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一、选择题
1. 计算$(-2)^{2025}+3×(-2)^{2024}$的结果是
（
A.$-2^{2024}$
B.$2^{2024}$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
1. 计算$(-2)^{2025}+3×(-2)^{2024}$的结果是
（
B
）A.$-2^{2024}$
B.$2^{2024}$
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题出现了指数高达2024、2025的幂，显然不可能直接计算出具体数值，首先观察算式特征：两项的底数都是-2，指数相差1，我们可以利用同底数幂的乘法规则，把指数更高的项拆成底数乘以指数低1的同底数幂，这样两项就会出现公共的公因式，提取公因式之后就能快速化简得到结果，完全不需要计算大指数的具体值。
【解析】
解：第一步，根据同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，对$(-2)^{2025}$进行变形：
$(-2)^{2025}=(-2)^{2024+1}=(-2) × (-2)^{2024}$
第二步，将变形后的式子代入原式：
$\begin{aligned}原式&= (-2) × (-2)^{2024} + 3 × (-2)^{2024}\\&= (-2)^{2024} × (-2 + 3) \quad \mathrm{提取公因式}(-2)^{2024}\\&= (-2)^{2024} × 1\end{aligned}$
第三步，根据有理数乘方的符号规则：负数的偶次幂为正数，可得$(-2)^{2024}=2^{2024}$，因此原式结果为$2^{2024}$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂乘法；提公因式法；乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算中的经典简便运算题型，核心思路是避开大指数的复杂计算，通过转化构造公因式简化运算，易错点是处理负数高次幂的符号时容易出错，只要掌握提公因式的化简技巧就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题出现了指数高达2024、2025的幂，显然不可能直接计算出具体数值，首先观察算式特征：两项的底数都是-2，指数相差1，我们可以利用同底数幂的乘法规则，把指数更高的项拆成底数乘以指数低1的同底数幂，这样两项就会出现公共的公因式，提取公因式之后就能快速化简得到结果，完全不需要计算大指数的具体值。
【解析】
解：第一步，根据同底数幂的乘法法则$a^{m+n}=a^m · a^n$，对$(-2)^{2025}$进行变形：
$(-2)^{2025}=(-2)^{2024+1}=(-2) × (-2)^{2024}$
第二步，将变形后的式子代入原式：
$\begin{aligned}原式&= (-2) × (-2)^{2024} + 3 × (-2)^{2024}\\&= (-2)^{2024} × (-2 + 3) \quad \mathrm{提取公因式}(-2)^{2024}\\&= (-2)^{2024} × 1\end{aligned}$
第三步，根据有理数乘方的符号规则：负数的偶次幂为正数，可得$(-2)^{2024}=2^{2024}$，因此原式结果为$2^{2024}$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂乘法；提公因式法；乘方符号法则
【点评】
本题是幂运算中的经典简便运算题型，核心思路是避开大指数的复杂计算，通过转化构造公因式简化运算，易错点是处理负数高次幂的符号时容易出错，只要掌握提公因式的化简技巧就能快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 有理数$a,b$在数轴上的位置如图所示，则$a,b,-a,|b|$的大小关系正确的是（
A.$|b|＞a＞-a＞b$
B.$|b|＞b＞a＞-a$
C.$a＞|b|＞b＞-a$
D.$a＞|b|＞-a＞b$
A
）A.$|b|＞a＞-a＞b$
B.$|b|＞b＞a＞-a$
C.$a＞|b|＞b＞-a$
D.$a＞|b|＞-a＞b$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先观察数轴，先确定a、b的正负性和到原点的距离关系：从数轴上可以直接得到b在原点左侧为负数，a在1的右侧为大于1的正数，且b到原点的距离比a到原点的距离更大。这类带字母的有理数大小比较，最简便的思路是用赋值法，给a、b赋予符合数轴条件的具体数值，把抽象的字母转化为具体数字，再分别计算出-a和|b|的数值，直接排序就能得到结果，避免抽象推导出错。
【解析】
1. 先根据数轴判断数的范围：
由数轴位置可知：$b ＜ 0 ＜ 1 ＜ a$，且b到原点的距离大于a到原点的距离，即$|b|＞|a|$。
2. 赋值代入计算：
取符合上述条件的具体数值，例如令$a=2$，$b=-3$，则可算出：$-a=-2$，$|b|=3$。
3. 对四个数排序：
把得到的数值从大到小排列为：$3＞2＞-2＞-3$，对应字母形式就是$|b|＞a＞-a＞b$，和选项A的关系一致。
【答案】
A
【知识点】
数轴的性质，有理数大小比较，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，赋值法是解决这类含字母的数比较大小的高效技巧，利用数轴上右边的数始终大于左边的数的性质，结合绝对值的几何含义就能快速推导，不容易出现符号判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察数轴，先确定a、b的正负性和到原点的距离关系：从数轴上可以直接得到b在原点左侧为负数，a在1的右侧为大于1的正数，且b到原点的距离比a到原点的距离更大。这类带字母的有理数大小比较，最简便的思路是用赋值法，给a、b赋予符合数轴条件的具体数值，把抽象的字母转化为具体数字，再分别计算出-a和|b|的数值，直接排序就能得到结果，避免抽象推导出错。
【解析】
1. 先根据数轴判断数的范围：
由数轴位置可知：$b ＜ 0 ＜ 1 ＜ a$，且b到原点的距离大于a到原点的距离，即$|b|＞|a|$。
2. 赋值代入计算：
取符合上述条件的具体数值，例如令$a=2$，$b=-3$，则可算出：$-a=-2$，$|b|=3$。
3. 对四个数排序：
把得到的数值从大到小排列为：$3＞2＞-2＞-3$，对应字母形式就是$|b|＞a＞-a＞b$，和选项A的关系一致。
【答案】
A
【知识点】
数轴的性质，有理数大小比较，绝对值的意义
【点评】
本题是数轴相关的基础题型，赋值法是解决这类含字母的数比较大小的高效技巧，利用数轴上右边的数始终大于左边的数的性质，结合绝对值的几何含义就能快速推导，不容易出现符号判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 若 $a＞\dfrac{1}{a}$, 则 $a$ 的取值范围是（
A.$a＞1$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞-1$
D.$-1＜a＜0$ 或 $a＞1$
D
）A.$a＞1$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞-1$
D.$-1＜a＜0$ 或 $a＞1$
答案
3. D 提示:当 $a≤-1$ 时,$a≤\dfrac{1}{a}$,不符合题意;当$-1＜a＜0$ 时,$a＞\dfrac{1}{a}$,符合题意;当 $0＜a≤1$ 时,$a≤\dfrac{1}{a}$,不符合题意;当 $a＞1$ 时,$a＞\dfrac{1}{a}$,符合题意. 综上所述,$a$ 的取值范围是$-1＜a＜0$ 或 $a＞1$.
