，OB=OD，OA=OC
∵点B的坐标是(0,1)，
∴OB=1
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
代入数值：$1^2 + OC^2 = (\sqrt{5})^2$
解得$OC^2=4$，即$OC=2$（线段长度为正）
∵点C在x轴负半轴，
∴OC=2，又OA=OC，点A在x轴正半轴
∴OA=2，即点A的坐标为(2,0)
【答案】
(2,0)
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于基础题，核心是将菱形的性质与勾股定理结合使用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，计算出对应线段长度后结合坐标系中点的位置特征确定坐标，是菱形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以从菱形的性质出发思考：首先菱形的对角线互相垂直且平分，四条边长度相等，因此△BOC是直角三角形。已知BC和OB的长度，可先用勾股定理求出OC的长度，再根据原点是对角线中点、点A在x轴正半轴的特征，即可得到点A的坐标。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，对角线交点为O(0,0)
∴AC⊥BD，BC=√5，OB=OD，OA=OC
∵点B的坐标是(0,1)，
∴OB=1
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$OB^2 + OC^2 = BC^2$
代入数值：$1^2 + OC^2 = (\sqrt{5})^2$
解得$OC^2=4$，即$OC=2$（线段长度为正）
∵点C在x轴负半轴，
∴OC=2，又OA=OC，点A在x轴正半轴
∴OA=2，即点A的坐标为(2,0)
【答案】
(2,0)
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于基础题，核心是将菱形的性质与勾股定理结合使用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，计算出对应线段长度后结合坐标系中点的位置特征确定坐标，是菱形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
6.如图,在边长为8的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且BE=2,点Q为对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为
12
.答案
6.12
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：①首先明确△BEQ的周长组成：BQ+QE+BE，其中BE=2是固定值，因此要让周长最小，只需让BQ+QE的和最小即可；②利用正方形的轴对称性，对角线AC是正方形的一条对称轴，点B与点D关于AC对称，因此BQ=DQ，可将BQ+QE转化为DQ+QE；③根据“两点之间线段最短”，当D、Q、E三点共线时，DQ+QE的和最小，最小值为线段DE的长度，最后结合勾股定理计算DE长度，再加BE的长度即可得到最小周长。
【解析】
解：连接DE，交AC于点Q，此时△BEQ的周长最小。
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于对角线AC对称，
∴BQ = DQ。
△BEQ的周长 = BQ + QE + BE = DQ + QE + BE，
∵BE=2是定值，根据两点之间线段最短，当D、Q、E共线时，DQ+QE=DE，此时和最小。
∵AB=8，BE=2，
∴AE=AB-BE=8-2=6，
又
∵AD=8，∠DAB=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
∴△BEQ的最小周长为$DE + BE = 10 + 2 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题考查利用轴对称求解最短路径的实际应用，解题的核心是借助正方形的对称性实现线段的转化，将两条动线段的和的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：①首先明确△BEQ的周长组成：BQ+QE+BE，其中BE=2是固定值，因此要让周长最小，只需让BQ+QE的和最小即可；②利用正方形的轴对称性，对角线AC是正方形的一条对称轴，点B与点D关于AC对称，因此BQ=DQ，可将BQ+QE转化为DQ+QE；③根据“两点之间线段最短”，当D、Q、E三点共线时，DQ+QE的和最小，最小值为线段DE的长度，最后结合勾股定理计算DE长度，再加BE的长度即可得到最小周长。
【解析】
解：连接DE，交AC于点Q，此时△BEQ的周长最小。
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于对角线AC对称，
∴BQ = DQ。
△BEQ的周长 = BQ + QE + BE = DQ + QE + BE，
∵BE=2是定值，根据两点之间线段最短，当D、Q、E共线时，DQ+QE=DE，此时和最小。
∵AB=8，BE=2，
∴AE=AB-BE=8-2=6，
又
∵AD=8，∠DAB=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$，
∴△BEQ的最小周长为$DE + BE = 10 + 2 = 12$。
【答案】
12
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理
【点评】
本题考查利用轴对称求解最短路径的实际应用，解题的核心是借助正方形的对称性实现线段的转化，将两条动线段的和的最小值转化为两点之间的线段长度，再结合勾股定理计算，对学生的转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7
7.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3,EF=4,则边AD的长是
5
.答案
5
