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8.如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF⊥DE,且AF=DE,AF与DE相交于点G.求证:矩形ABCD为正方形.
答案
8.证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ DAB = ∠ B = 90°. \because DE ⊥ AF, \therefore ∠ DAB = ∠ AGD = 90°$,
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAF = 90°, ∠ ADE + ∠ DAF = 90°, \therefore ∠ BAF = ∠ ADE$, 又 $AF = DE, \therefore △ ABF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}), \therefore AD = AB. \because$ 四边形$ABCD$是矩形, $\therefore$ 矩形 $ABCD$ 是正方形.
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAF = 90°, ∠ ADE + ∠ DAF = 90°, \therefore ∠ BAF = ∠ ADE$, 又 $AF = DE, \therefore △ ABF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}), \therefore AD = AB. \because$ 四边形$ABCD$是矩形, $\therefore$ 矩形 $ABCD$ 是正方形.
解析
【分析】
要证明矩形ABCD是正方形，首先回忆正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，因此解题目标是证明矩形的一组邻边相等，即证AD=AB。结合已知条件AF⊥DE、AF=DE，以及矩形的内角为直角的性质，可通过证明△ABF和△DAE全等来得到邻边相等：首先利用直角和垂直的条件，通过“同角的余角相等”推出一组对应角相等，再结合已知的等边和直角，用AAS判定两个三角形全等，得到对应边AD=AB，最终即可推导矩形为正方形。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ DAB = ∠ B = 90°. \because DE ⊥ AF, \therefore ∠ AGD = 90°$,
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAF = 90°, ∠ ADE + ∠ DAF = 90°, \therefore ∠ BAF = ∠ ADE$, 又 $AF = DE, \therefore △ ABF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}), \therefore AD = AB. \because$ 四边形$ABCD$是矩形, $\therefore$ 矩形 $ABCD$ 是正方形.
【答案】
矩形ABCD为正方形，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是将“矩形证明为正方形”的问题转化为证明邻边相等的问题，通过角度推导找到全等条件即可完成解答，能有效考查学生对特殊四边形判定和全等三角形知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要证明矩形ABCD是正方形，首先回忆正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形，因此解题目标是证明矩形的一组邻边相等，即证AD=AB。结合已知条件AF⊥DE、AF=DE，以及矩形的内角为直角的性质，可通过证明△ABF和△DAE全等来得到邻边相等：首先利用直角和垂直的条件，通过“同角的余角相等”推出一组对应角相等，再结合已知的等边和直角，用AAS判定两个三角形全等，得到对应边AD=AB，最终即可推导矩形为正方形。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ DAB = ∠ B = 90°. \because DE ⊥ AF, \therefore ∠ AGD = 90°$,
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAF = 90°, ∠ ADE + ∠ DAF = 90°, \therefore ∠ BAF = ∠ ADE$, 又 $AF = DE, \therefore △ ABF ≌ △ DAE(\mathrm{AAS}), \therefore AD = AB. \because$ 四边形$ABCD$是矩形, $\therefore$ 矩形 $ABCD$ 是正方形.
【答案】
矩形ABCD为正方形，证明过程如上。
【知识点】
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是将“矩形证明为正方形”的问题转化为证明邻边相等的问题，通过角度推导找到全等条件即可完成解答，能有效考查学生对特殊四边形判定和全等三角形知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
9.如图所示,在菱形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 （
A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
C
）A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质推导角的关系，再通过已知边相等证明三角形全等，得到O是AC中点；接着利用等腰三角形三线合一得到BO⊥AC，最后结合直角三角形两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC=28°（两直线平行，内错角相等）。
在△AOM和△CON中：
$\begin{cases}∠OAM=∠OCN \\∠AOM=∠CON \\AM=CN\end{cases}$
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO=CO，即O为AC的中点。
又
∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠BOC=90°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将菱形、全等三角形、等腰三角形的知识点结合考查，解题的突破口是证明三角形全等得到O为AC中点，再利用等腰三角形的性质得到直角，进而计算角度，需要熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质推导角的关系，再通过已知边相等证明三角形全等，得到O是AC中点；接着利用等腰三角形三线合一得到BO⊥AC，最后结合直角三角形两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC=28°（两直线平行，内错角相等）。
在△AOM和△CON中：
$\begin{cases}∠OAM=∠OCN \\∠AOM=∠CON \\AM=CN\end{cases}$
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO=CO，即O为AC的中点。
又