解析
【分析】
这道题给出的不等式含有分式，且分母是参数a，我们不能直接在不等式两边同乘a消去分母，因为a的正负性不确定，同乘负数时不等号方向需要改变，直接乘很容易出错。解题可以选择两种思路：第一种是移项通分，把不等式整理为一侧为0的标准分式不等式，转化为整式不等式求解；第二种是按a的正负性分类讨论，分别在a＞0和a＜0的前提下解不等式，最后合并符合条件的解集，就能得到正确结果。
【解析】
方法一：移项通分法
将不等式$a＞\frac{1}{a}$移项得：
$a - \frac{1}{a} ＞ 0$
通分后整理为：
$\frac{a^2 - 1}{a} ＞ 0$
该分式大于0等价于分子分母同号，即$a(a^2 - 1) ＞ 0$，因式分解得：
$a(a-1)(a+1) ＞ 0$
用穿根法求解：零点为$a=-1$、$a=0$、$a=1$，从数轴右上角开始穿根，得到不等式的解集为$-1＜a＜0$或$a＞1$。
方法二：分类讨论法
① 当$a＞0$时，不等式两边同时乘正数a，不等号方向不变，得：
$a^2 ＞ 1$，结合$a＞0$解得$a＞1$；
② 当$a＜0$时，不等式两边同时乘负数a，不等号方向反转，得：
$a^2 ＜ 1$，即$-1＜a＜1$，结合前提$a＜0$解得$-1＜a＜0$；
③ 当$a=0$时，$\frac{1}{a}$无意义，舍去。
综上，a的取值范围是$-1＜a＜0$或$a＞1$。
【答案】
D
【知识点】
分式不等式求解，不等式基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题的高频易错点是直接默认a为正数，两边同乘a得到$a^2＞1$后只取a＞1的结果，漏掉负区间符合条件的部分。解题时要注意含字母分母的不等式不能随意消去分母，必须先判断分母的符号，通过分类讨论或者通分转化的方式避免出错。
【难度系数】
0.5
这道题给出的不等式含有分式，且分母是参数a，我们不能直接在不等式两边同乘a消去分母，因为a的正负性不确定，同乘负数时不等号方向需要改变，直接乘很容易出错。解题可以选择两种思路：第一种是移项通分，把不等式整理为一侧为0的标准分式不等式，转化为整式不等式求解；第二种是按a的正负性分类讨论，分别在a＞0和a＜0的前提下解不等式，最后合并符合条件的解集，就能得到正确结果。
【解析】
方法一：移项通分法
将不等式$a＞\frac{1}{a}$移项得：
$a - \frac{1}{a} ＞ 0$
通分后整理为：
$\frac{a^2 - 1}{a} ＞ 0$
该分式大于0等价于分子分母同号，即$a(a^2 - 1) ＞ 0$，因式分解得：
$a(a-1)(a+1) ＞ 0$
用穿根法求解：零点为$a=-1$、$a=0$、$a=1$，从数轴右上角开始穿根，得到不等式的解集为$-1＜a＜0$或$a＞1$。
方法二：分类讨论法
① 当$a＞0$时，不等式两边同时乘正数a，不等号方向不变，得：
$a^2 ＞ 1$，结合$a＞0$解得$a＞1$；
② 当$a＜0$时，不等式两边同时乘负数a，不等号方向反转，得：
$a^2 ＜ 1$，即$-1＜a＜1$，结合前提$a＜0$解得$-1＜a＜0$；
③ 当$a=0$时，$\frac{1}{a}$无意义，舍去。
综上，a的取值范围是$-1＜a＜0$或$a＞1$。
【答案】
D
【知识点】
分式不等式求解，不等式基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题的高频易错点是直接默认a为正数，两边同乘a得到$a^2＞1$后只取a＞1的结果，漏掉负区间符合条件的部分。解题时要注意含字母分母的不等式不能随意消去分母，必须先判断分母的符号，通过分类讨论或者通分转化的方式避免出错。
【难度系数】
0.5
4. 如图,正六边形$ABCDEF$(每条边都相等)在数轴上的位置如图所示,点$A,F$对应的数分别为$-2$和$-1$,现将正六边形$ABCDEF$绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点$E$所对应的数为0,连续翻转2 000次后,数轴上1 998这个数所对应的点是（
A.$A$
B.$D$
C.$E$
D.$F$
C
）A.$A$
B.$D$
C.$E$
D.$F$
答案
4. C 提示:正六边形 $ABCDEF$ 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时点 $E,D,C,B,A,F$分别对应的数是 $0,1,2,3,4,5$,所以翻转 6 次是一个循环. 因为 $2\ 000÷6=333······2$,所以翻转 2 000 次,落下的点为 $D$,对应的数为$-1+333×6+2=1\ 999$,所以数轴上 1 998 这个数所对应的点是 $E$.
