1. 如图,线段 $ OC $ 上有两点 $ A,B $,满足 $ OA=20\ \mathrm{cm},AB=60\ \mathrm{cm},BC=10\ \mathrm{cm} $.在线段 $ CO $ 上,点 $ P $ 从点 $ O $ 出发,向点 $ C $ 以 $ 1\ \mathrm{cm/s} $ 的速度匀速运动,点 $ Q $ 从点 $ C $ 出发向点 $ O $ 匀速运动,两点同时出发,当其中一点到达终点时,点 $ P,Q $ 停止运动.
(1)当 $ P $ 在线段 $ AB $ 上且 $ PA=2PB $ 时,点 $ Q $ 运动到的位置恰好是线段 $ AB $ 的三等分点,求点 $ Q $ 的运动速度;
(2)当点 $ P $ 运动到线段 $ AB $ 上时,分别取 $ OP $ 和 $ AB $ 的中点 $ E,F $,则 $ \dfrac{OB - AP}{EF} $ 是否为定值? 若是,求出这个值;若不是,请说明理由.

(1)因为 AB = 60 cm, PA = 2PB, 所以 PA = 40 cm, PB = 20 cm, OP = OA + PA = 60 cm, 所以点 P,Q 的运动时间为60 s. 因为 AB = 60 cm, $\frac{1}{3}AB$ = 20 cm, 所以 QB = 20 cm 或40 cm, 所以 Q 的运动速度为 $\frac{10+20}{60}=\frac{1}{2}(\mathrm{cm/s})$ 或 $\frac{10+40}{60}=\frac{5}{6}(\mathrm{cm/s})$。
(2)是定值. 理由如下: 设运动时间为 t s, 因为 OA = 20 cm, AB = 60 cm, BC = 10 cm, 所以 OB = OA + AB = 20 + 60 = 80(cm), AP = (t - 20)cm. 因为 E,F 分别是 OP,AB 的中点,所以 $OE=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}t$ cm, $OF=OA+\frac{1}{2}AB=20+30=50(\mathrm{cm})$, 所以 $EF=OF-OE=(50-\frac{1}{2}t)\mathrm{cm}$, 所以 $\frac{OB-AP}{EF}=\frac{80-(t-20)}{50-\frac{1}{2}t}=2$, 即 $\frac{OB-AP}{EF}$ 为定值。

2. 如图,点 P 是定长线段 AB 上一点,C,D 两点分别从点 P,B 出发以 1 厘米/秒,2 厘米/秒的速度沿直线 AB 向左运动(点 C 在线段 AP 上,点 D 在线段 BP 上).
(1)若点 C,D 运动到任一时刻时,总有 $PD=2AC$,请说明点 P 在线段 AB 上的位置;
(2)在(1)的条件下,若点 C,D 运动 5 秒后,恰好有 $CD=\frac{1}{2}AB$,此时点 C 停止运动,点 D 继续运动(点 D 在线段 PB 上),点 M,N 分别是 CD,PD 的中点,求 $\frac{MN}{AB}$ 的值.

(1)设运动时间为 t 秒, 则 PD = PB - 2t, AC = AP - t. 由 PD=2AC, 得 PB - 2t = 2(AP - t), 即 PB = 2AP. 因为 AP + PB = AB, 所以 AP + 2AP = AB, 所以 3AP = AB, 即 $AP=\frac{1}{3}AB$,所以点 P 在线段 AB 上靠近 A 点的 $\frac{1}{3}$ 处。
(2)由点 C,D 运动 5 秒, 得 CP=5 厘米, BD=5×2=10(厘米)。
如图①,当点 M,N 在点 P 同侧时,

点 C 停止运动时, $CD=\frac{1}{2}AB$, 因为点 M,N 分别是 CD,PD 的中点, 所以 $CM=\frac{1}{2}CD$, $PN=\frac{1}{2}PD$, 所以 $CM=\frac{1}{4}AB$, 所以 $PM=CM-CP=\frac{1}{4}AB-5$. 因为 $PD=PB-BD=\frac{2}{3}AB-10$, 所以 $PN=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}AB-10)=\frac{1}{3}AB-5$, 所以 $MN=PN-PM=\frac{1}{12}AB$. 当点 C 停止运动, 点 D 继续运动时, MN 的值不变,所以 $\frac{MN}{AB}=\frac{\frac{1}{12}AB}{AB}=\frac{1}{12}$; 如图②,当点 M,N 在点 P 异侧时,

点 C 停止运动时, $CD=\frac{1}{2}AB$, 因为点 M,N 分别是 CD,PD 的中点, 所以 $CM=\frac{1}{2}CD$, $PN=\frac{1}{2}PD$, 所以 $CM=\frac{1}{4}AB$, 所以 $PM=CP-CM=5-\frac{1}{4}AB$. 因为 $PD=PB-BD=\frac{2}{3}AB-10$, 所以 $PN=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}AB-10)=\frac{1}{3}AB-5$, 所以 $MN=PN+PM=\frac{1}{12}AB$. 当点 C 停止运动, 点 D 继续运动时, MN 的值不变,所以 $\frac{MN}{AB}=\frac{\frac{1}{12}AB}{AB}=\frac{1}{12}$. 综上所述, $\frac{MN}{AB}=\frac{1}{12}$。