7.如图,这是一扇高为4 m,宽为3 m的门框,李师傅现有3块薄木板,尺寸如下:
①号木板长6 m,宽5.4 m;②号木板长5.6 m,宽5.6 m;③号木板长8 m,宽4.8 m.
则可以从这扇门通过的木板是 （）

A.①号
B.②号
C.③号
D.均不能通过

7.C

【分析】
要判断木板能否通过门框，需先确定门框可容纳的最大通过长度。长方形门框内部最长的线段是对角线，因此先用勾股定理计算出对角线长度，再将三块木板的较短边与对角线长度对比：若木板较短边小于等于对角线长度，即可斜着通过门框，反之则不能通过。
【解析】
解：根据勾股定理，计算长方形门框的对角线长度：
已知门框宽3m，高4m，设对角线长为$ l $
$ l=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{m} $
即门框允许通过的木板的最大宽度（木板较短边）不超过5m即可斜向通过：
①号木板宽5.4m，$ 5.4＞5 $，无法通过；
②号木板边长5.6m，$ 5.6＞5 $，无法通过；
③号木板宽4.8m，$ 4.8＜5 $，可以通过。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用，长方形的性质
【点评】
本题属于勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题时要注意结合生活实际，明确斜放木板时对角线才是门框的最大限制长度，避免仅用门框的高或宽判断导致出错。
【难度系数】
0.7

8.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为（）

A.$2\sqrt{2}$
B.4
C.3
D.$\sqrt{10}$

8.A

【分析】
首先根据作图方法结合O是AC中点，可判断BE是AC的垂直平分线，可得垂直平分线上的点F到A、C的距离相等，即AF=FC；再利用AD//BC的平行线性质，结合对顶角、OA=OC的条件证明△AOF和△COB全等，求出AF的长度，进而算出FD的长度；最后在直角三角形FCD中用勾股定理即可求出CD的长。
【解析】
1. 由作图规则可知，直线BE是线段AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得：$AF=FC$。
2. 因为$AD// BC$，所以$∠ OAF=∠ OCB$。
又已知O是AC中点，即$OA=OC$，且$∠ AOF=∠ COB$（对顶角相等），
因此$△ AOF≌△ COB$（ASA），可得$AF=BC=3$。
3. 已知$AD=4$，则$FD=AD-AF=4-3=1$。
4. 因为$∠ D=90°$，所以$△ FCD$是直角三角形，其中$FC=AF=3$，$FD=1$，
根据勾股定理：$CD^2+FD^2=FC^2$，代入数值得：
$CD^2+1^2=3^2$，解得$CD^2=8$，即$CD=2\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查了几何基础知识点的综合应用，解题的突破口是先通过全等三角形求出AF的长度，再利用垂直平分线的性质转化线段长度，最终用勾股定理计算未知边长，解题逻辑清晰，侧重对基础性质的灵活运用考查。
【难度系数】
0.7

9.如图,将长方形ABCD沿着对角线AC折叠,使得点B落在点B'处,B'C交AD于点E.若AB=4,BC=8,则AE的长为.

9.5

【分析】
首先利用折叠的性质得到对应角相等，再结合长方形对边平行的性质推出内错角相等，通过等量代换得到等腰三角形，得出AE与CE相等的关系；然后设AE的长为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△CDE的各边长，最后利用勾股定理列方程求解即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形
∴AD//BC，AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°
∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）
由折叠的性质可得：∠ACB=∠ACB'
∴∠DAC=∠ACB'
∴AE=CE（等角对等边）
设AE=x，则CE=x，DE=AD-AE=8-x
在Rt△CDE中，根据勾股定理得：$CD^2+DE^2=CE^2$
代入数值：$4^2+(8-x)^2=x^2$
展开计算：$16+64-16x+x^2=x^2$
化简得：$16x=80$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，将长方形性质、等腰三角形判定与勾股定理结合考查，解题核心是通过折叠和平行的性质找到等线段，再借助勾股定理构造方程求解，很好地体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

10.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=4$，$BC=2$，以点$C$为圆心，$BC$的长为半径画弧交$AC$于点$D$，以点$A$为圆心，$AD$的长为半径画弧，交$AB$于点$E$，则$BE=$.