解析
【分析】
我们先从已知条件入手梳理思路：第一步先确定正六边形的边长，已知点A对应-2、点F对应-1，可算出AF的长度为1，也就是正六边形每条边长都为1。接下来我们可以依次枚举前几次翻转后落在数轴上的点对应的数值，很快就能发现正六边形共有6个顶点，每完成6次翻转就会回到初始的点的对应规律，也就是周期为6。最后我们只需要把目标数1998代入周期规律中，匹配对应的顶点即可，也可以通过题目给出的翻转2000次的结果反向验证，避免对应关系出错。
【解析】
1. 确定边长：由点A对应-2，点F对应-1，可得正六边形边长$AF=|-1 - (-2)|=1$，即所有边长均为1。
2. 推导循环规律：
翻转1次，点E落在数轴上，对应数为0；
翻转2次，点D落在数轴上，对应数为1；
翻转3次，点C落在数轴上，对应数为2；
翻转4次，点B落在数轴上，对应数为3；
翻转5次，点A落在数轴上，对应数为4；
翻转6次，点F落在数轴上，对应数为5；
翻转7次，点E落在数轴上，对应数为6，验证得每6次翻转为一个完整循环。
循环内对应规则：数除以6余数为0对应点E，余数为1对应点D，余数为2对应点C，余数为3对应点B，余数为4对应点A，余数为5对应点F。
3. 计算匹配：$1998÷6=333$，余数为0，刚好对应循环中的点E。也可通过题干提示验证：$2000÷6=333······2$，翻转2000次对应点D，对应数为$-1+333×6+2=1999$，那么1998就是D的前一个点，即点E。
【答案】C
【知识点】正六边形性质，周期规律应用，数轴点的对应
【点评】本题属于数轴上的几何翻转周期问题，核心是通过枚举前几次的对应关系快速找到6次一循环的规律，利用周期简化大数运算，易错点是容易偏移余数和顶点的对应关系，解题时可以从0开始对齐对应数值，避免出错。
【难度系数】0.6
我们先从已知条件入手梳理思路：第一步先确定正六边形的边长，已知点A对应-2、点F对应-1，可算出AF的长度为1，也就是正六边形每条边长都为1。接下来我们可以依次枚举前几次翻转后落在数轴上的点对应的数值，很快就能发现正六边形共有6个顶点，每完成6次翻转就会回到初始的点的对应规律，也就是周期为6。最后我们只需要把目标数1998代入周期规律中，匹配对应的顶点即可，也可以通过题目给出的翻转2000次的结果反向验证，避免对应关系出错。
【解析】
1. 确定边长：由点A对应-2，点F对应-1，可得正六边形边长$AF=|-1 - (-2)|=1$，即所有边长均为1。
2. 推导循环规律：
翻转1次，点E落在数轴上，对应数为0；
翻转2次，点D落在数轴上，对应数为1；
翻转3次，点C落在数轴上，对应数为2；
翻转4次，点B落在数轴上，对应数为3；
翻转5次，点A落在数轴上，对应数为4；
翻转6次，点F落在数轴上，对应数为5；
翻转7次，点E落在数轴上，对应数为6，验证得每6次翻转为一个完整循环。
循环内对应规则：数除以6余数为0对应点E，余数为1对应点D，余数为2对应点C，余数为3对应点B，余数为4对应点A，余数为5对应点F。
3. 计算匹配：$1998÷6=333$，余数为0，刚好对应循环中的点E。也可通过题干提示验证：$2000÷6=333······2$，翻转2000次对应点D，对应数为$-1+333×6+2=1999$，那么1998就是D的前一个点，即点E。
【答案】C
【知识点】正六边形性质，周期规律应用，数轴点的对应
【点评】本题属于数轴上的几何翻转周期问题，核心是通过枚举前几次的对应关系快速找到6次一循环的规律，利用周期简化大数运算，易错点是容易偏移余数和顶点的对应关系，解题时可以从0开始对齐对应数值，避免出错。
【难度系数】0.6
5. 如图，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2 025个格子中的数为 （
A.3
B.$-1$
C.2
D.$-2$
B
）A.3
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
5. B 提示:根据题意,得$-2+a+b=a+b+c$,所以 $c=-2$. 因为 $b+c+3=c+3+(-1)$,所以 $b=-1$. 因为 $a+b+c=b+c+3$,所以 $a=3$. 所以格子中的数按$-2,3,-1$ 的规律循环. 因为 $2\ 025÷3=675$,所以第 2 025 个格子中的数为$-1$.
