1.如图,将一支笔放到圆柱形笔筒中,笔筒内部底面直径是9 cm,内壁高12 cm.若这支笔长18 cm,则这支笔在笔筒外面部分的长度是 （）

A.6 cm
B.5 cm
C.3 cm
D.2 cm

1.C

【分析】
要计算笔露在笔筒外面的长度，首先需要求出笔在笔筒内部的最大长度。观察图形可知，当笔斜靠在笔筒内壁时，笔筒内部的高AB、底面直径BC与笔在笔筒内的部分AC构成直角三角形，其中∠ABC=90°，我们可以利用勾股定理求出斜边AC的长度，再用笔的总长度减去AC的长度，即可得到外面部分的长度。
【解析】
解：由题意可知△ABC为直角三角形，其中AB是笔筒内壁高，长度为12cm，BC是笔筒底面直径，长度为9cm，∠ABC=90°。
根据勾股定理可得笔在笔筒内的最大长度：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15\mathrm{cm}$
已知笔总长18cm，因此露在笔筒外的长度为：$18-15=3\mathrm{cm}$
【答案】
C
【知识点】
勾股定理、实际问题建模
【点评】
本题将生活中的实际场景转化为直角三角形求解问题，解题关键是准确识别直角三角形的两条直角边，结合勾股定理计算，考查学生的几何建模能力和基础公式运用能力。
【难度系数】
0.8

2.如图，在$3×4$的正方形网格(每个小正方形的边长都是1)中标记格点(网格线的交点)$A$，$B$，$C$，$D$，则下列线段中，长度为$\sqrt{10}$的是 ()

A.线段$AB$
B.线段$BC$
C.线段$AC$
D.线段$BD$

2.B

【分析】
要判断哪条线段长度为$\sqrt{10}$，可利用勾股定理计算网格中格点线段的长度：首先将所求线段看作直角三角形的斜边，确定线段两端点水平方向的距离和竖直方向的距离作为两条直角边，再根据勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和”计算斜边长度，对比是否为$\sqrt{10}$即可。由于$(\sqrt{10})^2=10$，因此只需找两条直角边的平方和为10的线段即可。
【解析】
分别计算各选项线段的长度：
1. 线段$AB$：水平方向距离为1，竖直方向距离为2，由勾股定理得$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，不符合要求；
2. 线段$BC$：水平方向距离为3，竖直方向距离为1，由勾股定理得$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，符合要求；
3. 线段$AC$：水平方向距离为4，竖直方向距离为1，由勾股定理得$AC=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，不符合要求；
4. 线段$BD$：水平方向距离为3，竖直方向距离为2，由勾股定理得$BD=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$，不符合要求。
综上，长度为$\sqrt{10}$的是线段$BC$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、网格线段计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题核心是准确找到线段对应的水平、竖直方向直角边长度，再代入勾股定理计算即可，解题难度较低。
【难度系数】
0.8

3.如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上,若 EB=1,EC=2,那么正方形 ABCD 的面积为.

3.3

【分析】
首先观察图形，四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可得∠B=90°，因此△EBC是直角三角形。已知直角边EB和斜边EC的长度，我们可以利用勾股定理求出BC的平方，而正方形的面积等于边长BC的平方，无需算出BC的具体长度，就能直接得到正方形的面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，△EBC为直角三角形。
在Rt△EBC中，根据勾股定理：
$EC^2 = EB^2 + BC^2$
将$EB=1$，$EC=2$代入上式：
$2^2 = 1^2 + BC^2$
$4 = 1 + BC^2$
解得$BC^2=3$
∵正方形ABCD的面积$S=BC^2$
∴$S=3$
【答案】
3
【知识点】
正方形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础题，解题关键是利用正方形的直角特征构造直角三角形，通过勾股定理直接求出边长的平方，刚好对应正方形的面积，避免了不必要的开方运算，简化了解题过程。
【难度系数】
0.8

4.如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端离地面的高度h为 m.
↑y

4.2.4

【分析】
由题意可知墙面与地面互相垂直，因此梯子、墙面、地面三者构成直角三角形，其中梯子长度为直角三角形的斜边，梯子底端到墙脚的距离为一条直角边，待求的高度h为另一条直角边，可直接利用勾股定理列式计算h的值。
【解析】
解：
∵墙面与地面垂直，
∴梯子、墙面、地面构成直角三角形，
根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），可得：
$h^2 + 1.8^2 = 3^2$
整理得：$h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$
∵h为高度，取正值，
∴$h = \sqrt{5.76} = 2.4$（m）
【答案】
2.4
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是能从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确区分斜边和直角边后代入公式计算即可，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8

5.在平面直角坐标系中，已知点O(0,0),A(1,3),以点O为圆心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则点B的坐标是。

5.$(\sqrt{10},0)$

【分析】
要确定B点的坐标，已知B在x轴正半轴，所以它的纵坐标为0，只需求出OB的长度即可得到横坐标。首先根据圆的性质，同圆的半径相等，可得OB=OA，接下来结合O、A两点的坐标，用勾股定理计算出OA的长度，就能得到OB的长度，最终确定B点坐标。
【解析】
解：已知点$O(0,0)$，$A(1,3)$，
根据勾股定理，可得$OA=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。
∵ 以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴正半轴于B点，
∴ $OB=OA=\sqrt{10}$。
又
∵ 点B在x轴正半轴上，纵坐标为0，
∴ 点B的坐标为$(\sqrt{10},0)$。
【答案】
$(\sqrt{10},0)$
【知识点】
勾股定理；圆的基本性质；平面直角坐标系
【点评】
本题属于基础综合题，结合了圆、勾股定理和坐标系的相关知识点，考查学生对基础概念的掌握和简单综合运用能力，思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8

6.根据规定,小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过 70 km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街道上直行,某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪 A 处的正前方 30 m 的点 C 处,过了 2 s后,测得小汽车与车速检测仪之间的距离为 50 m,则这辆小汽车超速了吗? 请说明理由.

6.解:这辆小汽车超速了,理由如下:在$\mathrm{Rt}△ABC$中,$∠C=90°$,$AC=30\ \mathrm{m}$,$AB=50\ \mathrm{m}$,根据勾股定理,得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=40(\mathrm{m})$,$\therefore$小汽车的速度$v=\dfrac{40}{2}=20(\mathrm{m/s})$.$\because 20\ \mathrm{m/s}=72\ \mathrm{km/h}$,$72＞70$,$\therefore$这辆小汽车超速了.

【分析】
要判断小汽车是否超速，需先计算出小汽车的行驶速度，再和规定限速70km/h比较大小。已知小汽车的行驶时间为2s，因此核心是求出2s内小汽车行驶的路程BC的长度。观察图形可知△ABC为直角三角形，已知斜边AB和直角边AC的长度，可利用勾股定理求出BC的长度，再根据“速度=路程÷时间”计算速度，统一单位后和限速比较即可得出结论。
【解析】
这辆小汽车超速了，理由如下：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=30\ \mathrm{m}$，$AB=50\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=40(\mathrm{m})$，
∴小汽车的速度$v=\dfrac{40}{2}=20(\mathrm{m/s})$，
$\because 20\ \mathrm{m/s}=20×3.6\ \mathrm{km/h}=72\ \mathrm{km/h}$，$72＞70$，
∴这辆小汽车超速了。
【答案】
这辆小汽车超速了。
【知识点】
勾股定理，速度计算，单位换算
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，解题关键是将实际问题转化为直角三角形的计算问题，利用勾股定理求出行驶路程，需要注意速度单位的统一，避免因单位换算错误导致判断失误。
【难度系数】
0.8