10.$2\sqrt{3}-2$

【分析】
解决本题首先应在直角三角形ABC中利用勾股定理求出AB的长度；再结合圆半径相等的性质，得出CD=BC、AE=AD，进而求出AE的长度；最后根据线段差的关系，用AB减去AE即可得到BE的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AC=4$，$BC=2$，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
由题意可知，以点$C$为圆心、$BC$长为半径画弧，故$CD=BC=2$，则：
$AD=AC-CD=4-2=2$
又因为以点$A$为圆心、$AD$长为半径画弧交$AB$于$E$，故$AE=AD=2$，因此：
$BE=AB-AE=2\sqrt{3}-2$
【答案】
$2\sqrt{3}-2$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，将直角三角形的性质与圆的基本性质相结合，解题的关键是理清各条线段之间的等量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7

11.如图①,一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为20 m,云梯AB的长度比OB的长度(云梯底端离墙的距离)长10 m.
(1)求OB的长度；
(2)如图②,若云梯的顶端A沿墙下滑了5 m到达点C处,试判断云梯的底部B是否也外移了5 m？请说明理由.

11.解:(1)设$OB=x\ \mathrm{m}$,则$AB=(x+10)\ \mathrm{m}$,在$\mathrm{Rt}△AOB$中,$AB^2=OA^2+OB^2$,$\therefore (x+10)^2=20^2+x^2$,解得$x=15$,$\therefore OB$的长度为$15\ \mathrm{m}$;
(2)云梯的底部$B$也外移了5 m,理由如下:当云梯的顶端$A$沿墙下滑了5 m到达点$C$处时,$OC=OA-AC=20-5=15(\mathrm{m})$,由(1)知$CD=AB=25\ \mathrm{m}$.在$\mathrm{Rt}△COD$中,$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20(\mathrm{m})$,$\therefore BD=OD-OB=20-15=5(\mathrm{m})$,$\therefore$云梯的底部$B$也外移了5 m.

【分析】
(1) 墙AO与地面OB垂直，因此△AOB是直角三角形，已知直角边AO的长度，且云梯AB比OB长10m，可设OB的长度为未知数，利用勾股定理建立方程求解即可。
(2) 云梯下滑过程中长度保持不变，即CD=AB，先计算出顶端下滑后墙的剩余高度OC，再在Rt△COD中用勾股定理求出OD的长度，OD与OB的差值就是底部外移的距离，和5m比较即可得出结论。
【解析】
(1) 设$OB=x\ \mathrm{m}$，则云梯长度$AB=(x+10)\ \mathrm{m}$。
∵$AO⊥ OB$，
∴$△ AOB$为直角三角形，根据勾股定理可得：$AB^2=OA^2+OB^2$。
代入已知数据得：$(x+10)^2=20^2+x^2$
展开整理得：$x^2+20x+100=400+x^2$
解得：$x=15$。
(2) 云梯底部B外移了5m，理由如下：
顶端A下滑5m到C处，因此$OC=OA-AC=20-5=15(\mathrm{m})$，云梯长度不变，故$CD=AB=15+10=25(\mathrm{m})$。
∵$CO⊥ OD$，
∴$△ COD$为直角三角形，根据勾股定理可得：
$OD=\sqrt{CD^2-OC^2}=\sqrt{25^2-15^2}=\sqrt{625-225}=\sqrt{400}=20(\mathrm{m})$
则底部外移距离$BD=OD-OB=20-15=5(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boxed{15\ \mathrm{m}}$
(2) 是，云梯底部B外移了$\boxed{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的典型应用，解题关键是抓住云梯长度不变这一隐含条件，结合方程思想求解，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.8