解析
【分析】
我们的解题思路是从题目给出的“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”这个核心条件入手：首先通过相邻三组数的和相等，消去相同的未知项，依次求出c、b、a的值，得到完整的数列排列，进而发现数列的循环周期规律，最后用总个数除以周期数，根据整除的结果确定第2025个格子对应的数值。第一步先对比第1-3格和第2-4格的和，消去a、b直接得到c的值；第二步对比第3-5格和第4-6格的和，消去公共项得到b的值；第三步对比第2-4格和第3-5格的和，消去公共项得到a的值，之后就能得到循环序列，完成后续计算。
【解析】
解：根据题意“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，列等式推导：
1. 第1、2、3格的和 = 第2、3、4格的和：
$-2 + a + b = a + b + c$，两边同时消去$a$和$b$，可得$c=-2$；
2. 第3、4、5格的和 = 第4、5、6格的和：
$b + c + 3 = c + 3 + (-1)$，两边同时消去$c$和$3$，可得$b=-1$；
3. 第2、3、4格的和 = 第3、4、5格的和：
$a + b + c = b + c + 3$，两边同时消去$b$和$c$，可得$a=3$；
由此得到格子内的数依次为：$-2,3,-1,-2,3,-1···$，可知数列以$-2,3,-1$为一个周期循环，周期长度为3。
计算位置对应周期：$2025÷3=675$，结果无余数，说明第2025个格子的数对应循环序列的最后一个数，即$-1$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，周期循环运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，核心是利用“相邻三数和相等”的条件消元求未知量，进而快速定位循环周期，不需要复杂计算，重点考察学生的逻辑推导和规律识别能力，掌握周期类问题的通用解法即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是从题目给出的“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”这个核心条件入手：首先通过相邻三组数的和相等，消去相同的未知项，依次求出c、b、a的值，得到完整的数列排列，进而发现数列的循环周期规律，最后用总个数除以周期数，根据整除的结果确定第2025个格子对应的数值。第一步先对比第1-3格和第2-4格的和，消去a、b直接得到c的值；第二步对比第3-5格和第4-6格的和，消去公共项得到b的值；第三步对比第2-4格和第3-5格的和，消去公共项得到a的值，之后就能得到循环序列，完成后续计算。
【解析】
解：根据题意“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”，列等式推导：
1. 第1、2、3格的和 = 第2、3、4格的和：
$-2 + a + b = a + b + c$，两边同时消去$a$和$b$，可得$c=-2$；
2. 第3、4、5格的和 = 第4、5、6格的和：
$b + c + 3 = c + 3 + (-1)$，两边同时消去$c$和$3$，可得$b=-1$；
3. 第2、3、4格的和 = 第3、4、5格的和：
$a + b + c = b + c + 3$，两边同时消去$b$和$c$，可得$a=3$；
由此得到格子内的数依次为：$-2,3,-1,-2,3,-1···$，可知数列以$-2,3,-1$为一个周期循环，周期长度为3。
计算位置对应周期：$2025÷3=675$，结果无余数，说明第2025个格子的数对应循环序列的最后一个数，即$-1$。
【答案】
B
【知识点】
数字规律探究，周期循环运算，有理数加法
【点评】
本题属于基础的数列规律探究题，核心是利用“相邻三数和相等”的条件消元求未知量，进而快速定位循环周期，不需要复杂计算，重点考察学生的逻辑推导和规律识别能力，掌握周期类问题的通用解法即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
6. 在探究“幻方”“幻圆”的活动课上,一个小组尝试将数字$-5,-4,-3$,$-2,-1,0,1,2,3,4,5,$6,这12个数填入如图所示的“六角幻星”中,使6条边上四个数之和都相等,部分数字已填入圆圈中,则$a$的值为 （
A.4
B.3
C.$-3$
D.$-4$
B
）A.4
B.3
C.$-3$
D.$-4$
答案
6. B 提示:因为共有 12 个数,每一条边上 4 个数的和都相等,共有六条边,所以每个数都加了两遍,这12 个数全部加两遍后和为 12,所以每条边的和为 2,所以$-2,6,2$ 这一条边最后一个圆圈数字应填$-4$,$-5$,$4,6$ 这一条边最后一个圆圈数字应填$-3$,$-2,4,1$ 这一条边第三个圆圈数字应填$-1$,此时数字还剩下 $3,0,5$,因为$-1,-5$ 这一条边剩下的两个圆圈数字和应为 8,即应取 $3,0,5$ 中的 $3,5$,$-3,2$ 这一条边剩下的两个圆圈数字和应为 3,即应取 $3,0,5$ 中的 $3,0$,所以这两条边交汇处 $a$ 的值应为 3.