∵AB=BC，△ABC是等腰三角形，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠BOC=90°。
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将菱形、全等三角形、等腰三角形的知识点结合考查，解题的突破口是证明三角形全等得到O为AC中点，再利用等腰三角形的性质得到直角，进而计算角度，需要熟练掌握相关性质和判定定理。
【难度系数】
0.7
10.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,E,F分别为AD,DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度 （
A.逐渐减小
B.恒等于3
C.先减小再增加
D.恒大于3
B
）A.逐渐减小
B.恒等于3
C.先减小再增加
D.恒大于3
答案
10.B
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：第一步，结合菱形的性质和已知的60°角，可联想到菱形中能构造出等边三角形，因此优先连接辅助线BD；第二步，利用等边三角形的性质得到相等的边和角，再结合∠EBF=60°推导得到相等的角，进而证明对应三角形全等；第三步，通过全等三角形的性质将AE转化为和CF在同一条边上的DF，即可得到AE+CF的和是定值，等于菱形的边长。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，△ABD、△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠A=∠BDF=∠ABD=60°，
∵∠EBF=60°，即∠DBF+∠EBD=60°，
又
∵∠ABE+∠EBD=∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BDF\\ AB=BD\\ ∠ ABE=∠ DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=3，
即AE+CF的长度恒等于3，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是动态几何类的典型题目，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将两条分散的线段的和转化为定长线段，从而快速判断其数值不变，对几何辅助线构造和全等证明的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路可按以下步骤梳理：第一步，结合菱形的性质和已知的60°角，可联想到菱形中能构造出等边三角形，因此优先连接辅助线BD；第二步，利用等边三角形的性质得到相等的边和角，再结合∠EBF=60°推导得到相等的角，进而证明对应三角形全等；第三步，通过全等三角形的性质将AE转化为和CF在同一条边上的DF，即可得到AE+CF的和是定值，等于菱形的边长。
【解析】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=3，
∴AB=AD=BC=CD=3，△ABD、△BCD均为等边三角形，
∴AB=BD，∠A=∠BDF=∠ABD=60°，
∵∠EBF=60°，即∠DBF+∠EBD=60°，
又
∵∠ABE+∠EBD=∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBF，
在△ABE和△DBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ BDF\\ AB=BD\\ ∠ ABE=∠ DBF\end{array} $
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF，
∴AE+CF=DF+CF=CD=3，
即AE+CF的长度恒等于3，故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是动态几何类的典型题目，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将两条分散的线段的和转化为定长线段，从而快速判断其数值不变，对几何辅助线构造和全等证明的能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
11.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若$△ DEF$与$△ DEC$关于直线DE对称,则$△ BEF$的周长是
（
A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
（
A
）A.$2\sqrt{2}$
B.$2+\sqrt{2}$
C.$4-2\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时首先结合轴对称的性质，得到对称的两个三角形全等，对应边相等，即EF=EC、DF=DC。要求△BEF的周长，先写出周长表达式：$C_{△ BEF}=BE+EF+BF$，利用等量替换将EF替换为EC，可将周长转化为$BC+BF$。再结合正方形的性质，计算出正方形对角线BD的长度，结合DF=DC=正方形边长求出BF的长度，代入即可得到最终周长。
【解析】
∵$△ DEF$与$△ DEC$关于直线DE对称
∴$△ DEF ≌ △ DEC$，可得$EF=EC$，$DF=DC$
∵正方形ABCD边长为2
∴$DC=BC=2$，对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
$△ BEF$的周长为：
$BE+EF+BF=BE+EC+BF=BC+BF$
又
∵$DF=DC=2$，
∴$BF=BD-DF=2\sqrt{2}-2$
代入得周长$=2+(2\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，正方形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用轴对称的性质完成线段的等量替换，把未知的三角形周长转化为已知线段的和差计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合轴对称的性质，得到对称的两个三角形全等，对应边相等，即EF=EC、DF=DC。要求△BEF的周长，先写出周长表达式：$C_{△ BEF}=BE+EF+BF$，利用等量替换将EF替换为EC，可将周长转化为$BC+BF$。再结合正方形的性质，计算出正方形对角线BD的长度，结合DF=DC=正方形边长求出BF的长度，代入即可得到最终周长。
【解析】
∵$△ DEF$与$△ DEC$关于直线DE对称
∴$△ DEF ≌ △ DEC$，可得$EF=EC$，$DF=DC$
∵正方形ABCD边长为2
∴$DC=BC=2$，对角线$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
$△ BEF$的周长为：
$BE+EF+BF=BE+EC+BF=BC+BF$
又
∵$DF=DC=2$，
∴$BF=BD-DF=2\sqrt{2}-2$
代入得周长$=2+(2\sqrt{2}-2)=2\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，正方形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用轴对称的性质完成线段的等量替换，把未知的三角形周长转化为已知线段的和差计算，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
