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3. 如图①,C为线段AB上一点,且$AC=2BC$,AC的$\frac{1}{4}$比BC小5.
(1)求AC,BC的长.
(2)如图②,若点P从点A出发,以1个单位长度/秒的速度在线段AB上向点B运动,同时点Q从点B出发,以$\frac{5}{6}$个单位长度/秒的速度在AB的延长线上与点P同向运动,运动时间t(单位:秒)＜30,D为PB的中点,F为DQ的中点,E在PB上且$PE=\frac{1}{3}PB$,当P,Q两点运动过程中,给出下面两个结论:①$DE+DF$的值不变;②$|DE-DF|$的值不变.其中只有一个结论是正确的,请判断正确的结论并求其值.
(1)求AC,BC的长.
(2)如图②,若点P从点A出发,以1个单位长度/秒的速度在线段AB上向点B运动,同时点Q从点B出发,以$\frac{5}{6}$个单位长度/秒的速度在AB的延长线上与点P同向运动,运动时间t(单位:秒)＜30,D为PB的中点,F为DQ的中点,E在PB上且$PE=\frac{1}{3}PB$,当P,Q两点运动过程中,给出下面两个结论:①$DE+DF$的值不变;②$|DE-DF|$的值不变.其中只有一个结论是正确的,请判断正确的结论并求其值.
答案
(1)设 BC = x, 则 AC = 2BC = 2x. 因为 AC 的 $\frac{1}{4}$ 比 BC 小 5, 所以 $\frac{1}{4}×2x=x-5$, 解得 x = 10, 所以 BC = 10, AC = 20。
(2)正确的结论为①, 根据题意得 AP = t, PB = 30 - t, BQ = $\frac{5}{6}t$, 因为 D 为 PB 的中点, E 在 PB 上且 $PE=\frac{1}{3}PB$, 所以 $PD=BD=\frac{1}{2}PB=\frac{30-t}{2}$, $PE=\frac{1}{3}PB=\frac{30-t}{3}$, 所以 $DE=PD-PE=\frac{1}{6}PB=\frac{30-t}{6}$. 因为 F 为 DQ 的中点, 所以 $DF=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}(DB+BQ)=\frac{45+t}{6}$, 所以 $DE+DF=\frac{30-t}{6}+\frac{45+t}{6}=\frac{25}{2}$, 是定值. $|DE-DF|=\left|\frac{30-t}{6}-\frac{45+t}{6}\right|=\left|\frac{-15-2t}{6}\right|$, 不是定值。
(2)正确的结论为①, 根据题意得 AP = t, PB = 30 - t, BQ = $\frac{5}{6}t$, 因为 D 为 PB 的中点, E 在 PB 上且 $PE=\frac{1}{3}PB$, 所以 $PD=BD=\frac{1}{2}PB=\frac{30-t}{2}$, $PE=\frac{1}{3}PB=\frac{30-t}{3}$, 所以 $DE=PD-PE=\frac{1}{6}PB=\frac{30-t}{6}$. 因为 F 为 DQ 的中点, 所以 $DF=\frac{1}{2}DQ=\frac{1}{2}(DB+BQ)=\frac{45+t}{6}$, 所以 $DE+DF=\frac{30-t}{6}+\frac{45+t}{6}=\frac{25}{2}$, 是定值. $|DE-DF|=\left|\frac{30-t}{6}-\frac{45+t}{6}\right|=\left|\frac{-15-2t}{6}\right|$, 不是定值。
4. 已知$AB=13$，$CD=8$，$M$和$N$分别为线段$AB$，$CD$的中点.
(1)若点$B,C$重合，$D$在线段$AB$上，如图①，求$MN$的长度.
(2)①如果将图①的线段$CD$沿着$AB$向右平移$n$个单位长度，如图②，求$MN$的长度与$n$的数量关系.
②当$n$为多少时，$MN$的长度为$9$.
(3)如果$AB$保持长度和位置不变，点$D$保持图①的位置不变，改变$DC$的长度，将点$C$沿着直线$AB$向右移动$m$个单位长度，其余条件不变，如图③，①$BN+\frac{1}{2}BC$；②$MN-\frac{1}{2}BC$，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
$\gg$进一步挑战进阶专题·P156 专题29，P158 专题30
(1)若点$B,C$重合，$D$在线段$AB$上，如图①，求$MN$的长度.