解析
【分析】
这道题是趣味幻方类问题，解题的核心思路是先找到所有给定数的总和，利用“六角幻星共6条边，每个数恰好被计算2次”的性质，先算出每条边上4个数的公共和，这是这类题的突破口。之后结合已经填入的已知数字，通过有理数加法运算逐步推导确定各个未知圆圈的数值，最后结合剩余数字的组合要求，就能求出a的值，全程不需要盲目试数，通过逻辑推导即可完成。
【解析】
第一步：计算12个给定数的总和
将所有数相加：$-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6 = 6$
第二步：求每条边4个数的公共和
由于六角幻星共6条边，每个数都同时属于2条边，因此6条边所有数的总和为$6×2=12$，因此每条边4个数的和为$12÷6=2$。
第三步：推导可直接确定的未知数字
1. 观察包含-2、6、2的边：四个数和为2，设左下角未知数字为x，可得$-2+6+2+x=2$，解得$x=-4$；
2. 观察包含-5、4、6的边：四个数和为2，设右侧对应未知数字为y，可得$-5+4+6+y=2$，解得$y=-3$；
3. 观察包含-2、4、1的边：四个数和为2，设第一行第三个未知数字为m，可得$-2+4+m+1=2$，解得$m=-1$。
第四步：结合剩余数字推导a的值
目前已经使用的数字为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、4、6，剩余未使用的数字为3、0、5。
观察最上方的边：四个数为-5、-1、两个未知数字，和为2，因此两个未知数字的和为$2 - (-5) - (-1) =8$，剩余数字中只有$3+5=8$，因此这两个未知数字只能是3和5；
观察包含-3、2的边：四个数为-3、2、两个未知数字，和为2，因此两个未知数字的和为$2 - (-3) -2 =3$，剩余数字中只有$0+3=3$，因此这两个未知数字只能是0和3。
a是上述两组未知数字的公共数，同时属于{3,5}和{0,3}，因此公共数只能是3，即a=3。
【答案】
B
【知识点】
有理数加法，幻方性质，逻辑推理
【点评】
本题是结合有理数运算的趣味拓展题，巧妙利用所有数字的总和先算出单条边的公共和，避免了无意义的试数过程，既考察了有理数加法的运算能力，也锻炼了学生的逻辑推导思维，属于中等难度的拓展题型。
【难度系数】
0.4
这道题是趣味幻方类问题，解题的核心思路是先找到所有给定数的总和，利用“六角幻星共6条边，每个数恰好被计算2次”的性质，先算出每条边上4个数的公共和，这是这类题的突破口。之后结合已经填入的已知数字，通过有理数加法运算逐步推导确定各个未知圆圈的数值，最后结合剩余数字的组合要求，就能求出a的值，全程不需要盲目试数，通过逻辑推导即可完成。
【解析】
第一步：计算12个给定数的总和
将所有数相加：$-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6 = 6$
第二步：求每条边4个数的公共和
由于六角幻星共6条边，每个数都同时属于2条边，因此6条边所有数的总和为$6×2=12$，因此每条边4个数的和为$12÷6=2$。
第三步：推导可直接确定的未知数字
1. 观察包含-2、6、2的边：四个数和为2，设左下角未知数字为x，可得$-2+6+2+x=2$，解得$x=-4$；
2. 观察包含-5、4、6的边：四个数和为2，设右侧对应未知数字为y，可得$-5+4+6+y=2$，解得$y=-3$；
3. 观察包含-2、4、1的边：四个数和为2，设第一行第三个未知数字为m，可得$-2+4+m+1=2$，解得$m=-1$。
第四步：结合剩余数字推导a的值
目前已经使用的数字为：-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、4、6，剩余未使用的数字为3、0、5。
观察最上方的边：四个数为-5、-1、两个未知数字，和为2，因此两个未知数字的和为$2 - (-5) - (-1) =8$，剩余数字中只有$3+5=8$，因此这两个未知数字只能是3和5；
观察包含-3、2的边：四个数为-3、2、两个未知数字，和为2，因此两个未知数字的和为$2 - (-3) -2 =3$，剩余数字中只有$0+3=3$，因此这两个未知数字只能是0和3。
a是上述两组未知数字的公共数，同时属于{3,5}和{0,3}，因此公共数只能是3，即a=3。
【答案】
B
【知识点】
有理数加法，幻方性质，逻辑推理
【点评】
本题是结合有理数运算的趣味拓展题，巧妙利用所有数字的总和先算出单条边的公共和，避免了无意义的试数过程，既考察了有理数加法的运算能力，也锻炼了学生的逻辑推导思维，属于中等难度的拓展题型。
【难度系数】
0.4
二、填空题
7. 若$|a-4|+(b-8)^{2}=0$, 则$\dfrac{a+b}{ab}$的值为
7. 若$|a-4|+(b-8)^{2}=0$, 则$\dfrac{a+b}{ab}$的值为
$\dfrac{3}{8}$
.答案
7. $\dfrac{3}{8}$
解析
【分析】
这道题的核心突破口是“两个非负数的和为0”的性质，我们可以按以下思路推导：
1. 首先回忆初中阶段常见的非负数类型：任意有理数的绝对值、任意有理数的偶次平方，结果都大于等于0，不可能为负数。
2. 已知两个非负数|a-4|和(b-8)²相加的结果是0，要让两个≥0的数加起来等于0，只能两个数各自都等于0，由此可以列出方程求出a、b的具体数值。
3. 最后把算出的a、b的值代入待求的分式中，计算约分就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，平方运算也具有非负性
∴ $|a-4| ≥ 0$，$(b-8)^2 ≥ 0$
又
∵ $|a-4| + (b-8)^2 = 0$
∴ 可得 $a - 4 = 0$，$b - 8 = 0$
解得：$a = 4$，$b = 8$
将$a=4$，$b=8$代入分式$\dfrac{a+b}{ab}$：
$\dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{4+8}{4×8} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}$
【答案】
$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题属于七年级有理数章节的基础题型，是非常经典的“0+0=0”型非负数问题，只要牢记多个非负数的和为0时，每一项的取值都为0的规则，就能快速求出参数值，后续代入计算仅需注意正确约分即可，整体没有复杂陷阱。
【难度系数】
0.8
这道题的核心突破口是“两个非负数的和为0”的性质，我们可以按以下思路推导：