12.传统文化 图①是清代方胜纹暗花缎袄，图②是缎袄上面方胜纹示意图，菱形ABCD与菱形A'B'C'D'是两个完全相同的菱形，中间四边形EB'FD也是菱形，EF，B'D相交于点M。若EF=$\frac{3}{2}$，B'D=3，则菱形EB'FD的周长为
$3\sqrt{5}$
。答案
12.$3\sqrt{5}$
解析
【分析】
要求菱形EB'FD的周长，根据菱形四条边相等的性质，只需求出它的一条边长，再乘4即可。已知菱形的两条对角线长度，可利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到由对角线一半和菱形边长构成的直角三角形，再通过勾股定理计算边长，最终求出周长。
【解析】
∵ 四边形EB'FD是菱形，
∴ 对角线EF⊥B'D，且对角线互相平分，
∴ $ EM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4} $，$ B'M=\frac{1}{2}B'D=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2} $，
在Rt△EMB'中，由勾股定理得：
$ B'E=\sqrt{EM^2 + B'M^2}=\sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{36}{16}}=\sqrt{\frac{45}{16}}=\frac{3\sqrt{5}}{4} $，
∴ 菱形EB'FD的周长为 $ 4×B'E=4×\frac{3\sqrt{5}}{4}=3\sqrt{5} $。
【答案】
$ 3\sqrt{5} $
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统服饰纹样为背景，考查菱形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形计算边长，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要求菱形EB'FD的周长，根据菱形四条边相等的性质，只需求出它的一条边长，再乘4即可。已知菱形的两条对角线长度，可利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到由对角线一半和菱形边长构成的直角三角形，再通过勾股定理计算边长，最终求出周长。
【解析】
∵ 四边形EB'FD是菱形，
∴ 对角线EF⊥B'D，且对角线互相平分，
∴ $ EM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=\frac{3}{4} $，$ B'M=\frac{1}{2}B'D=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2} $，
在Rt△EMB'中，由勾股定理得：
$ B'E=\sqrt{EM^2 + B'M^2}=\sqrt{(\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{36}{16}}=\sqrt{\frac{45}{16}}=\frac{3\sqrt{5}}{4} $，
∴ 菱形EB'FD的周长为 $ 4×B'E=4×\frac{3\sqrt{5}}{4}=3\sqrt{5} $。
【答案】
$ 3\sqrt{5} $
【知识点】
菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统服饰纹样为背景，考查菱形性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形计算边长，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,对角线AC与BD相交于点O,F,E分别是AD,BO的中点,则线段EF的长度为
$\sqrt{13}$
.答案
13.$\sqrt{13}$
解析
【分析】
解题时首先利用菱形的性质，结合∠ABC=60°可判定△ABC为等边三角形，得到AC的长度，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出AO、BO的长度；接下来通过作辅助线构造直角三角形，利用三角形中位线的性质求出直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AC⊥BD，AO=½AC，BO=OD=½BD，
∵∠ABC=60°，AB=BC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴AO=½AC=2，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$OD=BO=2\sqrt{3}$，
过点F作FG⊥BD于点G，
∵AC⊥BD，
∴FG//AC，
又
∵F是AD的中点，
∴FG是△AOD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}AO=1$，$OG=\frac{1}{2}OD=\sqrt{3}$，
∵E是BO的中点，
∴$EO=\frac{1}{2}BO=\sqrt{3}$，
∴$EG=EO + OG=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EG^2 + FG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将菱形、等边三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理构造直角三角形，将待求线段转化为直角三角形的斜边求解，是菱形相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用菱形的性质，结合∠ABC=60°可判定△ABC为等边三角形，得到AC的长度，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，求出AO、BO的长度；接下来通过作辅助线构造直角三角形，利用三角形中位线的性质求出直角三角形的两条直角边长度，最后用勾股定理即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=4，AC⊥BD，AO=½AC，BO=OD=½BD，
∵∠ABC=60°，AB=BC=4，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴AO=½AC=2，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=2\sqrt{3}$，
∴$OD=BO=2\sqrt{3}$，
过点F作FG⊥BD于点G，
∵AC⊥BD，
∴FG//AC，
又
∵F是AD的中点，
∴FG是△AOD的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}AO=1$，$OG=\frac{1}{2}OD=\sqrt{3}$，
∵E是BO的中点，
∴$EO=\frac{1}{2}BO=\sqrt{3}$，
∴$EG=EO + OG=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{EG^2 + FG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$
【答案】
$\sqrt{13}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合基础题，将菱形、等边三角形的性质和勾股定理结合考查，解题的关键是合理构造直角三角形，将待求线段转化为直角三角形的斜边求解，是菱形相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.6