(2)①如果将图①的线段$CD$沿着$AB$向右平移$n$个单位长度，如图②，求$MN$的长度与$n$的数量关系.
②当$n$为多少时，$MN$的长度为$9$.
(3)如果$AB$保持长度和位置不变，点$D$保持图①的位置不变，改变$DC$的长度，将点$C$沿着直线$AB$向右移动$m$个单位长度，其余条件不变，如图③，①$BN+\frac{1}{2}BC$；②$MN-\frac{1}{2}BC$，请问以上两个式子哪一个式子的值是定值，定值是多少？
$\gg$进一步挑战进阶专题·P156 专题29，P158 专题30
答案
(1)因为 AB = 13, M 是线段 AB 的中点, 所以 BM = 6.5. 因为点 B,C 重合, 所以 BD = CD = 8, N 是线段 CD 的中点, 所以 CN = BN = 4, MN = BM - BN = 6.5 - 4 = 2.5。
(2)①由(1)得, BM = 6.5, CN = 4, 根据平移可知 BC = n, BN = CN - CB = 4 - n, MN = BM - BN = 6.5 - (4 - n) = 2.5 + n。
②根据题意得, 2.5 + n = 9, 解得 n = 6.5, 所以当 n = 6.5 时, MN 的长度为 9。
(3)根据题意, CD 的长为 8 + m, BC = m, BM = 6.5. 因为 N 是线段 CD 的中点, 所以 $CN=\frac{8+m}{2}=4+\frac{m}{2}$, 当 N 点在 B 点左侧时, $BN=CN-CB=4+\frac{m}{2}-m=4-\frac{m}{2}$, $MN=BM-BN=6.5-(4-\frac{m}{2})=2.5+\frac{m}{2}$, $MN-\frac{1}{2}BC=2.5+\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=2.5$, 为定值; $BN+\frac{1}{2}BC=4-\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=4$, 为定值. 当 N 点在 B 点右侧时, $BN=CB-CN=m-(4+\frac{m}{2})=\frac{m}{2}-4$, $MN=BM+BN=6.5+(\frac{m}{2}-4)=2.5+\frac{m}{2}$, $MN-\frac{1}{2}BC=2.5+\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=2.5$, 为定值; $BN+\frac{1}{2}BC=\frac{m}{2}-4+\frac{m}{2}=m-4$, 不为定值. 综上所述, $MN-\frac{1}{2}BC$ 的值一定为定值, 定值是 2.5。
(2)①由(1)得, BM = 6.5, CN = 4, 根据平移可知 BC = n, BN = CN - CB = 4 - n, MN = BM - BN = 6.5 - (4 - n) = 2.5 + n。
②根据题意得, 2.5 + n = 9, 解得 n = 6.5, 所以当 n = 6.5 时, MN 的长度为 9。
(3)根据题意, CD 的长为 8 + m, BC = m, BM = 6.5. 因为 N 是线段 CD 的中点, 所以 $CN=\frac{8+m}{2}=4+\frac{m}{2}$, 当 N 点在 B 点左侧时, $BN=CN-CB=4+\frac{m}{2}-m=4-\frac{m}{2}$, $MN=BM-BN=6.5-(4-\frac{m}{2})=2.5+\frac{m}{2}$, $MN-\frac{1}{2}BC=2.5+\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=2.5$, 为定值; $BN+\frac{1}{2}BC=4-\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=4$, 为定值. 当 N 点在 B 点右侧时, $BN=CB-CN=m-(4+\frac{m}{2})=\frac{m}{2}-4$, $MN=BM+BN=6.5+(\frac{m}{2}-4)=2.5+\frac{m}{2}$, $MN-\frac{1}{2}BC=2.5+\frac{m}{2}-\frac{m}{2}=2.5$, 为定值; $BN+\frac{1}{2}BC=\frac{m}{2}-4+\frac{m}{2}=m-4$, 不为定值. 综上所述, $MN-\frac{1}{2}BC$ 的值一定为定值, 定值是 2.5。