1. 首先回忆初中阶段常见的非负数类型：任意有理数的绝对值、任意有理数的偶次平方，结果都大于等于0，不可能为负数。
2. 已知两个非负数|a-4|和(b-8)²相加的结果是0，要让两个≥0的数加起来等于0，只能两个数各自都等于0，由此可以列出方程求出a、b的具体数值。
3. 最后把算出的a、b的值代入待求的分式中，计算约分就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 绝对值具有非负性，平方运算也具有非负性
∴ $|a-4| ≥ 0$，$(b-8)^2 ≥ 0$
又
∵ $|a-4| + (b-8)^2 = 0$
∴ 可得 $a - 4 = 0$，$b - 8 = 0$
解得：$a = 4$，$b = 8$
将$a=4$，$b=8$代入分式$\dfrac{a+b}{ab}$：
$\dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{4+8}{4×8} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}$
【答案】
$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 代数式求值
【点评】
本题属于七年级有理数章节的基础题型，是非常经典的“0+0=0”型非负数问题，只要牢记多个非负数的和为0时，每一项的取值都为0的规则，就能快速求出参数值，后续代入计算仅需注意正确约分即可，整体没有复杂陷阱。
【难度系数】
0.8
8. 小明在计算 $1-2+3-4+5-6+\dots+$
$99-100$ 时,不小心把一个运算符号写错了(“+”错写成“-”或“-”错写成“+”),结果错算成了30,则原式从左往右数,第
$99-100$ 时,不小心把一个运算符号写错了(“+”错写成“-”或“-”错写成“+”),结果错算成了30,则原式从左往右数,第
39
个运算符号写错了.答案
8. 39 提示:因为 $1-2+3-4+5-6+\dots+99-100=-1×50=-50$,由题意可知,算错的结果为30,因为 $30-(-50)=80$,所以是将偶数前面的“$-$”错写成了“$+$”. 又因为 $80÷2=40$,所以数字 40 前面的运算符号为第 39 个运算符号,故写错的是第 39 个运算符号.
解析
【分析】
我们可以按照三步思路来解题：第一步先算出原式的正确结果，观察算式规律，把相邻两个数分为一组，每组结果都是-1，快速得到正确值；第二步对比错误结果和正确结果的差值，分析单个运算符号写错带来的数值变化：如果原本的“-a”错写成“+a”，最终结果会比正确值多2a，如果原本的“+a”错写成“-a”，最终结果会比正确值少2a，本题错误结果比正确结果大，说明是把某个减号错写成了加号，用差值除以2就能得到对应写错符号前的数字a；第三步根据运算符号的计数规则，算出这个数字前面的运算符号是第几个，就能得到答案。
【解析】
1. 计算原式正确结果：
将算式两两分组计算：
$\begin{aligned}1-2+3-4+5-6+\dots+99-100&=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)\\&=(-1)×50\\&=-50\end{aligned}$
2. 计算错误结果与正确结果的差值：
已知错算结果为30，二者差值为 $ 30 - (-50) = 80 $，说明最终结果比正确值多了80。
3. 推导写错符号对应的数字：
单个运算符号写错时，若某数a前面的“-”被错写为“+”，原本要减去a，现在变成加上a，总结果的增量为 $ +a - (-a) = 2a $。这里总结果增量为80，因此 $ 2a=80 $，解得 $ a=40 $，即数字40前面的运算符号被写错。
4. 计算运算符号的序号：
从左往右数，第1个运算符号在1和2之间，对应数字2前面，因此数字n前面的运算符号序号为n-1，数字40前面的运算符号序号为 $ 40-1=39 $。
【答案】39
【知识点】有理数加减运算，分组求和
【点评】本题无需逐个排查运算符号，通过整体对比正确值和错误值的差值，利用单个符号错误带来的2倍数值偏移规律快速求解，易错点是容易直接将算出的数字40当成符号的序号，忽略运算符号的计数规则，误写为40。
【难度系数】0.3
我们可以按照三步思路来解题：第一步先算出原式的正确结果，观察算式规律，把相邻两个数分为一组，每组结果都是-1，快速得到正确值；第二步对比错误结果和正确结果的差值，分析单个运算符号写错带来的数值变化：如果原本的“-a”错写成“+a”，最终结果会比正确值多2a，如果原本的“+a”错写成“-a”，最终结果会比正确值少2a，本题错误结果比正确结果大，说明是把某个减号错写成了加号，用差值除以2就能得到对应写错符号前的数字a；第三步根据运算符号的计数规则，算出这个数字前面的运算符号是第几个，就能得到答案。
【解析】
1. 计算原式正确结果：
将算式两两分组计算：
$\begin{aligned}1-2+3-4+5-6+\dots+99-100&=(1-2)+(3-4)+\dots+(99-100)\\&=(-1)×50\\&=-50\end{aligned}$
2. 计算错误结果与正确结果的差值：
已知错算结果为30，二者差值为 $ 30 - (-50) = 80 $，说明最终结果比正确值多了80。
3. 推导写错符号对应的数字：
单个运算符号写错时，若某数a前面的“-”被错写为“+”，原本要减去a，现在变成加上a，总结果的增量为 $ +a - (-a) = 2a $。这里总结果增量为80，因此 $ 2a=80 $，解得 $ a=40 $，即数字40前面的运算符号被写错。
4. 计算运算符号的序号：
从左往右数，第1个运算符号在1和2之间，对应数字2前面，因此数字n前面的运算符号序号为n-1，数字40前面的运算符号序号为 $ 40-1=39 $。
【答案】39
【知识点】有理数加减运算，分组求和
【点评】本题无需逐个排查运算符号，通过整体对比正确值和错误值的差值，利用单个符号错误带来的2倍数值偏移规律快速求解，易错点是容易直接将算出的数字40当成符号的序号，忽略运算符号的计数规则，误写为40。
【难度系数】0.3
9. 一个机器人从数轴原点出发,沿数轴正方向,以每前进3步后退2步的程序运动,设该机器人每秒钟前进或后退1步,并且每步的距离为1个单位长度,$x_{n}$表示第$n$秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.给出下列结论:①$x_{3}=3$;②$x_{5}=1$;③$x_{108}＜$$x_{104}$;④$x_{{2024}}＞x_{{2025}}$. 其中正确结论的序号是
①②④
.答案
9. ①②④ 提示:根据题意可知,$x_1=1$,$x_2=2$,$x_3=3$,$x_4=2$,$x_5=1$,$x_6=2$,$x_7=3$,$x_8=4$,$x_9=3$,$x_{10}=2$,$x_{11}=3$,$x_{12}=4$,$x_{13}=5$,$x_{14}=4$,$x_{15}=3$,$\dots$,所以①②正确,符合题意;所以第一个循环结束的数即 $x_5=1$,第二个循环结束的数即 $x_{10}=2$,第三个循环结束的数即 $x_{15}=3······$即第 $m$ 个循环结束的数为 $x_{5m}=m$. 因为 $x_{100}=20$,所以 $x_{101}=21$,$x_{102}=22$,$x_{103}=23$,$x_{104}=22$,$x_{105}=21$,$x_{106}=22$,$x_{107}=23$,$x_{108}=24$,所以 $x_{108}＞x_{104}$,故③错误,不符合题意;因为 $x_{2\ 020}=404$,所以 $x_{2\ 021}=405$,$x_{2\ 022}=406$,$x_{2\ 023}=407$,$x_{2\ 024}=406$,$x_{2\ 025}=405$,所以 $x_{2\ 024}＞x_{2\ 025}$,故④正确,符合题意.
解析
【分析】
我们可以按照从易到难的思路逐步推导：1. 先模拟机器人前几秒的运动过程，直接计算小n对应的xₙ，快速判断①②两个结论的正误；2. 观察运动特征，机器人前进3步后退2步，刚好每5秒完成一次完整的运动循环，每个循环结束后相比循环起点净前进1个单位，由此总结出规律：第5m秒时机器人的位置$x_{5m}=m$；3. 对于数值较大的108、2024这类数，先将数值除以5得到对应的m和余数，先算出整循环结束时的位置，再根据余数对应循环内的运动步骤算出对应xₙ的值，最后比较大小判断③④的正误。
【解析】
首先模拟机器人的运动过程：
机器人每秒走1步，运动规则为每轮先连续前进3秒，再连续后退2秒，循环往复：
第1秒位置为1，x₁=1
第2秒位置为2，x₂=2
第3秒位置为3，x₃=3，因此结论①正确；
第4秒后退到2，x₄=2
第5秒后退到1，x₅=1，因此结论②正确。
接下来总结周期规律：每5秒为一个完整运动周期，每个周期内机器人净前进3-2=1个单位，因此第m个周期结束时，也就是n=5m时，$x_{5m}=m$。
判断结论③：
100是5的20倍，即m=20，因此x₁₀₀=20，后续按运动规则推导：
x₁₀₁=21，x₁₀₂=22，x₁₀₃=23，x₁₀₄=22，x₁₀₅=21，x₁₀₆=22，x₁₀₇=23，x₁₀₈=24，可得x₁₀₈=24 ＞ x₁₀₄=22，因此结论③错误。
判断结论④：
2025是5的405倍，即m=405，因此x₂₀₂₅=405，往前推导前几秒的位置：
x₂₀₂₀=404，x₂₀₂₁=405，x₂₀₂₂=406，x₂₀₂₃=407，x₂₀₂₄=406，x₂₀₂₅=405，可得x₂₀₂₄=406 ＞ x₂₀₂₅=405，因此结论④正确。
综上正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
数轴规律探究，周期运算
【点评】
本题属于数轴上的规律探究类问题，核心是通过模拟短时间的运动过程提炼出5秒为一个循环的周期规律，避免直接计算大数值带来的繁琐运算，解题的易错点是混淆循环内先前进、后后退的运动顺序，错误推导余数对应的位置数值。
【难度系数】
0.6
我们可以按照从易到难的思路逐步推导：1. 先模拟机器人前几秒的运动过程，直接计算小n对应的xₙ，快速判断①②两个结论的正误；2. 观察运动特征，机器人前进3步后退2步，刚好每5秒完成一次完整的运动循环，每个循环结束后相比循环起点净前进1个单位，由此总结出规律：第5m秒时机器人的位置$x_{5m}=m$；3. 对于数值较大的108、2024这类数，先将数值除以5得到对应的m和余数，先算出整循环结束时的位置，再根据余数对应循环内的运动步骤算出对应xₙ的值，最后比较大小判断③④的正误。
【解析】
首先模拟机器人的运动过程：
机器人每秒走1步，运动规则为每轮先连续前进3秒，再连续后退2秒，循环往复：
第1秒位置为1，x₁=1
第2秒位置为2，x₂=2
第3秒位置为3，x₃=3，因此结论①正确；
第4秒后退到2，x₄=2
第5秒后退到1，x₅=1，因此结论②正确。
接下来总结周期规律：每5秒为一个完整运动周期，每个周期内机器人净前进3-2=1个单位，因此第m个周期结束时，也就是n=5m时，$x_{5m}=m$。
判断结论③：
100是5的20倍，即m=20，因此x₁₀₀=20，后续按运动规则推导：
x₁₀₁=21，x₁₀₂=22，x₁₀₃=23，x₁₀₄=22，x₁₀₅=21，x₁₀₆=22，x₁₀₇=23，x₁₀₈=24，可得x₁₀₈=24 ＞ x₁₀₄=22，因此结论③错误。
判断结论④：
2025是5的405倍，即m=405，因此x₂₀₂₅=405，往前推导前几秒的位置：
x₂₀₂₀=404，x₂₀₂₁=405，x₂₀₂₂=406，x₂₀₂₃=407，x₂₀₂₄=406，x₂₀₂₅=405，可得x₂₀₂₄=406 ＞ x₂₀₂₅=405，因此结论④正确。
综上正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
数轴规律探究，周期运算
【点评】
本题属于数轴上的规律探究类问题，核心是通过模拟短时间的运动过程提炼出5秒为一个循环的周期规律，避免直接计算大数值带来的繁琐运算，解题的易错点是混淆循环内先前进、后后退的运动顺序，错误推导余数对应的位置数值。
【难度系数】
0.6
10. 如图，将形状、大小完全相同的“$·$”和线段按照一定规律摆成下列图形. 图 1 中“$·$”的个数为$a_{1}$，图 2 中“$·$”的个数为$a_{2}$，图 3中“$·$”的个数为$a_{3}······$以此类推，则$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\dfrac{1}{a_{3}}+···+\dfrac{1}{a_{10}}$的值为
$\dfrac{175}{264}$
.答案
10. $\dfrac{175}{264}$ 提示:由题图可知,$a_1=3=1×3$,$a_2=8=2×4$,$a_3=15=3×5$,$a_4=24=4×6$,$\dots$,所以 $a_n=n(n+2)$,所以原式 $=\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{2×4}+\dfrac{1}{3×5}+\dots+\dfrac{1}{10×12}=(\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dots+\dfrac{1}{9×11})+(\dfrac{1}{2×4}+\dfrac{1}{4×6}+\dots+\dfrac{1}{10×12})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5})+\dots+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{11})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6})+\dots+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{12})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{11})+\dfrac{1}{2}×(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{12})=\dfrac{175}{264}$.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先找图形中点数的规律，先数出前4个图的黑点个数：图1有3个，图2有8个，图3有15个，图4有24个，观察这几个数的特征，3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，由此可以归纳出第n个图形的点数$a_n = n(n+2)$。第二步处理求和问题，由于每一项的分母是两个差为2的正整数的乘积，适合用裂项相消法计算，把每一项拆分为$\frac{1}{2}$乘以两个分数的差，将所有项拆分后分组抵消中间项，最后仅剩余首尾少数项即可快速算出结果。
【解析】
1. 推导通项公式：
观察图形可得：
$a_1=3=1×3$，
$a_2=8=2×4$，
$a_3=15=3×5$，
$a_4=24=4×6$，
归纳可得第n个图形的点数通项为：$a_n = n(n+2)$
2. 裂项拆分：
对任意正整数n，有$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
3. 求和计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{10}}&=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{10×12}\\&=(\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{9×11})+(\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\dots+\frac{1}{10×12})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{10}-\frac{1}{12})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{12})\\&=\frac{5}{11}+\frac{5}{24}\\&=\frac{175}{264}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{175}{264}$
【知识点】
图形规律探索，裂项相消求和，分式运算
【点评】
本题是图形规律与数列求和结合的经典题型，先通过观察前序图形的点数量归纳出通项公式，再利用裂项相消的技巧大幅简化求和运算，解题时要注意裂项拆分的系数不要出错，分组抵消时避免漏项，是对归纳推理和分式运算能力的综合考察。
【难度系数】
0.5
解题思路分为两步：第一步先找图形中点数的规律，先数出前4个图的黑点个数：图1有3个，图2有8个，图3有15个，图4有24个，观察这几个数的特征，3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，由此可以归纳出第n个图形的点数$a_n = n(n+2)$。第二步处理求和问题，由于每一项的分母是两个差为2的正整数的乘积，适合用裂项相消法计算，把每一项拆分为$\frac{1}{2}$乘以两个分数的差，将所有项拆分后分组抵消中间项，最后仅剩余首尾少数项即可快速算出结果。
【解析】
1. 推导通项公式：
观察图形可得：
$a_1=3=1×3$，
$a_2=8=2×4$，
$a_3=15=3×5$，
$a_4=24=4×6$，
归纳可得第n个图形的点数通项为：$a_n = n(n+2)$
2. 裂项拆分：
对任意正整数n，有$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$
3. 求和计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{10}}&=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{2×4}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{10×12}\\&=(\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\dots+\frac{1}{9×11})+(\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\dots+\frac{1}{10×12})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{9}-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{10}-\frac{1}{12})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{11})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{12})\\&=\frac{5}{11}+\frac{5}{24}\\&=\frac{175}{264}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{175}{264}$
【知识点】
图形规律探索，裂项相消求和，分式运算
【点评】
本题是图形规律与数列求和结合的经典题型，先通过观察前序图形的点数量归纳出通项公式，再利用裂项相消的技巧大幅简化求和运算，解题时要注意裂项拆分的系数不要出错，分组抵消时避免漏项，是对归纳推理和分式运算能力的综合考察。
【难度系数】
0.5
